Exercícios: Produto escalar

Dados os vetores $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (4, 5)$, calcule o seu produto escalar e determine se são ortogonais.

Sabendo que os módulos de dois vetores são $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$, e que o ângulo que formam é de $60^\circ$, calcule o valor exato do seu produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Encontra o valor do parâmetro $m$ para que os vetores $\vec{p} = (m, -3)$ e $\vec{q} = (6, 2)$ sejam perpendiculares.

Calcule o ângulo que os vetores $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ formam.

Dados os pontos do plano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(0, 5)$, calcule o valor do produto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Utilizando as propriedades do produto escalar, desenvolva e calcule o valor da expressão $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabendo que $|\vec{u}| = 5$ e $|\vec{v}| = 3$.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{w}$ que seja perpendicular ao vetor $\vec{v} = (-5, 12)$ e que tenha o mesmo módulo.

Calcule o módulo do vetor $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ conhecendo as componentes dos vetores $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 4)$.

A Helena tem de calcular o ângulo formado pelos vetores $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 3)$. No seu exame, escreve o seguinte procedimento:

«$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = -3$. Como o produto escalar não pode ser negativo por medir comprimentos geométricos, mudo o sinal para $+3$. Portanto, $\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, donde $\alpha = 45^\circ$».

1. a) Aponta o erro concetual cometido pela Helena relativamente ao sinal do produto escalar e explica o seu verdadeiro significado geométrico em relação ao tipo de ângulo.
2. b) Corrige a resolução calculando o valor exato do ângulo $\alpha$ formado por ambos os vetores.

Consideram-se os vetores do plano $\vec{u} = (5, 2)$ e $\vec{v} = (-1, 4)$.

1. a) Estima: Sem efetuar a multiplicação numérica das suas componentes, situa mentalmente ambos os vetores nos quadrantes correspondentes do plano cartesiano e raciocina se o seu produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ será positivo, negativo ou nulo, prevendo se o ângulo por eles formado é agudo, obtuso ou reto.
2. b) Verifica: Calcula agora o valor numérico exato de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e obtém a amplitude, em graus, do ângulo $\alpha$ entre eles (arredondando às décimas). Justifica se o resultado analítico confirma a tua previsão inicial.

Numa obra de construção, uma grua arrasta um bloco de betão aplicando uma força constante representada pelo vetor $\vec{F} = (450, 600)$ expressa em newtons. O bloco sofre um deslocamento retilíneo dado pelo vetor $\vec{d} = (12, 5)$ em metros. Sabendo que o trabalho mecânico é definido como $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcule o trabalho realizado pela grua e o ângulo que a força aplicada e o deslocamento formam.

Calcula o valor (ou os valores) do parâmetro $k$ para que o ângulo formado pelos vetores $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ seja exatamente de $135^\circ$.

Verifique, utilizando exclusivamente o produto escalar, se o triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, 12)$ é retângulo, acutângulo ou obtusângulo. Identifique em qual vértice se encontra o ângulo reto, caso seja retângulo.

No desenvolvimento de um motor físico para um jogo eletrónico, uma personagem desloca-se seguindo a direção e o sentido do vetor $\vec{d} = (8, 4)$. A gravidade neste ambiente virtual é definida pelo vetor $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcule a projeção ortogonal do vetor gravidade sobre a direção do movimento da personagem.

Sabendo que os módulos de dois vetores são $|\vec{a}| = 3$ e $|\vec{b}| = 5$, e que o seu produto escalar é $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calcule o valor exato da expressão $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{v}$ que seja ortogonal ao vetor $\vec{u} = (3, -4)$ e cujo módulo seja exatamente $10$. Tenha em conta que existem duas soluções possíveis; indique ambas.

Um painel solar plano está orientado de maneira que o seu vetor normal (perpendicular à superfície) é $\vec{n} = (1, \sqrt{3})$. Os raios solares incidem sobre o painel segundo a direção do vetor $\vec{s} = (2, -1)$. Calcule o ângulo de incidência dos raios solares, definido como o ângulo que o vetor normal $\vec{n}$ forma com o vetor dos raios solares invertido $-\vec{s}$.

Encontra o valor de $x$ para que o vetor $\vec{u} = (x, 2)$ forme um ângulo de $30^\circ$ com o semieixo positivo das abcissas. Utiliza o produto escalar com o vetor unitário $\vec{i} = (1, 0)$ para propor a equação.

Determina as coordenadas de um vetor desconhecido $\vec{w} = (x, y)$ que satisfaz simultaneamente as duas seguintes condições geométricas:

1. É ortogonal ao vetor $\vec{u} = (3, -4)$.

2. A sua projeção ortogonal com sinal sobre a direção do vetor $\vec{v} = (0, 5)$ é exatamente $-3$.

Encontra o vetor $\vec{w}$, calcula o seu módulo e justifica fundamentadamente se a solução obtida é única ou se existe mais do que um vetor que cumpra ambas as condições.

Numa instalação fotovoltaica do distrito de Faro, a direção de incidência da radiação solar num determinado momento é descrita pelo vetor unitário $\vec{s} = (0,6;\, 0,8)$, que aponta para o Sol. A orientação de um painel plano é descrita por um vetor unitário perpendicular à sua superfície, $\vec{n}$. A fração de potência captada relativamente ao máximo teórico é dada pelo produto escalar $\vec{s} \cdot \vec{n}$ (onde o valor $1$ equivale a $100\,\%$ de rendimento).

Devido a uma folga mecânica, o painel fica orientado com um vetor normal $\vec{n} = (0,8;\, 0,6)$.

