Exercícios: Problemas de otimização

Decomponha o número $24$ como soma de dois números positivos de modo que o seu produto seja máximo. Formule a função a otimizar e resolva o problema com recurso à derivada.

Entre todos os retângulos de perímetro $36\ \text{m}$, encontra as dimensões daquele que tem área máxima e calcula essa área.

Entre todos os retângulos de área $100\ \text{m}^2$, determine as dimensões daquele que tem perímetro mínimo e o valor desse perímetro.

A área de um curral retangular construído junto a uma parede com $40\ \text{m}$ de vedação para os outros três lados é dada, em função de um dos seus lados $x$, por $A(x) = 40x - 2x^2$. Encontra o valor de $x$ que torna máxima a área e o valor dessa área máxima.

Qual é o número positivo que excede o seu quadrado na maior quantidade possível? Exprime essa quantidade em função do número e maximiza-a com a derivada.

Um hortelão quer vedar uma horta retangular encostada ao muro da sua casa, de modo que só precisa de vedar três lados. Dispõe de $60\ \text{m}$ de vedação.

1. a) Exprime a área da horta em função do lado $x$ perpendicular ao muro.

1. b) Determina as dimensões que tornam máxima a área e o valor dessa área.

Encontra dois números positivos cuja soma seja $18$ e cuja soma de quadrados seja mínima.

Justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: "O valor máximo de uma função contínua num intervalo fechado é sempre atingido num ponto onde $f'(x) = 0$". Se for falsa, dê um contraexemplo com uma função simples num intervalo concreto.

A Maria quer projetar uma horta retangular na sua aldeia aproveitando um muro de pedra já existente, de modo que só precisa de vedar três lados (dois de largura e um de comprimento). Dispõe de $60\text{ m}$ de rede metálica e deseja que a superfície cultivável seja máxima. No seu exame, a Maria escreve:

«Chamo $x$ e $y$ aos lados do retângulo. Como o perímetro é $2x + 2y$, temos $2x + 2y = 60 \implies y = 30 - x$. A função da área é $A(x) = x(30 - x) = 30x - x^2$. Derivando: $A'(x) = 30 - 2x = 0 \implies x = 15\text{ m}$. Portanto, as dimensões ótimas são $15\text{ m} \times 15\text{ m}$ e a área máxima é $225\text{ m}^2$».

1. a) Localiza e explica os dois erros conceptuais cometidos pela Maria: um na formulação geométrica da restrição e outro na justificação do extremo.
2. b) Corrige o exercício: define a variável escolhida e o seu domínio físico admissível, formula a função da área correta, justifica mediante a derivada que se trata de um máximo absoluto e calcula as verdadeiras dimensões e a área máxima da horta.

Uma cooperativa agrícola de Évora dispõe de um orçamento que lhe permite instalar exatamente $80\text{ m}$ de vedação para delimitar um recinto retangular destinado à criação ecológica de aves.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo analítico com derivadas, estima fundamentadamente que forma geométrica retangular proporcionará a maior superfície possível e arrisca que dimensões ($x$ e $y$) e que área máxima deveria ter. Justifica a tua intuição a partir do princípio da partilha equilibrada e da simetria geométrica.
2. b) Modela o problema definindo a variável $x$ (comprimento de um dos lados), o seu domínio admissível no contexto físico e a função da área $A(x)$.
3. c) Calcula o candidato a ótimo mediante $A'(x) = 0$, demonstra através do sinal da primeira derivada ou da segunda derivada que se trata de um máximo absoluto e calcula a área máxima. O resultado exato coincide com a tua estimativa inicial? Explica porquê.

Com uma cartolina quadrada de $24\ \text{cm}$ de lado pretende-se construir uma caixa sem tampa, recortando quatro quadrados iguais de lado $x$ nos cantos e dobrando as laterais, como indica a figura.

1. a) Exprime o volume da caixa $V(x)$ em função de $x$ e indica o domínio de validade de $x$.

1. b) Determina o valor de $x$ que torna máximo o volume.

1. c) Calcula o volume máximo e verifica, com o sinal de $V'(x)$ de ambos os lados, que se trata de um máximo.

Um pecuarista dispõe de $240\ \text{m}$ de vedação para construir um curral retangular dividido em duas parcelas por uma vedação interior paralela a um dos lados, como na figura.

