Exercícios: Progressões aritméticas

Observe as seguintes sucessões de números. A sua tarefa consiste em identificar quais delas são progressões aritméticas.

Para aquelas que forem, indique qual é a razão ($d$) constante entre os seus termos e calcule o número que viria na posição seguinte.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

Num supermercado, estão a montar uma exposição de latas de molho de tomate em forma de pirâmide triangular plana contra uma parede.

Na fila superior (o topo), colocam 1 lata. Na fila imediatamente abaixo, colocam 2 latas, na terceira fila 3 latas, e assim sucessivamente, aumentando uma lata a cada nível que descem.

Se a pirâmide tem um total de 8 filas de altura:

1. a) Escreva a sucessão que representa o número de latas em cada fila.
2. b) Quantas latas haverá na última fila (a da base)?

Dada a seguinte progressão aritmética:

1. Identifique o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($d$).

2. Utilizando a fórmula do termo geral $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcule o valor do termo que ocupa a posição 20 ($a_{20}$).

A Ioana decidiu poupar para comprar uma bicicleta nova. No seu mealheiro já tem 50 € que recebeu no aniversário. Decidiu que, a partir da próxima semana, guardará 5 € da sua mesada todas as semanas sem falta.

1. a) Escreve a poupança total que a Ioana terá no final da semana 1, da semana 2, da semana 3 e da semana 4.
2. b) De que tipo de progressão se trata e qual é a razão?
3. c) Calcula quanto dinheiro ela terá acumulado na semana 12.

Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética sabendo que:

• O primeiro termo é $a_1 = 3$.

• O último termo a somar é $a_{15} = 45$.

Lembra-te de usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética:

Num restaurante, juntam-se mesas quadradas para formar uma mesa longa de comemoração.

• Se for usada 1 mesa isolada, cabem 4 pessoas (uma de cada lado).

• Se forem juntas 2 mesas, cabem 6 pessoas.

• Se forem juntas 3 mesas, cabem 8 pessoas.

Observa o desenho e responde:

1. a) Quantas pessoas cabem se juntarmos 4 mesas?
2. b) Qual é a diferença constante de pessoas que cabem por cada mesa extra que adicionamos?
3. c) Calcula quantas pessoas caberiam se juntarmos uma fila de 10 mesas.

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes progressões aritméticas dadas pelos seus primeiros termos. Expresse-o da forma mais simplificada possível (por exemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Uma planta de bambu cresce muito depressa e de forma constante em condições controladas de laboratório.

No dia 1, a planta mede 15 cm de altura.

No dia 2, a planta mede 18 cm de altura.

Sabendo que o seu crescimento segue uma progressão aritmética:

1. a) Quantos centímetros cresce a planta por dia ($d$)?
2. b) Quanto medirá a planta no dia 7?

Num teste de 3.º de ESO, pede-se para calcular o termo que ocupa a posição 12 ($a_{12}$) na progressão aritmética decrescente: $18, 14, 10, 6, \dots$

A Cláudia resolve-o no seu caderno da seguinte maneira:

«A diferença é $d = 4$ porque os números vão de 4 em 4.

Aplico a fórmula do termo geral: $a_{12} = a_1 + 12 \cdot d = 18 + 12 \cdot 4 = 18 + 48 = 66$.»

1. a) Encontra e explica detalhadamente os dois erros concetuais cometidos pela Cláudia no seu raciocínio.
2. b) Corrige o exercício passo a passo calculando o valor real da diferença $d$ e o valor correto do termo $a_{12}$.
3. c) Sem fazeres operações complexas, por que razão é evidente que o resultado obtido pela Cláudia ($66$) não faz qualquer sentido ao olhar para os primeiros termos da sucessão?

Imagina que és tu quem concebe os exercícios para um teste escrito da tua turma. Deves inventar duas progressões aritméticas distintas que cumpram uma mesma condição: em ambas, o oitavo termo deve valer exatamente 30 ($a_8 = 30$).

