Exercícios: Função exponencial

Dada a função exponencial $f(x) = 3^x$, calcule os valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Exprima os resultados de forma exata, utilizando raízes ou frações se necessário.

Classifique as seguintes funções exponenciais em crescentes ou decrescentes, justificando a sua resposta em função do valor da sua base:

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal da função $f(x) = 2^x - 5$.

Resolva a seguinte equação exponencial, igualando as bases em ambos os membros da igualdade:

$5^{2x-1} = 125$

Uma população de bactérias duplica a cada hora. Se inicialmente no cultivo há $150$ bactérias, escreva a função $P(t)$ que modela o número de bactérias em função do tempo $t$ (expresso em horas). Quantas bactérias haverá no cultivo ao fim de $4$ horas?

Calcule analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas da função $f(x) = 3^{x+1} - 9$.

Relacione cada um dos gráficos identificados com A, B, C e D na seguinte figura com a sua função exponencial correspondente. As funções são: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.

Expressa ambos os membros da equação como potências de base $2$ e resolve:

$8^x = \frac{1}{4}$

O Marcos tem de resolver a equação exponencial $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos nos dois primeiros passos da sua resolução.
2. b) Resolve a equação corretamente passo a passo, indicando de forma explícita que propriedade das potências ou das funções exponenciais justifica cada transformação.

O valor de avaliação de um carro utilitário comprado novo em Portugal por $16\,000$ € deprecia-se a cada ano $20\,\%$, de modo que o seu valor após $t$ anos é dado por $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$.

1. a) Sem propor equações formais, estima de forma fundamentada entre que dois anos inteiros consecutivos o valor do carro descerá pela primeira vez abaixo de metade do seu preço original ($8\,000$ €). Para justificar a tua estimativa, calcula de forma simples e delimita os valores de $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ e $V(4)$.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando os valores numéricos exatos de $V(3)$ e $V(4)$ em forma decimal. A partir dos resultados, pondera se o carro perde a cada ano a mesma quantia absoluta de euros ou não, e explica como isso se relaciona com o decaimento exponencial.

Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 12)$.

Investem-se $5000$ euros num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $3\%$.

• Escreva a função que determina o capital acumulado $C(t)$ ao fim de $t$ anos.

• Calcule o capital total acumulado após $10$ anos.

Resolve a seguinte equação exponencial fazendo uma mudança de variável adequada:

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Determine o domínio de definição da seguinte função:

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Um isótopo radioativo tem um período de meia-vida (tempo que demora a reduzir a sua massa inicial para metade) de $8$ dias. Se partirmos de uma amostra inicial de $200$ gramas:

• Escreve a função $M(t)$ que fornece a massa restante do isótopo em função do tempo $t$ em dias.

• Que massa desse isótopo restará após $24$ dias?

Resolva a seguinte equação exponencial aplicando logaritmos:

$4^{x-1} = 15$

Expresse o resultado de forma exata utilizando logaritmos e forneça também uma aproximação arredondada às centésimas.

A partir da função $f(x) = 2^x$, explique detalhadamente quais as transformações geométricas que devem ser aplicadas ao seu gráfico para obter o gráfico da função $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal de $g(x)$.

O valor de mercado de uma máquina industrial decresce exponencialmente com o tempo. Foi comprada por $40000$ euros e sabe-se que, em cada ano, perde $15\%$ do seu valor relativamente ao ano imediatamente anterior.

• Escreva a função $V(t)$ que dá o valor da máquina em função dos anos decorridos.

• Qual será o seu valor após $5$ anos?

• Quanto tempo exato deve decorrer para que o seu valor se reduza a metade?

Desenha uma equação exponencial que cumpra simultaneamente estas três condições:

1. Resolve-se realizando a mudança de variável $t = 2^x$, transformando-se numa equação do segundo grau na variável $t$.

2. Ao resolver a equação do segundo grau em $t$, obtêm-se duas raízes reais distintas, mas a equação exponencial original na variável $x$ tem uma única solução real, que deve ser exatamente $x = 3$.

3. O termo independente da equação do segundo grau em $t$ deve ser um número inteiro estritamente negativo.

1. a) Propõe a equação em $t$ e fundamenta que valor deve ter a segunda raiz para que não gere nenhuma solução real ao desfazer a mudança de variável.
2. b) Escreve a equação exponencial completa na variável $x$, desenvolvida na forma $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ com $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
3. c) Verifica analiticamente que, ao resolver a tua equação exponencial, a única solução real obtida é $x = 3$.