1. a) Expresse a área total do curral em função de um dos seus lados.

1. b) Determine as dimensões que tornam máxima a área total e calcule essa área.

Uma empresa de conservas projeta latas cilíndricas com tampa de $500\ \text{cm}^3$ de capacidade, como a da figura.

1. a) Exprima a superfície total de chapa $S(r)$ em função do raio $r$ da base, usando a condição do volume para isolar a altura.

1. b) Determine o raio que minimiza a quantidade de chapa (basta indicar o seu valor exato e uma aproximação com duas casas decimais).

1. c) Que relação existe entre a altura e o raio na lata ótima?

Uma loja de roupa vende semanalmente $80$ t-shirts a $12\ \text{€}$ a unidade. Estima que por cada euro que reduza no preço venderá $10$ t-shirts a mais por semana.

1. a) Expresse a receita semanal $I(x)$ em função do desconto $x$ em euros.

1. b) Determine o preço que maximiza a receita e a receita máxima semanal.

Procura-se o ponto da parábola $y = x^2$ mais próximo do ponto $P(0, 3)$.

1. a) Exprima o quadrado da distância de um ponto genérico da parábola a $P$ (minimizar o quadrado da distância equivale a minimizar a distância).

1. b) Determine os pontos da parábola que minimizam essa distância e calcule a distância mínima.

Um designer idealiza um cartaz com $400\ \text{cm}^2$ de área impressa e margens de $4\ \text{cm}$ nos quatro lados.

1. a) Exprima a área total do papel em função da largura $x$ da zona impressa.

1. b) Determine as dimensões da folha completa que minimizam o gasto de papel.

Com um cabo de $12\ \text{m}$ cortam-se dois pedaços: com um forma-se um quadrado e com o outro uma circunferência, como na figura.

1. a) Se $x$ é o comprimento de cabo destinado ao quadrado, exprime a área total delimitada $A(x)$.

1. b) Determina o valor de $x$ que minimiza a área total (deixa o resultado em função de $\pi$).

1. c) Que área se obtém se o cabo não for cortado e for usado inteiro para a circunferência? É maior ou menor que a mínima?

Uma câmara municipal vai construir uma piscina retangular de $200\ \text{m}^2$ cercada por um passeio de $2\ \text{m}$ de largura em dois lados opostos e de $1\ \text{m}$ nos outros dois, como mostra a figura.

1. a) Exprime a área total do terreno (piscina mais passeio) em função de um lado $x$ da piscina.

1. b) Determina as dimensões da piscina que tornam mínimo o terreno necessário e a área total mínima.

Uma empresa de transporte de passageiros opera uma linha de autocarro interurbano entre Lisboa e Faro. Atualmente o bilhete custa $10\text{ \euro}$ e viajam, em média, $400$ utilizadores por dia. De acordo com um estudo de mobilidade baseado em inquéritos do Instituto Nacional de Estatística (INE), por cada redução de $0,50\text{ \euro}$ no preço do bilhete, o número de passageiros diários aumenta em $40$. Por motivos de frota, a capacidade máxima não pode ultrapassar os $640$ passageiros diários. Os custos diários da empresa são compostos por um custo fixo de manutenção de $800\text{ \euro}$ e um custo variável de $2\text{ \euro}$ por passageiro transportado.

1. a) Modela a função de lucro diário $B(p)$ em função do preço do bilhete $p$. Justifica detalhadamente o domínio admissível de $p$ tendo em conta a capacidade máxima da frota.
2. b) Encontra os pontos críticos de $B(p)$, determina o preço ótimo do bilhete e o número de passageiros correspondente, e calcula o lucro máximo diário.
3. c) Verifica se o ótimo se encontra no interior do domínio admissível ou num extremo do intervalo e classifica-o através da segunda derivada.

Um viticultor do Douro projeta vedar uma parcela retangular de $500\text{ m}^2$ para cultivar duas castas de uva. Para as separar, erguerá uma vedação divisória interior paralela a um dos dois lados exteriores da parcela.

A vedação do perímetro exterior custa $16\text{ \euro}$ por metro linear, enquanto a vedação divisória interior, por ser de uma rede mais leve, tem um custo unitário desconhecido de $c\text{ \euro}$ por metro linear.