1. a) Constrói uma primeira progressão que seja crescente e cuja diferença seja um número par ($d > 0$). Indica o valor que escolheste para $d$, calcula o seu primeiro termo $a_1$ e escreve a expressão simplificada do seu termo geral $a_n$.
2. b) Constrói uma segunda progressão que seja decrescente ($d < 0$) e cujo primeiro termo seja maior do que 50 ($a_1 > 50$). Mostra os valores escolhidos para $d$ e $a_1$, e escreve o seu termo geral $a_n$.
3. c) Verifica numericamente em ambas as progressões que, ao substituir $n = 8$ nas tuas fórmulas, se obtém exatamente 30.

Dada a sucessão aritmética formada pelos números: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Escreva a fórmula do termo geral $a_n$.
2. b) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 30 ($a_{30}$).
3. c) Determine que posição ocupa o número $127$ nesta sucessão.

Numa progressão aritmética, sabemos que o terceiro termo ($a_3$) vale $12$ e o oitavo termo ($a_8$) vale $27$.

Calcule a razão $d$ da progressão e escreva o valor do primeiro termo $a_1$.

João está a poupar para comprar uma bicicleta nova. Na primeira semana guarda $25$ € no seu mealheiro. Ele propôs-se aumentar a quantia que guarda em cada semana em $2,50$ € relativamente à semana anterior. Ou seja, na segunda semana guarda $27,50$ €, na terceira $30$ €, e assim sucessivamente.

Se mantiver este ritmo:

1. a) Quanto dinheiro terá de guardar no mealheiro na semana número 12?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total no final da semana 12?

Um auditório tem as suas cadeiras dispostas em forma de trapézio. A primeira fila (a mais próxima do palco) tem $15$ lugares. Cada fila seguinte tem $2$ lugares a mais do que a anterior.

Se o auditório tem um total de $20$ filas:

1. a) Quantos lugares tem a última fila?
2. b) Qual é a capacidade total (número total de cadeiras) do auditório?

Calcule a soma de todos os múltiplos de $3$ que existem entre $100$ e $200$.

As medidas dos quatro ângulos de um quadrilátero formam uma progressão aritmética. Sabendo que o menor ângulo mede $60^{\circ}$, calcule a medida dos outros três ângulos.

Lembra-te: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre $360^{\circ}$.

Num armazém, estão a empilhar tubos de PVC formando uma estrutura triangular. Na fila inferior (a base), colocaram $18$ tubos. Na fila imediatamente superior, puseram $17$ tubos, na seguinte $16$, e assim sucessivamente até coroar a pilha com um único tubo no topo.

1. a) Quantas filas de tubos foram empilhadas no total?
2. b) Quantos tubos há no total na estrutura?

Queremos colocar $5$ postes de sinalização numa autoestrada reta que une duas cidades situadas no quilómetro $10$ e no quilómetro $28$, respetivamente. Os postes devem ser colocados entre as duas cidades de modo que a distância entre postes seja sempre a mesma, e também seja igual à distância da primeira cidade ao primeiro poste e do último poste à segunda cidade.

Calcule em que ponto quilométrico exato deve ser colocado cada um dos $5$ postes.

Para preparar a tradicional corrida de São Silvestre (10 km) em Lisboa, o Tomás planeia um treino de 14 dias seguidos. No primeiro dia corre $3\text{ km}$, e a cada dia decide aumentar a distância percorrida em $0,5\text{ km}$ em relação ao dia anterior ($a_1 = 3$, $d = 0,5$).

1. a) Estima: Antes de calculares o que quer que seja com fórmulas exatas, estima mentalmente se a distância total acumulada durante os 14 dias superará os $80\text{ km}$. Para fundamentares a tua estimativa, pensa na distância aproximada que correrá a meio do plano (por exemplo, no dia 7) e multiplica-a pelos 14 dias. Explica por que razão este produto aproxima bem a soma total.
2. b) Calcula: Determina a distância exata que correrá no último dia ($a_{14}$) e, aplicando a fórmula da soma de uma progressão aritmética $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, calcula os quilómetros totais que terá percorrido ao finalizar os 14 dias.
3. c) Verifica e avalia: Compara a tua estimativa inicial com o resultado exato. A tua previsão foi acertada? Que relação matemática existe entre o valor do dia intermédio e a média entre o primeiro e o último termo $\frac{a_1 + a_{14}}{2}$?

