Exercícios: Representação gráfica de funções

Encontra os pontos de interseção do gráfico de $f(x) = x^3 - 4x$ com os eixos coordenados.

Determine o domínio da função $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ e indique a sua assíntota vertical, estudando os limites laterais no ponto que não pertence ao domínio.

Verifique que a função $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ tem uma assíntota horizontal e calcule a sua equação estudando o limite quando $x \to \pm \infty$.

Verifique que a função $f(x) = x^3 - x$ é ímpar e explique que vantagem essa simetria traz na hora de a representar graficamente.

A figura mostra o gráfico completo de uma função racional, com as suas assíntotas desenhadas a tracejado. A partir da leitura do gráfico, indique: domínio, pontos de interseção com os eixos, equações das assíntotas e intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

A figura mostra o esquema de sinais de uma função polinomial do segundo grau: o seu gráfico fica acima do eixo das abcissas fora do intervalo $[1, 4]$ e abaixo dentro dele.

1. a) Escreve uma possível expressão analítica de $f$.

1. b) Quantas funções polinomiais do segundo grau distintas satisfazem esse mesmo esquema de sinais? Justifica a tua resposta.

Realize a divisão $\frac{x^2 + 1}{x}$ e verifique que o gráfico de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ se aproxima da reta $y = x$ quando $x \to \pm \infty$, como ilustra a figura. Que nome tem essa reta?

Justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: "Se uma função tem uma assíntota horizontal, o seu gráfico nunca pode cortar essa assíntota". Se for falsa, verifique com a função $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$, comprovando que o seu gráfico corta a sua assíntota horizontal em algum ponto.

Observe o seguinte gráfico de uma função polinomial. Identifique os intervalos em que a função é convexa (forma de $\cup$) e côncava (forma de $\cap$). Indique também as coordenadas aproximadas do seu ponto de inflexão.

O gráfico seguinte corresponde à função de proporcionalidade inversa $y = -\frac{2}{x}$. A partir da observação da curva, determine os intervalos de concavidade e convexidade. Esta função tem algum ponto de inflexão no seu domínio?

Indique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justifique a sua resposta detalhadamente:

"Um ponto de inflexão é aquele ponto do gráfico em que a função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa".

O Marcos tem de encontrar as assíntotas verticais da função racional $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. O seu raciocínio no exame foi o seguinte: «Igualo o denominador a zero: $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ e $x = -2$. Portanto, a função tem duas assíntotas verticais: as retas $x = 2$ e $x = -2$».

1. a) Explica qual é o erro conceptual cometido pelo Marcos e por que razão anular o denominador é uma condição necessária, mas não suficiente, para a existência de uma assíntota vertical.
2. b) Calcula os limites pertinentes ($\lim_{x \to 2} f(x)$ e $\lim_{x \to -2} f(x)$) para determinar com rigor qual dos dois valores corresponde realmente a uma assíntota vertical e o que acontece no gráfico no outro ponto.
3. c) Escreve a conclusão correta indicando a equação da única assíntota vertical e as coordenadas do «buraco» ou descontinuidade eliminável que a curva apresenta.

Para estudar se o gráfico da função $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ tem assíntota oblíqua e conhecer a sua posição relativa em relação a ela, dois colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• A Beatriz propõe calcular os limites gerais no infinito: $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

• O Tomás propõe efetuar diretamente a divisão polinomial entre o numerador e o denominador para reescrever $f(x) = c(x) + \frac{r(x)}{d(x)}$.

1. a) Compara ambos os caminhos e justifica qual é mais direto e fornece informação imediata sobre a posição da curva em relação à assíntota.
2. b) Aplica o método mais conveniente para obter a equação da reta assíntota oblíqua $y = m \cdot x + n$ e determina se a curva se situa acima ou abaixo dela quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Estude e represente graficamente a função $f(x) = x^3 - 3x^2$ seguindo estes passos:

1. a) Pontos de interseção com os eixos.

1. b) Derivada, pontos singulares e intervalos de monotonia.

1. c) Máximos e mínimos relativos.

1. d) Desenhe o gráfico reunindo toda a informação anterior.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função biquadrática $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetria, pontos de interseção com os eixos, intervalos de monotonia, extremos relativos e desenho do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: domínio, pontos de interseção, assíntotas verticais e horizontais com os respetivos limites, monotonia por meio da derivada e esboço do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: domínio, pontos de interseção, assíntota vertical, assíntota oblíqua (efetue a divisão), intervalos de monotonia e extremos relativos, e esboço do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Mede-se a temperatura de um copo de água quente numa cozinha a $20\ \text{°C}$ e obtêm-se os dados da figura. O modelo proposto é $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, com $t$ em minutos.

