Exercícios: Função derivada

Aplique a definição de derivada por meio do cálculo do limite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para encontrar a função derivada de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

Calcule a função derivada da seguinte função polinomial e exponencial, aplicando as regras básicas de derivação:

$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$

Obtenha a função derivada de $f(x)$ aplicando a regra da derivada de um produto. Simplifique o resultado o máximo possível.

$f(x) = (2x^3 - x + 4) \cdot \ln(x)$

Encontre a função derivada aplicando a regra do quociente. Exprima o resultado final com o numerador simplificado.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

Utiliza a regra da cadeia para determinar a derivada da seguinte função trigonométrica composta:

$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$

Calcule o valor exato da derivada da função $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ avaliada no ponto de abscissa $x = 2$.

Determine a segunda derivada, $f''(x)$, da função $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ que representa a trajetória de um projétil em função do tempo.

A partir da representação visual, determine o sinal da função derivada $f'(x)$ nas abcissas $x = 1$, $x = 2$ e $x = 3$. Justifique a sua resposta com base no conceito geométrico da derivada.

A Marta está a estudar os extremos relativos da função $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Para isso, calcula a sua função derivada e obtém $f'(x) = 3(x-2)^2$. Em seguida, propõe a equação $f'(x) = 0$, encontra como única solução $x = 2$ e conclui no seu exame: «Como a derivada em $x = 2$ é igual a zero, a função $f$ atinge obrigatoriamente um mínimo relativo no ponto $(2, 1)$».

1. a) Explica fundamentadamente o erro conceptual da Marta: a condição $f'(a) = 0$ por si só garante que em $x = a$ exista um extremo relativo?
2. b) Estuda o sinal da função derivada $f'(x)$ nos intervalos $(-\infty, 2)$ e $(2, +\infty)$. A partir dessa análise, descreve o que faz realmente a curva à esquerda e à direita de $x = 2$ e deduz que tipo de ponto a função tem em $(2, 1)$.

Considera a função polinomial $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Antes de calcular qualquer derivada, realiza uma estimativa qualitativa fundamentada: que sinal esperas que tenha o declive da reta tangente à curva em $x = 1$ e em $x = -2$? Em qual dos dois pontos prevês que a inclinação seja mais pronunciada em valor absoluto? Justifica as tuas respostas a partir do crescimento e da forma simétrica da parábola.
2. b) Obtém a função derivada geral $f'(x)$ aplicando rigorosamente a definição de derivada através do limite do quociente de diferenças: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Avalia $f'(1)$ e $f'(-2)$ substituindo na função derivada que obtiveste e verifica se os resultados numéricos confirmam as estimativas que formulaste na alínea a).

A equação do movimento de um veículo autónomo em testes é dada pela função $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, onde $s$ é a posição em metros e $t$ o tempo em segundos ($t \ge 0$).

Encontre a função velocidade $v(t)$ e a função aceleração $a(t)$. Determine em que instantes de tempo o veículo para momentaneamente.

O custo total de produção, em euros, de $x$ unidades de um componente eletrónico de alta precisão é modelado pela função $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$.

Calcule a função custo marginal $C'(x)$ e avalie o seu valor quando são produzidas exatamente $x = 15$ unidades. Interprete o resultado obtido no contexto do problema.

Numa experiência de cinética química, a concentração de um reagente em função do tempo $t$ (em minutos) ajusta-se à expressão $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ em mol por litro.

Determine a função derivada $C'(t)$ que representa a velocidade da reação. Em que instante $t > 0$ é nula a velocidade da reação?

Determine os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por partes seja derivável em $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Aplique as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão de $f(x)$ antes de derivar e, a seguir, calcule a sua função derivada simplificada:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$

Encontra as abcissas dos pontos da curva $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ nos quais a reta tangente é horizontal.

O número de reproduções acumuladas de um vídeo viral após $t$ horas da sua publicação segue uma lei de crescimento exponencial dada por $R(t) = 1500 \cdot 3^{0,4t}$.

Obtenha a função que descreve a taxa de crescimento instantâneo das reproduções, $R'(t)$, e calcule essa taxa após $5$ horas.

O seguinte gráfico representa a função derivada $f'(x)$ de uma certa função $f(x)$ contínua em todo o $\mathbb{R}$.

Observando exclusivamente o comportamento de $f'(x)$, determine os intervalos em que a função original $f(x)$ é crescente e em que é decrescente. Em quais abscissas $f(x)$ apresentará extremos relativos?

Determina os coeficientes $a$, $b$ e $c$ de uma função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que satisfaz simultaneamente as três condições seguintes:

1. A sua função derivada de segunda ordem é constante e igual a $-4$ em todo o seu domínio: $f''(x) = -4$.

2. A sua função derivada anula-se na abcissa $x = 1,5$, sendo estritamente positiva para $x < 1,5$ e estritamente negativa para $x > 1,5$.

3. O gráfico de $f$ passa pelo ponto $(1,5; 6)$.

Após calculadas as expressões de $f(x)$, $f'(x)$ e $f''(x)$:

1. a) Justifica fundamentadamente, com base na variação de sinal de $f'(x)$, se o ponto $(1,5; 6)$ é um máximo relativo ou um mínimo relativo.
2. b) Explica que significado tem o valor e o sinal da derivada de segunda ordem $f''(x)$ relativamente à rapidez com que muda o declive da função em torno do referido extremo.