Segundo registos da Agência Estatal de Meteorología (AEMET), numa atmosfera estável a temperatura diminui de forma aproximadamente constante $0,65\,^\circ\text{C}$ por cada $100\text{ m}$ que se sobe em altitude (gradiente térmico vertical). Num dia soalheiro de primavera, às 11:00 h regista-se uma temperatura de $14,2\,^\circ\text{C}$ na aldeia alpujarrenha de Trevélez (Granada), situada a $1500\text{ m}$ de altitude. Estabelecem-se pontos de controlo altimétricos a cada $100\text{ m}$ de subida em direção à Sierra Nevada: o ponto 1 está a $1500\text{ m}$ ($a_1 = 14,2$), o ponto 2 a $1600\text{ m}$, o ponto 3 a $1700\text{ m}$, etc.

1. a) Modela a temperatura dos pontos de controlo como uma progressão aritmética: identifica o valor da diferença $d$ e escreve a fórmula do termo geral $a_n$ em função do número do ponto de controlo $n$.
2. b) O refúgio de Poqueira encontra-se a uma altitude de $2500\text{ m}$. Que número de ponto de controlo $n$ lhe corresponde e que temperatura se registará lá a essa mesma hora?
3. c) Nessa mesma encosta, a que altitude exata se atingiria a temperatura de congelação ($0\,^\circ\text{C}$)? Justifica fundamentadamente se essa cota coincide exatamente com algum dos pontos de controlo da progressão ou se situa entre dois deles.

Um parque de aventuras quer instalar uma nova tirolesa. O desenho da estrutura forma um triângulo retângulo, como mostrado na figura. O engenheiro determinou que os comprimentos dos três lados do triângulo (a base no solo, o poste vertical e o cabo da tirolesa) devem formar uma progressão aritmética.

Sabendo que a razão desta progressão é de $6\text{ m}$ (ou seja, cada lado mede 6 metros a mais do que o anterior), calcula:

1. O comprimento de cada um dos três lados.

2. O comprimento total de cabo e material necessário para formar o perímetro do triângulo.

(Dica: Lembra-te do Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ e equaciona os lados em função da razão).

Num armazém de material de canalização, os tubos de PVC são empilhados formando uma estrutura trapezoidal para poupar espaço e manter o equilíbrio.

Na fiada inferior (a base) há 35 tubos. Na fiada superior (o topo) há 5 tubos. Cada fiada tem um tubo a menos do que a fiada imediatamente inferior.

1. Quantas fiadas de altura tem a pilha?

2. Quantos tubos de PVC estão armazenados no total nesta estrutura?

Os ângulos internos de um pentágono convexo (polígono de 5 lados) estão em progressão aritmética.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é calculada pela fórmula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, onde $n$ é o número de lados. Se o menor ângulo do pentágono mede $72^{\circ}$:

1. Calcule a razão $d$ da progressão.

2. Determine quanto mede o maior ângulo.

3. Escreva a medida dos cinco ângulos.

Uma ciclista está a treinar para uma competição e segue um plano de treino progressivo durante 14 dias.

O plano estabelece que, em cada dia, ela deve percorrer uma distância determinada, aumentando essa distância numa quantidade fixa de quilómetros em relação ao dia anterior.

Sabemos que:

• No terceiro dia ($a_3$) percorreu 24 km.

• No último dia ($a_{14}$) percorreu 79 km.

Responda de forma justificada:

1. Quantos quilómetros percorreu ela no primeiro dia?

2. Qual é o incremento diário de distância ($d$)?

3. Calcule a distância total acumulada que ela terá percorrido ao terminar os 14 dias de treino.

Três números formam uma progressão aritmética. Sabemos que a sua soma é igual a 33 e que o seu produto é igual a 1287.

Monta um sistema de equações utilizando as propriedades das progressões aritméticas (podes chamar aos termos $x-d$, $x$ e $x+d$ para simplificar) e encontra o valor desses três números.

A plateia de um auditório de música tem a forma de um trapézio isósceles. Devido a esta forma, cada fila tem mais lugares do que a anterior.

• A primeira fila (a mais próxima do palco) tem 20 lugares.

• O auditório tem um total de 780 lugares.

• Cada fila tem 2 lugares a mais do que a fila imediatamente anterior.

