Exercícios: Taxa de variação média de uma função

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = 3x - 5$ no intervalo $[1, 4]$. Este valor coincide com o declive da reta que representa a função?

Encontra a taxa de variação média da função quadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ nos intervalos $[0, 2]$ e $[2, 4]$.

Dada a função $h(t) = t^3 + 2t$, determine a sua taxa de variação média no intervalo $[-1, 2]$.

Calcule a taxa de variação média da função racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ no intervalo $[2, 5]$.

Encontra a taxa de variação média da função radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ no intervalo $[1, 6]$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ representado na figura. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[-2, 2]$. Que interpretação geométrica tem esse valor em relação à reta secante traçada?

A distância em metros percorrida por um ciclista em função do tempo em segundos é dada pela expressão $d(t) = 2t^2 + 5t$. Qual foi a sua velocidade média entre os instantes $t = 2$ e $t = 5$?

A temperatura em graus Celsius de um forno industrial evolui segundo a função $T(t) = 20 + 5t - t^2$, onde $t$ é o tempo em minutos. Calcule a taxa de variação média da temperatura nos primeiros $3$ minutos.

A Inês tenta calcular a taxa de variação média da função $f(x) = x^2 - 3x$ no intervalo $[2, 5]$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:

1. a) Identifica o erro conceptual cometido pela Inês e explica por palavras tuas por que razão a taxa de variação média não equivale a avaliar a função na amplitude do intervalo.
2. b) Calcula de forma correta a $\text{TVM}[2, 5]$ mostrando todos os passos.
3. c) A partir do sinal do resultado obtido na alínea anterior, descreve a inclinação da reta secante que passa pelos pontos de abcissas $x = 2$ e $x = 5$.

Num dia de verão em Faro, os registos meteorológicos indicam que a temperatura $T$ (em graus Celsius) entre as $10:00$ ($t = 0$) e as $16:00$ ($t = 6$) se ajusta a um modelo linear por ramos:

1. a) Calcula a taxa de variação média da temperatura no intervalo $[0, 4]$ e no intervalo $[4, 6]$. Não te esqueças de indicar as unidades de medida dos resultados.
2. b) Sem realizares nenhuma operação numérica adicional, deduz qual é o valor de $\text{TVM}[1, 3]$. Justifica a tua resposta utilizando as propriedades da taxa de variação média em funções afins.
3. c) Calcula a $\text{TVM}[0, 6]$ em todo o período e interpreta o seu significado físico.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a taxa de variação média da função $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ no intervalo $[1, 3]$ seja igual a $5$.

Compare a taxa de variação média das funções $f(x) = 2^x$ e $g(x) = x^3$ no intervalo $[2, 4]$. Qual das duas funções tem um crescimento médio maior nesse intervalo?

O número de bactérias numa cultura de laboratório após $t$ horas é modelado pela função $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calcule a taxa de variação média da população no intervalo de tempo compreendido entre $t = 0$ e $t = 5$ horas. Exprima o resultado em função do número $e$.

Os lucros mensais de uma empresa, em milhares de euros, são dados pela função $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, onde $x$ é a quantia investida em publicidade em milhares de euros. Calcule a taxa de variação média do lucro se o investimento em publicidade passar de $3$ para $6$ milhares de euros, e interprete o resultado.

Dada a função $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, determine a equação da reta secante que passa pelos pontos do gráfico de abcissas $x = 1$ e $x = 4$. Qual é a relação entre o declive dessa reta e a taxa de variação média nesse intervalo?

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = \frac{1}{x}$ no intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando a expressão resultante o máximo possível.

Do topo de um penhasco lança-se verticalmente para cima um sinalizador de salvamento. A sua altura, em metros, em relação ao nível do mar após $t$ segundos é dada por $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determine a velocidade média do sinalizador nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. O que indica o sinal dos resultados obtidos?

O gráfico seguinte mostra o volume de água $V(t)$, em litros, contido num reservatório ao longo de $8$ horas. A partir dos pontos destacados no gráfico, calcule a taxa de variação média do volume nos intervalos $[0, 4]$ e $[4, 8]$. Em que período o esvaziamento foi mais rápido, em média?

Considera a função exponencial $f(x) = 2^x$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo numérico, observa o comportamento geral de uma função exponencial e estima fundamentadamente qual das duas taxas será maior: $\text{TVM}[0, 2]$ ou $\text{TVM}[2, 4]$. Esperas que ambas sejam positivas?
2. b) Calcula com exatidão $\text{TVM}[0, 2]$ e $\text{TVM}[2, 4]$. Verifica se o resultado numérico confirma a tua estimativa prévia.
3. c) Pode existir alguma função polinomial não constante para a qual se verifique que $\text{TVM}[0, 2] = \text{TVM}[2, 4]$? Justifica que tipo de função cumpriria essa igualdade e por que razão tal não acontece com $f(x) = 2^x$.

Deseja-se estudar a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ em três intervalos que partem do mesmo ponto $a = 1$: $[1, 2]$, $[1; 1,5]$ e $[1; 1,1]$. Dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• Método da Clara: calcular separadamente $f(b)$ e $f(1)$ para cada extremo e aplicar a fórmula $\text{TVM} = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ três vezes de forma independente.

• Método do Daniel: expressar o extremo superior como $1+h$, deduzir uma fórmula algébrica geral simplificada para $\text{TVM}[1, 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ em função do incremento $h$, e depois particularizar substituindo $h = 1$, $h = 0,5$ e $h = 0,1$.

