Exercícios: Transformações

Dada a função $f(x) = x^2 - 3x$, escreva a expressão algébrica da função $g(x)$ que se obtém ao transladar o gráfico de $f(x)$ quatro unidades para a esquerda e duas unidades para cima.

O gráfico de uma função $f(x)$ passa pelo ponto $P(-3, 5)$. Determine as coordenadas do ponto homólogo nos gráficos das seguintes funções transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

A partir do gráfico da função $f(x)$ representado na figura, descreva os passos geométricos necessários para obter o gráfico da função $g(x) = |f(x)|$ e calcule as coordenadas dos novos vértices ou pontos de inflexão.

Um balão de ar quente desce com uma velocidade constante. A sua altitude em metros é dada por $A(t) = 800 - 50t$, onde $t$ é o tempo em minutos. Um segundo balão inicia a sua descida $10$ minutos mais tarde exatamente com o mesmo perfil de voo. Escreva a expressão da altitude do segundo balão $B(t)$ em função de $A(t)$ e desenvolva a sua expressão algébrica final.

Dada a função elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indique que transformações geométricas (translações, dilatações, reflexões) é necessário aplicar sucessivamente, e em que ordem, para obter a função $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

A função $C(x)$ representa o custo em euros de produzir $x$ componentes eletrónicos. Devido a uma melhoria tecnológica na linha de montagem, agora é possível produzir o triplo de componentes exatamente pelo mesmo custo total. Expresse a nova função de custo $N(x)$ em termos da função original $C(x)$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ definida no intervalo $[-4, 4]$. Determine o domínio e o contradomínio da função transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

Exprime a função $g(x) = |-x^2 + 4|$ como uma função definida por ramos, eliminando o módulo e indicando claramente os intervalos onde a expressão original muda de sinal.

O Marcos está a estudar como transformar o gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x$. O seu objetivo é obter a expressão analítica de uma nova função $g(x)$ cujo gráfico seja o resultado de deslocar o de $f(x)$ exatamente $3$ unidades para a direita e, em seguida, refleti-lo em relação ao eixo das abcissas ($X$). O Marcos apresenta a seguinte resolução no seu caderno:

«Para transladar $3$ unidades para a direita, somo $3$ dentro do argumento: $x \to x + 3$. Para refletir em relação ao eixo $X$, mudo o sinal da variável independente: $x \to -x$. Portanto, substituindo na fórmula obtenho: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos ao aplicar as transformações.
2. b) Mostra o procedimento correto passo a passo e escreve a expressão algébrica de $g(x)$ na sua forma desenvolvida e simplificada.

A partir da função quadrática elementar $f(x) = x^2$, define-se uma função transformada $g(x) = a \cdot f(x - h) + k$, onde $a$, $h$ e $k$ são números reais com $a \ne 0$. Sabe-se que o gráfico de $g(x)$ tem o seu vértice no ponto $V(-2, 5)$ e interseta o eixo das ordenadas ($Y$) no ponto $(0, -3)$.

1. a) Deduz fundamentadamente, a partir das propriedades geométricas das translações, os valores dos parâmetros $h$ e $k$.
2. b) Escreve uma equação utilizando o ponto de interseção com o eixo $Y$ para determinar o valor exato do parâmetro $a$.
3. c) Explica que três transformações geométricas foram aplicadas sobre $f(x)$ para obter $g(x)$ (indicando ordem, grandezas e sentidos) e escreve a expressão algébrica final de $g(x)$ na forma polinomial geral ($Ax^2 + Bx + C$).

O lucro mensal de uma pequena empresa de tecnologia, em milhares de euros, é modelado pela função $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, onde $x$ representa o mês do ano ($x=1$ para janeiro, etc.). A empresa decide adiar o lançamento da sua campanha de marketing um mês, o que implica uma translação horizontal da curva de lucros, e além disso assume um aumento de custos fixos de $3$ mil euros mensais. Determine a nova expressão da função de lucro $N(x)$ e determine em que mês será agora atingido o lucro máximo.

Num estudo de acústica, uma onda sonora base é modelada pela função $S(t) = \sin(t)$. Para uma experiência, a onda original é amplificada multiplicando a sua amplitude por $4$ e torna-se mais aguda duplicando a sua frequência. Além disso, introduz-se um atraso na emissão de $\frac{\pi}{4}$ segundos. Escreva a expressão analítica da nova onda sonora $W(t)$ e calcule o seu novo período.

O gráfico da função $f(x)$ é formado por dois segmentos de reta que unem os pontos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ e $(4, -2)$. Define-se uma nova função por meio da transformação $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descreva a sucessão ordenada de transformações geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcule as coordenadas exatas dos novos vértices do gráfico de $g(x)$.

A eficiência de um painel solar ao longo do dia é dada por uma função $E(t)$. Instala-se um novo modelo de painel que começa a gerar energia $2$ horas antes e, devido a um revestimento especial de grafeno, gera $15\%$ a mais de energia em cada instante equivalente. Exprime a nova função de eficiência $N(t)$ em termos de $E(t)$. Se o painel original atingia a sua máxima eficiência às 14:00, a que horas a atingirá o novo painel?