Após encomendar um estudo para minimizar a despesa total, a equipa técnica comunica-lhe que o custo total mínimo é atingido quando o comprimento da vedação divisória interior mede exatamente $20\text{ m}$.

1. a) Formula a função de custo total $C(y)$ em função do comprimento $y$ da vedação interior, indicando o seu domínio admissível.
2. b) A partir do dado do ótimo conhecido ($y = 20\text{ m}$), deduz o valor do custo unitário $c$ da vedação divisória.
3. c) Verifica, utilizando a segunda derivada, que para esse valor de $c$ a função apresenta de facto um mínimo e calcula qual é o custo total mínimo da instalação.

De uma chapa retangular de $60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}$, recortam-se quadrados de lado $x$ nos cantos para construir uma caixa sem tampa.

1. a) Expresse o volume $V(x)$ e indique o domínio de validade de $x$.

1. b) Determine os valores de $x$ que anulam $V'(x)$ e descarte o que não pertence ao domínio.

1. c) Verifique que o valor válido conduz ao volume máximo e calcule-o.

Uma janela é formada por um retângulo rematado na sua parte superior por um semicírculo, como mostra a figura. O perímetro total da janela é $6\ \text{m}$.

1. a) Exprime a área total em função do raio $r$ do semicírculo.

1. b) Determina o valor de $r$ que maximiza a entrada de luz (deixa o resultado em função de $\pi$ e dá uma aproximação com duas casas decimais).

1. c) Qual é a relação, então, entre a altura do retângulo e o raio?

De um tronco de secção circular de diâmetro $d$, quer-se cortar uma viga de secção retangular, como mostra a figura. A resistência da viga à flexão é proporcional ao produto da sua base pelo quadrado da sua altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Exprime a resistência em função da base $b$ usando a relação que relaciona $b$, $h$ e $d$.

1. b) Determina as dimensões da viga de resistência máxima.

Inscreve-se um retângulo com a base sobre o eixo das abcissas sob a parábola $y = 4 - x^2$, como mostra a figura.

1. a) Exprime a área do retângulo em função da abcissa $x$ do seu vértice superior direito.

1. b) Determina as dimensões do retângulo de área máxima e o valor dessa área.

Com um setor circular de cartolina de $9\ \text{cm}$ de raio, forma-se um cone cuja geratriz mede $9\ \text{cm}$, como esquematiza a figura.

1. a) Exprima o volume do cone em função da sua altura $h$ usando a relação entre geratriz, raio e altura.

1. b) Determine a altura do cone de volume máximo.

1. c) Calcule o raio da base desse cone.

Para o problema da caixa sem tampa construída com uma cartolina quadrada de $32\ \text{cm}$ de lado, cujo volume é $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ com $0 < x < 16$, um aluno escreve: «$V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ dá $x = 16$ e $x = \frac{16}{3}$; como o volume cresce com o tamanho do recorte, escolho $x = 16\ \text{cm}$». Indique os dois erros cometidos na conclusão (um de domínio e outro de justificação) e resolva o problema corretamente.

Demonstre, usando a derivada, o seguinte resultado geral: de todos os retângulos de perímetro $4p$, o de área máxima é o quadrado de lado $p$. Formule a função área em função de um dos lados, justifique que o valor crítico é um máximo e conclua.

Dois postes de $6\ \text{m}$ e $8\ \text{m}$ de altura estão separados por $10\ \text{m}$ num terreno plano. Quer-se ancorar um cabo tenso a partir do topo de cada poste até um mesmo ponto do solo situado entre ambos.

1. a) Se o ponto de ancoragem dista $x$ metros da base do poste de $6\ \text{m}$, exprima o comprimento total do cabo $L(x)$.

1. b) Determine o valor de $x$ que minimiza $L(x)$. (Sugestão: ao igualar $L'(x) = 0$, chegará a uma proporção entre catetos e hipotenusas; resolva-a sem expandir demasiado.)

1. c) Calcule o comprimento mínimo do cabo. (Sugestão: coincide com a distância em linha reta entre o topo de um poste e o reflexo do topo do outro em relação ao solo.)

Pretende-se determinar o ponto da curva $y = x^2$ cuja distância ao ponto $P(0;\, 2)$ seja mínima. Para abordar o problema, três alunos propõem estratégias distintas:

• O Sérgio formula a função de distância euclidiana $d(x) = \sqrt{x^2 + (x^2 - 2)^2}$ e dispõe-se a calcular $d'(x)$ diretamente com a regra da cadeia.