Utilizando as fórmulas da soma de uma progressão aritmética ($S_n$), escreve uma equação do segundo grau para determinar quantas filas ($n$) tem no total o auditório.

Quer-se instalar uma vedação de segurança numa autoestrada reta. Os postes da vedação devem ser colocados a distâncias regulares, formando uma progressão aritmética.

Sabemos que:

• O poste número 11 encontra-se no ponto quilométrico 5,4.

• A distância entre o poste número 5 e o poste número 20 é de 450 metros ($0,45\text{ km}$).

Calcule:

1. A distância entre cada poste (razão da progressão).

2. Em que ponto quilométrico será colocado o primeiro poste.

Uma empresa de tecnologia oferece dois tipos de contrato salarial a um engenheiro para um projeto de 5 anos (60 meses):

• Opção A: Um salário inicial de $1500\text{ €}$ mensais, com um aumento de $20\text{ €}$ a cada mês em relação ao mês anterior (progressão aritmética mensal).

• Opção B: Um salário fixo de $24\,000\text{ €}$ no primeiro ano, com um aumento anual de $3\,000\text{ €}$ a cada ano seguinte (progressão aritmética anual).

Calcule o total de dinheiro ganho nos 5 anos completos com cada opção e determine qual é a mais vantajosa economicamente para o engenheiro. (Nota: Na opção A deves somar 60 termos; na opção B deves somar 5 termos anuais).

Numa progressão aritmética não conhecemos nem o primeiro termo nem a diferença, mas sabemos que o sexto termo é 19 ($a_6 = 19$) e o décimo quinto termo é 64 ($a_{15} = 64$). Precisamos de descobrir o termo que ocupa a posição 40 ($a_{40}$).

Dois estudantes de 3.º de ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Formular o sistema de duas equações com duas incógnitas formado por $a_1 + 5d = 19$ e $a_1 + 14d = 64$, resolvê-lo para encontrar $a_1$ e $d$, e depois calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Método da Laura: Dar-se conta de que para passar do termo 6 ao 15 são dados 9 passos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Isolar $d$ diretamente dessa única equação e, de seguida, calcular $a_{40}$ avançando a partir de $a_{15}$ com a fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sem calcular $a_1$.

1. a) Resolve o problema seguindo os passos do método do Sérgio até encontrares $a_{40}$.
2. b) Resolve o problema seguindo os passos do método da Laura e verifica se chegas à mesma solução.
3. c) Compara ambos os métodos: qual consideras mais eficiente e com menor risco de cometer erros de cálculo? Justifica a tua resposta.
4. d) Se, além disso, o problema te pedisse para calcular a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$), o método da Laura continuaria a ser mais curto ou a abordagem do Sérgio ganharia vantagem? Justifica porquê.

Uma empresa de distribuição de encomendas urbanas em Lisboa renova a sua frota com carrinhas elétricas ao abrigo de um contrato de aluguer operacional de 24 meses (2 anos). No primeiro mês de utilização, uma carrinha percorre $3200\text{ km}$ ($a_1 = 3200$). Devido ao envelhecimento gradual das baterias e à manutenção, a empresa assume que a cada mês a carrinha percorrerá uma quantidade fixa de quilómetros a menos do que no mês anterior, descrevendo uma progressão aritmética decrescente de diferença $d$.

1. a) A empresa estabelece que, por rentabilidade logística, a quilometragem do último mês do contrato (mês 24) não deve ser inferior a $2050\text{ km}$ ($a_{24} \ge 2050$). Determina qual é a redução mensal máxima admissível (o valor-limite da diferença $d$).
2. b) Assumindo que a redução mensal é exatamente essa diferença limite obtida na alínea anterior, calcula a distância total acumulada que a carrinha terá percorrido durante os 24 meses do contrato ($S_{24}$).
3. c) Numa reunião de direção, um gestor propõe um objetivo comercial alternativo: «Mantendo o início de $3200\text{ km}$ no mês 1, devemos conseguir que a carrinha acumule um total de pelo menos $80\,000\text{ km}$ nos 24 meses, permitindo que a quilometragem diminua mês a mês ($d < 0$)». Demonstra matematicamente, a partir das propriedades da soma de uma progressão aritmética, se a proposta deste gestor é possível ou matematicamente inviável.