1. a) Verifique que o modelo é coerente com os primeiros dados da figura.

1. b) Estude a monotonia de $T(t)$ para $t \geq 0$ por meio da sua derivada.

1. c) Calcule a assíntota horizontal e interprete o seu significado físico.

1. d) Esboce o gráfico do modelo para $t \geq 0$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estuda e representa a função $f(x) = x \cdot (x - 2)^2$: pontos de interseção com os eixos (observa a raiz dupla e o que implica para o gráfico em $x = 2$), intervalos de monotonia, extremos relativos e esboço.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um aluno afirma que o gráfico da função $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ é a parábola que aparece na figura. Explique o erro cometido, simplifique a expressão de $f$ e descreva como é realmente o seu gráfico, indicando o que se passa em $x = 2$.

Estude e represente a função definida por ramos

analisando: domínio, continuidade no ponto de junção, monotonia em cada ramo, extremos relativos e desenho do gráfico completo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O gráfico seguinte representa a distância percorrida por um veículo em função do tempo ao longo de um percurso. Analise a curvatura nos três troços marcados (A, B e C) e relacione se a função é côncava, convexa ou linear com o estado de movimento do veículo (a acelerar, a travar ou a velocidade constante).

Durante uma epidemia, o número total de pessoas contagiadas é modelado por meio da curva que aparece na figura. Identifique o ponto de inflexão do gráfico. Que nome recebe esse ponto na linguagem epidemiológica popular e o que indica sobre o ritmo diário de novos contágios?

Está a ser despejada água a um ritmo constante em três recipientes de vidro com formas diferentes: um cilindro reto, um cone com o vértice para baixo e um cone com o vértice para cima. Associa cada recipiente à forma que terá o gráfico da altura da água em função do tempo: convexa ($\cup$), côncava ($\cap$) ou linear. Justifica a tua resposta observando como varia a largura do recipiente.

Dada a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Represente graficamente a função de forma esquemática. Estude a sua concavidade e convexidade nos intervalos $(-\infty, 0)$ e $(0, +\infty)$. A origem dos eixos coordenados é um ponto de inflexão? Justifique a sua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Em economia, a função de custos totais de produção de uma fábrica costuma ter forma côncava ($\cap$) no início devido às economias de escala (os custos crescem cada vez mais devagar), e convexa ($\cup$) a partir de certo nível de produção por saturação (os custos crescem cada vez mais depressa).

Se a função de custos totais é $C(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x$, onde $x$ são as unidades produzidas, e se sabe que o ponto de inflexão separa essas duas zonas, a partir de que nível de produção os custos começam a subir mais depressa? (Dado: o ponto de inflexão de uma função cúbica $ax^3+bx^2+cx+d$ situa-se em $x = -\frac{b}{3a}$).

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, sabe-se pelo seu gráfico que o seu ponto de inflexão se encontra situado exatamente na coordenada $x$, que é o ponto médio entre os seus dois extremos relativos (um máximo local em $x=1$ e um mínimo local em $x=3$).

Calcule as coordenadas exatas do ponto de inflexão e determine os intervalos de concavidade ($\cap$) e convexidade ($\cup$) da função.

A função $f(x) = |x^2 - 4|$ representa o valor absoluto de uma parábola e o seu gráfico tem forma de "W" arredondado.

Observa o seu gráfico e determina em que intervalos a função é côncava ($\cap$) e em quais é convexa ($\cup$). Os pontos $x=-2$ e $x=2$ (marcados a vermelho) podem ser considerados pontos de inflexão propriamente ditos? Justifica a tua resposta.

Considere a família de funções quadráticas paramétricas dadas pela expressão $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, onde $a$ é um número real.

1. a) Para que valores exatos do parâmetro $a$ é que a função é uma parábola com a concavidade voltada para cima ($\cup$)?
2. b) Para que valores de $a$ é que a parábola tem a concavidade voltada para baixo ($\cap$)?
3. c) Existe algum valor de $a$ para o qual o gráfico da função não tenha curvatura? Nesse caso, que tipo de função se obtém?

Um capital inicial de $1000\ \text{€}$ é investido num fundo a juros compostos anuais de $5\%$. A função que descreve o capital acumulado ao longo do tempo $t$ (em anos) é $C(t) = 1000 \cdot (1,05)^t$.