1. a) Aplica o método do Daniel: desenvolve e simplifica ao máximo a expressão algébrica da $\text{TVM}[1, 1+h]$ e determina os três valores pedidos.
2. b) Aplica o método da Clara unicamente para o intervalo $[1; 1,1]$ e verifica que ambos os métodos conduzem exatamente ao mesmo resultado.
3. c) Argumenta qual dos dois métodos se revela mais vantajoso quando se devem avaliar muitos intervalos que partilham a origem $a = 1$, e explica como a expressão obtida pelo Daniel permite deduzir a tendência da taxa quando o incremento $h$ se torna praticamente zero.

A taxa de variação média da função $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ no intervalo $[1, b]$ é igual a $6$. Sabendo que $b > 1$, determine o valor de $b$. O resultado depende do valor da constante $c$?

Sabe-se que uma função quadrática da forma $f(x) = ax^2 + bx + 5$ tem uma taxa de variação média de $1$ no intervalo $[0, 2]$ e de $9$ no intervalo $[2, 4]$. Escreva um sistema de equações e determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$.

Demonstre analiticamente que a taxa de variação média de qualquer função afim $f(x) = mx + n$ num intervalo arbitrário $[a, b]$ é sempre constante e igual a $m$.

A lei do arrefecimento de Newton estabelece que a temperatura de um objeto se aproxima da temperatura ambiente de forma exponencial. Um engenheiro modela a temperatura de uma peça metálica, em graus Celsius, após $t$ minutos, por meio de $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Calcule a taxa de variação média nos intervalos $[0, 5]$ e $[5, 10]$. Que conclusão se retira sobre o ritmo de arrefecimento à medida que o tempo passa?

Considere a função $f(x) = \frac{4}{x}$. A reta secante ao gráfico de $f(x)$ que passa pelos pontos de abcissas $x = 1$ e $x = 4$ forma um triângulo retângulo com os semieixos positivos de coordenadas. Calcule a área desse triângulo.

Dada a função definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcule a taxa de variação média no intervalo $[0, 4]$. Verifique se a função é contínua em $x=2$ e raciocine se isso afeta o cálculo da taxa de variação média.

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = \sqrt{x+2}$ no intervalo $[2, 2+h]$. Em seguida, determine de que valor se aproxima essa taxa de variação quando $h$ tende para $0$.

A força de atração gravitacional entre a Terra e um satélite varia em função da distância $r$ (em milhares de km) ao centro da Terra segundo a expressão $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$. Calcule a taxa de variação média da força quando a distância passa de $10$ para $20$ milhares de km. Interprete o significado do sinal do resultado obtido.

Pretende-se determinar uma função quadrática da forma $f(x) = ax^2 + bx$ (sem termo independente) que verifique simultaneamente duas condições sobre o seu ritmo de variação:

1. A sua taxa de variação média no intervalo $[0, 2]$ é igual a $5$.

2. A sua taxa de variação média no intervalo $[1, 4]$ é igual a $11$.

1. a) Modela um sistema de equações lineares a partir da definição de TVM e calcula os valores exatos dos coeficientes $a$ e $b$.
2. b) Para a função obtida, considera um intervalo simétrico de amplitude $2h$ centrado em qualquer abcissa $x_0$, isto é, $[x_0 - h, x_0 + h]$. Demonstra algebricamente que $\text{TVM}[x_0 - h, x_0 + h]$ depende exclusivamente do centro $x_0$ e não depende, de todo, da amplitude $h$.
3. c) Verifica se esta propriedade se mantém para a função cúbica $g(x) = x^3$ avaliando e comparando $\text{TVM}[-1, 1]$ e $\text{TVM}[-2, 2]$ (ambos os intervalos centrados em $x_0 = 0$). Conclui fundamentadamente se essa independência da amplitude é uma característica geral ou específica de certas famílias de funções.

A Direção-Geral de Trânsito (DGT) controla um troço de $6\text{ km}$ na autoestrada A-6 através de um radar de troço. Neste setor, a velocidade máxima permitida é de $90\text{ km/h}$. Um veículo entra no troço às $12:00:00$ ($t = 0\text{ h}$) e a sua posição $s(t)$ em quilómetros dentro do troço é descrita pela função $s(t) = 96t - 288t^2$, onde o tempo $t$ é medido em horas.

1. a) Formula a equação correspondente para calcular a hora exata em que o veículo atinge os $6\text{ km}$ e sai do troço. Expressa o tempo decorrido em minutos exatos.
2. b) Calcula a taxa de variação média da posição em todo o percurso do troço, $\text{TVM}[0, t_{\text{saída}}]$, e interpreta o seu resultado como a velocidade média do veículo em $\text{km/h}$. O radar de troço vai multar este condutor?
3. c) Um relatório preliminar afirma: «Dado que a velocidade média no troço foi inferior a $90\text{ km/h}$, o veículo respeitou o limite de velocidade ao longo de todo o trajeto». Refuta matematicamente esta afirmação: calcula a $\text{TVM}[0; 1/60]$ correspondente ao primeiro minuto de trajeto, compara esse valor com o limite legal de $90\text{ km/h}$ e reflete sobre a diferença fundamental entre a taxa de variação média num intervalo e a velocidade real instantânea.