• A Alice propõe minimizar a função do quadrado da distância: $S(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2$, afirmando que ambas as funções atingem os seus extremos nos mesmos pontos e que este caminho reduz notavelmente a complexidade algébrica.

• O Carlos propõe um método geométrico: no ponto $Q(x;\, x^2)$ mais próximo, o vetor $\vec{PQ}$ deve ser perpendicular à reta tangente à parábola.

1. a) Justifica formalmente por que razão a proposta da Alice é matematicamente rigorosa, indicando que propriedade da função auxiliar $g(t) = t^2$ em $[0;\, +\infty)$ garante a coincidência de extremos.
2. b) Resolve o problema aplicando o método da Alice: encontra os candidatos a extremo, classifica-os analisando o sinal de $S''(x)$ ou de $S'(x)$ e calcula as coordenadas dos pontos mais próximos e a distância mínima.
3. c) Aplica o método geométrico do Carlos para verificar os pontos obtidos. Compara os três métodos analisando qual resulta mais eficiente e com menor risco de cometer erros operatórios.

A Rede Elétrica Nacional (REN) planeia o traçado de um cabo de alta tensão para ligar um parque eólico marítimo ao largo do Algarve a uma subestação costeira $S$. A plataforma marítima $P$ situa-se a $6\text{ km}$ mar adentro, perpendicularmente a um ponto da costa $B$. A subestação $S$ localiza-se sobre a linha reta de costa a uma distância $L$ de $B$.

O traçado do cabo submarino custa $50\,000\text{ \euro/km}$ e o traçado terrestre (ao longo da costa desde um ponto de acostagem $X$ até à subestação $S$) custa $30\,000\text{ \euro/km}$. O cabo irá em linha reta por mar desde $P$ até $X$ (com $X$ situado no segmento costeiro entre $B$ e $S$), e desde $X$ até $S$ por terra.

1. a) Se a subestação dista $L = 10\text{ km}$ de $B$, define a variável $x$ como a distância de $B$ ao ponto de acostagem $X$, estabelece o seu domínio admissível e escreve a função de custo total $C(x)$ em milhares de euros.
2. b) Resolve $C'(x) = 0$, compara o valor obtido com os extremos do intervalo $[0;\, 10]$ e determina a localização ótima do ponto de acostagem $X$ e o custo mínimo do traçado.
3. c) Supõe agora que a subestação estava situada a apenas $L = 3\text{ km}$ de $B$. Explica por que razão o ponto crítico calculado na alínea anterior já não é admissível, analisa o sinal de $C'(x)$ no novo domínio $[0;\, 3]$ e determina justificadamente onde deve desembarcar o cabo para minimizar o custo.

Desafio do tema. A que ritmo muda a temperatura na tua cidade? Transforma-te em analista meteorológico para modelizar a evolução térmica da tua localidade aplicando o cálculo diferencial.

1. Dados reais e TVM: Entra no site oficial do IPMA, regista a temperatura do teu concelho a cada $3$ horas durante um dia completo ($8$ registos) e calcula a Taxa de Variação Média entre a madrugada e as primeiras horas da tarde. Explica a sua interpretação física ($^\circ\text{C}/\text{h}$).

2. Modelização e derivada: Introduz os dados no GeoGebra ou numa folha de cálculo para obter uma função polinomial de ajuste $T(t)$ de grau $3$. Aplica analiticamente as regras de derivação para determinar a função derivada $T'(t)$. Obtém a equação da reta tangente para $t = 12,0\text{ h}$ e interpreta graficamente o seu declive.

3. Otimização e conclusões: Resolve a equação $T'(t) = 0$ para localizar os extremos relativos (máximo e mínimo teóricos) e estuda os intervalos de monotonia. Redige um relatório breve comparando a hora e o valor ótimos previstos com os dados reais observados.

Será valorizado:

• Obtenção rigorosa dos dados do IPMA e cálculo e interpretação física correta da TVM.

• Precisão no cálculo algébrico de $T'(t)$ e da reta tangente.

• Aplicação segura da derivada para otimizar (extremos e monotonia) e espírito crítico ao contrastar o modelo com a realidade.