Sabendo que as funções exponenciais com base maior do que $1$ têm uma curvatura característica, determine se esta função é côncava ($\cap$) ou convexa ($\cup$). Chegará algum momento no futuro em que o ritmo de crescimento do capital comece a diminuir, gerando assim um ponto de inflexão? Justifique a sua resposta.

Considera a função racional $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estima sem derivar: Analisa a sua simetria calculando $f(-x)$, o seu sinal para valores de $x > 0$, a interseção com os eixos e o seu comportamento assintótico quando $x \to +\infty$. A partir destes dados exclusivamente, raciocina se a função deve atingir obrigatoriamente um máximo relativo para algum valor positivo de $x$. Se, além disso, calculares que $f(1) = 2$, achas razoável que a altura máxima supere o valor $y = 3$? Justifica a tua estimativa.
2. b) Verifica analiticamente: Calcula a primeira derivada $f'(x)$, determina os pontos singulares e verifica se o valor exato do máximo coincide qualitativamente com o que tinhas deduzido.
3. c) Utiliza a propriedade de simetria demonstrada na primeira alínea para deduzir, sem voltar a estudar sinais de derivadas, as coordenadas exatas e a natureza do extremo relativo correspondente na semirreta negativa.

Uma equipa de design gráfico precisa de reproduzir uma curva simétrica que responda ao modelo racional $f(x) = \frac{a \cdot x^2 + b}{x^2 - c}$, onde $a$, $b$ e $c$ são coeficientes reais. Estabelecem-se as seguintes condições:

1. O gráfico tem duas assíntotas verticais simétricas nas retas $x = 2$ e $x = -2$.

2. No infinito, a curva aproxima-se da reta horizontal $y = 3$.

3. A curva corta o eixo vertical das ordenadas no ponto $(0, -1)$.

1. a) Formula as equações correspondentes e calcula o valor dos parâmetros $a$, $b$ e $c$.
2. b) Com a função já determinada, descobre fundamentadamente se o gráfico chega a cortar em algum momento o eixo horizontal $X$.
3. c) Estuda o sinal da derivada $f'(x)$ e demonstra que o ponto de interseção com o eixo $Y$ é necessariamente um extremo relativo, indicando se se trata de um máximo ou de um mínimo.

Realiza o estudo completo e a representação gráfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Domínio, pontos de interseção com os eixos e simetrias.

1. b) Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, com os limites correspondentes.

1. c) Intervalos de monotonia e extremos relativos.

1. d) Posição do gráfico em relação à assíntota oblíqua e esboço final.

Estude e represente a função $f(x) = x \cdot e^{-x}$: domínio, pontos de interseção com os eixos, assíntota horizontal quando $x \to +\infty$, comportamento quando $x \to -\infty$, intervalos de monotonia, extremo relativo e esboço do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função $f(x) = x + \frac{1}{x}$: domínio, simetria ímpar, ausência de interseções com o eixo das abcissas (justifique-a), assíntotas vertical e oblíqua, intervalos de monotonia, extremos relativos com os seus valores e gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Procura-se uma função racional cujo gráfico tenha assíntota vertical $x = 1$, assíntota horizontal $y = 2$ e passe pelo ponto $(0, 1)$.

1. a) Proponha uma expressão do tipo $f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}$ e determine $a$ e $b$ com as condições dadas.

1. b) Verifique que a função obtida cumpre as três condições.

1. c) Estude a sua monotonia e desenhe o seu gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$: domínio, simetria, assíntotas verticais e horizontais (calcule os quatro limites necessários), monotonia em cada ramo por meio da derivada e esboço do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Após tomar um medicamento em jejum, a sua concentração no sangue, em $\text{mg/l}$, é modelada por $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, onde $t \geq 0$ são as horas decorridas.

1. a) Estude a monotonia de $C(t)$ e determine em que momento a concentração é máxima e quanto vale.

1. b) Calcule a assíntota horizontal e interprete-a no contexto.

1. c) Determine durante que intervalo de tempo a concentração supera $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esboce o gráfico completo do modelo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere a função $f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$.

1. a) Realize a divisão e verifique que $f(x) = x + \frac{x}{x^2 + 1}$, deduzindo que a reta $y = x$ é assíntota oblíqua.

1. b) Determine em que ponto o gráfico corta a sua assíntota oblíqua e estude em que regiões a curva fica acima e abaixo dela.