Segundo os censos do Ministério do Ambiente (MITECO), a população de lince-ibérico na península ibérica passou de aproximadamente $100$ exemplares no ano $2002$ ($t = 0$) para cerca de $1\,600$ exemplares no ano $2022$ ($t = 20$). Assumindo um modelo de crescimento exponencial da forma $P(t) = P_0 \cdot a^t$, onde $t$ é o tempo em anos decorridos desde $2002$:

1. a) Determina os valores exatos da constante $P_0$ e da base de crescimento anual $a$. Expressa a base $a$ como uma potência irredutível de base $2$.
2. b) A partir do valor de $a$, calcula a taxa de crescimento percentual anual média prevista por este modelo, arredondando a $0,1\,\%$.
3. c) Empregando unicamente propriedades das potências de base $2$ (sem recorrer a aproximações decimais nem a logaritmos), determina em que ano o modelo previa que a população atingisse os $6\,400$ linces. Explica por que razão um modelo puramente exponencial deixa de ser biologicamente realista se for projetado a muito longo prazo.

A propagação de um vírus numa população isolada de $10000$ habitantes segue um modelo de crescimento logístico dado pela função:

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

onde $P(t)$ é o número de pessoas infetadas e $t$ é o tempo decorrido em dias desde o início do surto.

• Calcule o número inicial de infetados no instante $t = 0$.

• Determine quantas pessoas estarão infetadas decorridos $10$ dias.

• Calcule o tempo exato necessário para que metade da população esteja infetada.

Resolva o seguinte sistema de equações exponenciais:

Dada a função $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realize um estudo analítico para determinar:

• O seu domínio de definição.

• Os pontos de interseção com os eixos coordenados.

• As equações das suas assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o $\mathbb{R}$:

Resolva a seguinte equação exponencial, colocando o fator comum em evidência após aplicar as propriedades das potências:

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de um objeto num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é a temperatura ambiente e $T_0$ a temperatura inicial do objeto. Uma chávena de café a $90^\circ\text{C}$ é deixada numa sala que se mantém a uma temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Se após $10$ minutos a temperatura do café desceu para $60^\circ\text{C}$:

• Calcule o valor exato da constante de arrefecimento $k$.

• Determine o tempo total decorrido desde o início para que o café atinja uma temperatura de $30^\circ\text{C}$.

Determine analiticamente os intervalos de sinal constante (ou seja, os intervalos onde a função é estritamente positiva e onde é estritamente negativa) da função:

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

No gráfico ao lado mostram-se as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, junto com a reta horizontal $y = e$.

Determine analiticamente as coordenadas do ponto de interseção entre as funções $f(x)$ e $g(x)$. Em seguida, calcule a área exata do triângulo cujos vértices são esse ponto de interseção e os dois pontos onde as curvas intersetam a reta $y = e$.

Propõem-se as duas seguintes equações exponenciais:

Equação 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$

Equação 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$

Dispões de três possíveis estratégias algébricas:

• Estratégia A: Aplicar logaritmos a ambos os membros como primeiro passo direto.

• Estratégia B: Colocar em evidência a potência de base $3$ de menor expoente.

• Estratégia C: Aplicar propriedades das potências para transformar a expressão através da mudança de variável $t = 3^x$.

1. a) Justifica por que razão a Estratégia A é inviável como primeiro passo em ambas as equações, identificando o erro algébrico típico associado a $\log(u + v)$.
2. b) Para cada equação, escolhe de forma fundamentada qual é a estratégia ótima entre a B e a C, indicando que estrutura algébrica específica da equação motiva a tua escolha.
3. c) Resolve passo a passo ambas as equações, empregando em cada caso a estratégia que justificaste como ótima.

Na estação do IPMA de Miranda do Douro (Bragança), durante uma noite de inverno a temperatura exterior mantém-se constante em $T_a = -5$ ºC. Um recipiente térmico com líquido a uma temperatura inicial $T_0 = 75$ ºC é colocado no exterior. A sua temperatura evolui seguindo a lei de arrefecimento de Newton:

onde $t$ é o tempo decorrido em minutos e $a \in (0, 1)$ é a base de decaimento térmico por minuto.

1. a) Aos $15$ minutos de exposição, a temperatura do líquido é de $35$ ºC. Calcula o valor exato da base $a$ sob a forma de potência irredutível e escreve a expressão analítica final de $T(t)$.
2. b) Demonstra formalmente que $T(t)$ é uma função estritamente decrescente para todo o $t \ge 0$. Determina a assíntota horizontal da função quando $t \to +\infty$ e interpreta o seu significado físico no contexto da experiência.
3. c) Um estudante afirma que, se se esperar o tempo suficiente, o termómetro marcará exatamente $-5$ ºC. Propõe a equação correspondente e demonstra, a partir do contradomínio da função exponencial, por que razão o modelo matemático contínuo nega essa afirmação. Explica brevemente por que razão surge esta diferença entre a previsão teórica e a realidade física da termodinâmica.