1. a) Calcula $\vec{s} \cdot \vec{n}$ e determina que percentagem da sua potência máxima teórica o painel capta nessa posição.
2. b) Calcula o ângulo de desalinhamento existente entre os raios solares e a perpendicular do painel.
3. c) Se um operário rodar manualmente o painel até uma orientação com vetor normal $\vec{n}' = (-0,8;\, 0,6)$, a face frontal do painel gerará corrente? Justifica a tua resposta analisando o sinal e interpretando geometricamente o valor do produto escalar $\vec{s} \cdot \vec{n}'$.

Demonstre, utilizando exclusivamente as propriedades algébricas do produto escalar, que as diagonais de qualquer losango são perpendiculares entre si.

Nota: Pode modelar os lados do losango mediante dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ com a mesma origem e o mesmo módulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Exprima as diagonais em função de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{w} = (x, y)$ sabendo que o seu produto escalar com o vetor $\vec{u} = (2, -1)$ é igual a $4$, e que o seu produto escalar com o vetor $\vec{v} = (1, 3)$ é igual a $-5$.

Dados os vetores dependentes do parâmetro $t$, $\vec{a} = (t, 2)$ e $\vec{b} = (t-1, t)$, determine o valor de $t$ que faz com que o produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ atinja o seu valor mínimo. Calcule também o ângulo que os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam para esse valor específico de $t$.

Num triângulo cujos vértices são os pontos $P(-3, -1)$, $Q(5, -1)$ e $R(1, 6)$, utilize o conceito de produto escalar e ortogonalidade de vetores para determinar as coordenadas exatas do seu ortocentro (o ponto onde se intersecionam as três alturas do triângulo).

Em computação gráfica, a intensidade de luz difusa sobre uma superfície é calculada através da lei de Lambert: $I = I_0 \max(0, \vec{n} \cdot \vec{l})$, onde $\vec{n}$ é o vetor normal unitário à superfície e $\vec{l}$ é o vetor unitário que aponta para a fonte de luz. Se uma superfície tem um vetor normal com a mesma direção e sentido que $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ e a fonte de luz se encontra na direção e sentido do vetor $\vec{w} = (1, 1)$, calcule a intensidade exata de luz $I$ como uma fração de $I_0$.

Sabe-se que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são dois vetores unitários. Se os vetores construídos como $\vec{a} = \vec{u} + 2\vec{v}$ e $\vec{b} = 5\vec{u} - 4\vec{v}$ forem ortogonais entre si, determine o ângulo exato que os vetores originais $\vec{u}$ e $\vec{v}$ formam.

Considere os pontos fixos $A(0, 3)$ e $B(5, 2)$. Determine todos os pontos $C$ situados sobre o eixo das abcissas tais que o triângulo $ABC$ seja retângulo com o ângulo reto situado no vértice $C$.

Demonstre analiticamente a "Lei do Paralelogramo" utilizando as propriedades do produto escalar. Ou seja, demonstre que, para quaisquer dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, se verifica a identidade:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Explique cada passo algébrico baseando-se na definição de módulo ao quadrado como o produto escalar de um vetor por si mesmo.

Conhecem-se os módulos de dois vetores, $|\vec{u}| = 3$ e $|\vec{v}| = 5$, e sabe-se que formam entre si um ângulo de $60^\circ$. Pretende-se determinar o cosseno do ângulo $\theta$ formado pelos vetores soma $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$ e diferença $\vec{b} = \vec{u} - \vec{v}$. Dois alunos propõem caminhos distintos:

• Estratégia A (Geometria analítica): Fixar um referencial cartesiano com $\vec{u} = (3, 0)$ sobre o eixo das abcissas, determinar as componentes de $\vec{v} = (5\cos 60^\circ, 5\sin 60^\circ)$ através de razões trigonométricas, somar e subtrair para obter $\vec{a}$ e $\vec{b}$ em coordenadas, e aplicar a expressão analítica do produto escalar.

• Estratégia B (Álgebra vetorial): Desenvolver simbolicamente $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ e os módulos $|\vec{a}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ e $|\vec{b}|^2 = (\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ utilizando exclusivamente as propriedades comutativa, distributiva e $\vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2$, sem fixar eixos nem coordenadas.

1. a) Aplica ambas as estratégias de forma completa para obteres o valor exato de $\cos\theta$.
2. b) Compara os dois caminhos: qual dos dois métodos revela uma propriedade geométrica que não depende de todo do ângulo de $60^\circ$? Justifica qual é mais direto e generalizável a três dimensões.

1. a) Demonstra formalmente, utilizando unicamente as propriedades algébricas do produto escalar (comutativa, distributiva e $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), a conhecida como Lei do paralelogramo:

1. b) No porto de Leixões, dois rebocadores ajudam a posicionar uma plataforma flutuante puxando através de cabos amarrados a um mesmo ponto de engate. As forças aplicadas são modeladas como vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, com módulos $|\vec{u}| = 8\text{ kN}$ e $|\vec{v}| = 6\text{ kN}$. Um dinamómetro no engate regista que a força resultante total tem um módulo de $|\vec{u} + \vec{v}| = 12\text{ kN}$. Sem calcular o ângulo formado pelos cabos nem utilizar coordenadas cartesianas, aplica a identidade demonstrada na alínea anterior para calcular o valor exato do módulo $|\vec{u} - \vec{v}|$.
2. c) A partir dos dados e dos resultados anteriores, deduz de forma fundamentada o sinal do produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e determina se o ângulo compreendido entre as duas linhas de tração é agudo, reto ou obtuso.