1. c) Complete o estudo (simetria, monotonia) e desenhe o gráfico juntamente com a assíntota.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estude e represente a função $f(x) = \frac{\ln x}{x}$: domínio, ponto de interseção com o eixo das abcissas, limites nos extremos do domínio (em particular a assíntota vertical e a horizontal), intervalos de monotonia, extremo relativo e desenho do gráfico.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Um engenheiro está a desenhar o perfil de uma montanha-russa. O primeiro troço de descida segue a equação $y = -x^2 + 4$ para $x \le 1$. Para suavizar a transição para a subida, decide unir em $x = 1$ um segundo troço com forma de parábola $y = a(x - 2)^2 + b$ para $x > 1$.

Para que a união seja suave, a função total deve ser contínua e derivável em $x = 1$ (sem saltos nem bicos). Além disso, nesse ponto deve mudar a curvatura: o primeiro troço é côncavo e o segundo deve ser convexo, de modo que $x = 1$ seja um ponto de inflexão.

1. a) Determina os valores de $a$ e $b$ impondo a continuidade e a derivabilidade em $x = 1$.

1. b) Comprova que com esses valores se cumpre a mudança de curvatura em $x = 1$, estudando o sinal da segunda derivada de cada troço.

Uma propriedade geométrica fundamental das funções convexas ($\cup$) é que o segmento de reta que une dois pontos quaisquer do seu gráfico fica sempre acima da curva.

Verifique analiticamente essa propriedade para a função $f(x) = x^2$. Para isso, determine a equação da reta secante que passa pelos pontos do gráfico de abcissas $x = -1$ e $x = 3$. Em seguida, calcule o valor da reta em $x = 1$ e verifique que é estritamente maior do que $f(1)$.

Descreve e desenha no teu caderno um esboço de uma função contínua $f(x)$ definida no domínio $[-5, 5]$ que cumpra simultaneamente todas as seguintes condições:

• É ímpar (simetria em relação à origem).

• Tem um máximo relativo em $x = 2$ e um mínimo relativo em $x = -2$.

• Tem exatamente três pontos de inflexão situados em $x = -3$, $x = 0$ e $x = 3$.

• Tem a concavidade voltada para cima ($\cup$) nos intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.

• Tem a concavidade voltada para baixo ($\cap$) nos intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Durante o período de degelo primaveril nos Pirinéus aragoneses, o caudal de afluência de água $Q(t)$ (em $\text{hm}^3/\text{día}$) a uma albufeira da bacia do Ebro ajusta-se ao longo de um mês ($t \in [0, 30]$ dias decorridos) de acordo com a função:

1. a) Determina o caudal inicial no instante $t = 0$ e calcula o valor limite para o qual tenderia o caudal se o período se prolongasse indefinidamente ($t \to +\infty$). Interpreta a assíntota horizontal encontrada no contexto físico da albufeira.
2. b) Mediante a análise de $Q'(t)$, localiza com precisão matemática o dia em que se regista o caudal de ponta (máximo) e calcula o seu volume diário.
3. c) A equipa técnica da barragem precisa de antecipar o momento em que o caudal desce com a máxima rapidez (máxima velocidade de descida) para ajustar o descarregamento das comportas. Calcula $Q''(t)$, localiza o ponto de inflexão no intervalo $[5, 30]$ e interpreta o seu significado físico.
4. d) Traça um esboço detalhado do gráfico de $Q(t)$ para $t \in [0, 30]$, situando os pontos-chave (início, assíntota, extremos e curvatura) obtidos nas alíneas anteriores.

Para definir o perfil longitudinal de uma rampa de aceleração num banco de ensaios, modela-se a trajetória através de um polinómio cúbico $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ que deve cumprir as seguintes restrições de projeto:

1. A rampa parte da origem das coordenadas $(0, 0)$ com um declive inicial de $45^\circ$ (a reta tangente tem declive $m = 1$).

2. Apresenta o seu ponto de inflexão exatamente no ponto do plano $(2, 6)$.

1. a) Formula o sistema de equações correspondente a partir de $f(0)$, $f'(0)$, $f''(2)$ e $f(2)$, e obtém os valores numéricos de $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Calcula as coordenadas exatas dos extremos relativos (máximo e mínimo) da função em toda a reta real e classifica-os utilizando o critério da segunda derivada.
3. c) Demonstra que qualquer função cúbica possui simetria central em relação ao seu ponto de inflexão: para isso, define a função transladada para a origem $g(x) = f(x + 2) - 6$ e demonstra formalmente que $g(x)$ é uma função ímpar ($g(-x) = -g(x)$).