Dada a função elementar $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obter a função $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explique detalhadamente duas sucessões diferentes de transformações geométricas (alterando a ordem das translações e dilatações horizontais) que permitem obter $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demonstre algebricamente que ambas as sucessões conduzem à mesma expressão.

Expresse a função racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ na forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efetuando a divisão de polinómios. A partir deste resultado, descreva passo a passo as transformações geométricas que é necessário aplicar à hipérbole equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obter o gráfico de $f(x)$.

Uma cultura de bactérias cresce segundo a função $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, onde $t$ é o tempo em horas. Uma segunda cultura $M(t)$ inicia com a quarta parte da população inicial da primeira, mas a sua taxa de crescimento é idêntica e começou a ser medida $4$ horas antes. Expresse $M(t)$ em termos de $N(t)$ e simplifique a expressão resultante para verificar se ambas as populações serão iguais em algum momento.

Associa cada uma das expressões analíticas ao painel correspondente na figura, sabendo que todas derivam de transformações com valor absoluto aplicadas à função base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Considera a função polinomial $f(x) = x^2 - 2x - 8$ e a função transformada $g(x) = |f(x)| - 5$.

1. a) Estima: Sem resolver ainda nenhuma equação do segundo grau, calcula as coordenadas do vértice de $f(x)$ e os seus pontos de interseção com o eixo $X$. A partir dessa informação geométrica, descreve que efeito produz o valor absoluto sobre as zonas negativas e como afeta a translação vertical posterior de $-5$ unidades. Com base nisto, estima fundamentadamente quantos pontos de interseção com o eixo $X$ terá a função $g(x)$ e entre que valores do eixo real se deverão situar aproximadamente.
2. b) Verifica: Escreve e resolve algebricamente a equação $g(x) = 0$ transformando-a em duas equações quadráticas independentes de acordo com a definição de valor absoluto. Determina todos os pontos de interseção exatos e verifica se o número de soluções e as suas posições concordam com a estimativa que realizaste na alínea anterior.

De acordo com os registos de uma estação meteorológica do IPMA no planalto mirandês durante um dia de primavera com céu limpo, a temperatura $T(t)$ em graus Celsius ($^{\circ}\text{C}$) entre as $6:00$ e as $22:00$ horas ($t \in [6, 22]$) responde ao modelo quadrático:

$T(t) = -0,125(t - 14)^2 + 18$

onde $t$ indica a hora solar do dia.

No dia seguinte entra uma frente fria que modifica o regime térmico de acordo com três efeitos simultâneos sobre o gráfico:

1. O momento de máxima insolação e temperatura de pico antecipa-se $2$ horas.

2. A amplitude térmica diurna (diferença entre a temperatura máxima e a mínima) reduz-se para metade, o que equivale a comprimir o gráfico verticalmente com um fator de escala $a = 0,5$.

3. Ocorre uma descida térmica uniforme adicional de $3\,^{\circ}\text{C}$ ao longo de todo o dia devido à massa de ar frio.

1. a) Escreve a relação funcional entre o novo modelo $N(t)$ e o modelo inicial $T(t)$ na forma $N(t) = a \cdot T(t - h) + k$, justificando detalhadamente o valor e o sinal de cada um dos parâmetros $a$, $h$ e $k$.
2. b) Desenvolve e simplifica a expressão analítica final de $N(t)$ em função da hora $t$.
3. c) Determina fundamentadamente a que hora se atingirá a temperatura máxima neste novo dia frio e qual será o seu valor exato.

Um engenheiro projeta o perfil de uma ponte pênsil utilizando como modelo a curva $f(x) = e^{-x^2}$. Por requisitos geológicos do terreno, precisa de propor um novo perfil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ que cumpra simultaneamente as seguintes condições:

• Deve ter o dobro da largura do projeto original.

• O centro de simetria da ponte deve estar deslocado $4$ unidades para a direita.

• O perfil deve estar invertido (abrindo para cima em vez de para baixo), sem alterar a sua escala vertical.

• A altura mínima do novo perfil deve situar-se exatamente a $10$ metros acima do nível do solo.

Determine analiticamente os valores precisos dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $d$.

Seja $f(x)$ uma função real ímpar e periódica de período $T=6$. A partir dela, define-se a função transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Demonstre analiticamente se a função $g(x)$ é par, ímpar ou nenhuma das duas. Determine também se $g(x)$ é periódica e, em caso afirmativo, calcule o seu período mínimo.

Dada uma função arbitrária $f(x)$ cujo domínio é o intervalo $[-6, 8]$ e cujo contradomínio é o intervalo $[-4, 12]$, define-se uma nova função por meio da expressão $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcule de forma fundamentada, detalhando os efeitos de cada transformação aplicada, o domínio e o contradomínio da função $h(x)$.

Na figura, é mostrada a curva de luz de uma estrela variável, modelada pela função $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, onde $t$ é medido em dias e $L$ em unidades de luminosidade. Uma densa nuvem de poeira cósmica obscurece a estrela de tal forma que a luminosidade observada $O(t)$ a partir da Terra é exatamente o valor absoluto da diferença entre $L(t)$ e a sua luminosidade média.

Determine a expressão analítica de $O(t)$, calcule o seu novo período e encontre em que instantes $t \in [0, 12]$ a luminosidade observada é máxima.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que o gráfico da função racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ seja simétrico em relação ao ponto $C(4, 2)$.

Uma parábola tem o seu vértice na origem das coordenadas e passa pelo ponto $(2, 4)$. Aplicam-se-lhe as seguintes transformações de forma sequencial:

1. Uma contração horizontal que multiplica por $\frac{1}{3}$ as abcissas dos seus pontos.

2. Uma translação de $5$ unidades para a esquerda.

3. Uma reflexão em relação ao eixo das abcissas.

4. Uma translação de $7$ unidades para cima.

Determine a expressão analítica da função final $g(x)$ e as coordenadas exatas do seu novo vértice e dos seus pontos de interseção com os eixos.

Seja a função $f(x) = \ln(x)$. Realiza-se uma mudança de referencial no plano cartesiano de modo que a nova origem das coordenadas se situa no ponto $(-3, 2)$ do referencial antigo, inverte-se o sentido positivo do eixo das abcissas e a unidade de medida do eixo das ordenadas é reduzida para metade. Escreva a equação da curva no novo referencial.

Uma trajetória programada para um braço robótico é dada pela função $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que descreve uma semicircunferência de raio $R$ centrada na origem. A equipa de projeto deseja programar uma nova trajetória elíptica $E(x)$ que tenha o seu centro no ponto $(h, k)$, um semieixo horizontal de comprimento $a$ e um semieixo vertical de comprimento $b$ (representando unicamente a metade superior da elipse).

Exprime a função final $E(x)$ indicando claramente a composição de transformações geométricas aplicadas à função base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircunferência de raio $1$).

Deseja-se estudar a função transformada $g(x) = f(2x - 8)$ a partir de uma função base $f(x)$ cujo gráfico é conhecido. Dois alunos discutem qual é o procedimento correto para construir o gráfico de $g(x)$ mediante transformações elementares sobre a variável $x$:

• Método da Alba (fatorizar a escala horizontal): Escreve $g(x) = f(2(x - 4))$ e afirma que se deve aplicar primeiro uma contração horizontal de fator $\frac{1}{2}$ em relação ao eixo $Y$ e depois uma translação horizontal de $4$ unidades para a direita.

• Método do Bruno (translação prévia sem fator): Afirma que se deve aplicar primeiro uma translação horizontal de $8$ unidades para a direita para obter $f(x - 8)$, e sobre este gráfico aplicar uma contração horizontal substituindo $x$ por $2x$, o que comprime todo o gráfico para metade em relação ao eixo $Y$.

1. a) Verifica analiticamente se ambos os métodos conduzem ao mesmo resultado. Para isso, toma um ponto genérico $(x_0, y_0)$ pertencente ao gráfico de $f$ (ou seja, $y_0 = f(x_0)$) e determina que coordenada $x$ lhe corresponde em $g(x)$ de acordo com cada método para que se verifique $g(x) = y_0$.
2. b) Analisa criticamente os dois métodos: por que razão o método da Alba é o que se recomenda habitualmente em Matemática e qual é o erro típico em que costumam cair os alunos que tentam aplicar o método do Bruno sem prestar atenção suficiente ao centro de contração?
3. c) Sabendo que a função base $f(x)$ tem um mínimo relativo no ponto $(6, -3)$ e interseta o eixo $X$ em $x = 2$ e em $x = 10$, escolhe o método que consideres mais fiável para calcular as coordenadas do novo mínimo relativo de $g(x)$ e os seus novos pontos de interseção com o eixo $X$, justificando cada passo.

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Efetua a divisão algébrica para expressar $f(x)$ na forma canónica $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$. A partir dessa expressão, descreve com precisão a sucessão de transformações geométricas elementares (translações, dilatações e reflexões) que permitem transformar a hipérbole básica $y = \frac{1}{x}$ no gráfico de $f(x)$.
2. b) Define-se a família de funções transformadas $g_m(x) = |f(x) + m|$, onde $m \in \mathbb{R}$ é uma constante. Sabendo que $f(x)$ possui uma assíntota horizontal, deduz fundamentadamente para que valores do parâmetro $m$ o gráfico de $g_m(x)$ terá a sua assíntota horizontal situada estritamente acima da reta horizontal $y = 3$.
3. c) Para o valor particular $m = -1$, obtém a expressão simplificada dentro do valor absoluto de $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, calcula as coordenadas do ponto de interseção do seu gráfico com o eixo das abcissas e determina o intervalo exato da reta real no qual o gráfico de $f(x) - 1$ sofreu uma reflexão em relação ao eixo $X$ em consequência do valor absoluto.