Durante um dia de onda de calor registado pelo IPMA numa estação meteorológica do sul de Portugal, a temperatura exterior $T$ (em graus Celsius) entre as 08:00 h ($t = 0$) e as 20:00 h ($t = 12$) é modelada pela função:

onde $t$ é o tempo medido em horas decorridas desde as 08:00.

1. a) Obtém a função derivada $T'(t)$ e interpreta que grandeza física representa neste contexto, indicando as suas unidades de medida correspondentes.
2. b) Calcula a taxa de variação instantânea da temperatura às 10:00 h ($t = 2$) e às 18:00 h ($t = 10$). Interpreta o significado físico do sinal e do valor obtido em cada caso.
3. c) Resolve a equação $T'(t) = 0$ para encontrar a hora exata em que a temperatura atinge o seu valor máximo diário e calcula essa temperatura máxima.
4. d) Determina a função derivada de segunda ordem $T''(t)$. O que mede esta segunda derivada sobre a evolução do calor ao longo do dia e o que nos indica o facto de o seu sinal ser negativo em todo o intervalo?

Encontre a expressão geral da derivada de ordem n, $f^n(x)$, para a função $f(x) = \ln(3x - 2)$. Sugestão: calcule as quatro primeiras derivadas sucessivas e deduza o padrão.

Considere a função definida por meio de um valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$.

Expresse $f(x)$ como uma função definida por ramos e calcule a sua função derivada $f'(x)$. Demonstre analiticamente por que razão a função não é derivável nos pontos angulosos indicados no gráfico.

Demonstre que a função $y = e^{-2x} \cdot \sin(3x)$ é uma solução particular da equação diferencial linear de segunda ordem:

$y'' + 4y' + 13y = 0$

Dada a função racional $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$, determine os valores dos parâmetros reais $a, b, c$ sabendo que o seu gráfico passa pelo ponto $(0, 3)$, tem uma assíntota vertical em $x = -2$ e apresenta uma reta tangente horizontal no ponto de abcissa $x = 1$.

No projeto de uma ponte pênsil, o perfil do cabo principal adota a forma de uma catenária cuja equação num referencial é $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ (com $x$ e $y$ em metros).

Calcule o ângulo de inclinação $\alpha$ que a reta tangente ao cabo forma com a horizontal no ponto de ancoragem situado em $x = 10$ metros.

Considera-se a função $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.

Determine a relação matemática que deve existir entre os parâmetros $a, b, c$ para que exista a segunda derivada na origem, isto é, para que $f''(0)$ seja um valor real bem definido.

No painel seguinte, são mostradas duas curvas, A (azul) e B (verde). Sabe-se que uma delas corresponde a uma função polinomial $f(x)$ e a outra à sua função derivada $f'(x)$.

Identifique, justificando, qual curva representa $f(x)$ e qual representa $f'(x)$ com base na relação geométrica entre os pontos de interseção, os extremos relativos e o crescimento. Em seguida, deduza o sinal da segunda derivada $f''(x)$ na abscissa $x = 0$.

Pretende-se determinar a função derivada e os intervalos de monotonia da função racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$, cujo domínio é $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Para calcular $f'(x)$ através da definição por limite, dois alunos propõem dois métodos de trabalho distintos:

• Estratégia A (Quociente de diferenças direto): Calcular $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(x+h)+1}{x+h-3} - \frac{2x+1}{x-3}}{h}$ reduzindo diretamente ao mesmo denominador no numerador.

• Estratégia B (Decomposição prévia): Efetuar a divisão polinomial para escrever $f(x) = 2 + \frac{7}{x-3}$ e aplicar a definição de limite a esta nova expressão: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\left(2 + \frac{7}{x+h-3}\right) - \left(2 + \frac{7}{x-3}\right)}{h}$.

1. a) Compara ambas as estratégias e fundamenta qual resulta mais eficiente algebricamente e menos suscetível a erros de simplificação no cálculo do limite.
2. b) Desenvolve por completo o cálculo de $f'(x)$ seguindo a estratégia que selecionaste como mais vantajosa.
3. c) A partir da expressão de $f'(x)$, especifica o domínio de derivabilidade de $f$, analisa o sinal de $f'(x)$ nos intervalos $(-\infty, 3)$ e $(3, +\infty)$ e justifica por que razão a função não tem nenhum extremo relativo apesar de não ser limitada.

Para estudar a derivabilidade e os extremos relativos da função $f(x) = |x^2 - 4|$, o Marcos escreve no seu exame:

«Escrevo a função por ramos: $f(x) = x^2 - 4$ se $x \le -2$ ou $x \ge 2$, e $f(x) = 4 - x^2$ se $-2 < x < 2$. Derivo cada ramo de forma direta: $f'(x) = 2x$ no exterior e $f'(x) = -2x$ no interior. Como ao avaliar na primeira fórmula se obtém $f'(2) = 4$ e $f'(-2) = -4$, a função é derivável em todo o $\mathbb{R}$. Depois resolvo $f'(x) = 0$: a única solução válida no seu ramo é $-2x = 0 \implies x = 0$. Em conclusão, o único extremo relativo de $f$ é o máximo relativo em $x = 0$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros concetuais cometidos pelo Marcos: um relativo à forma como se determina a existência da função derivada nos pontos de junção ($x = -2$ e $x = 2$) e outro relativo à procura completa de extremos relativos.
2. b) Aplica a definição de derivadas laterais (através de limites laterais do quociente de diferenças) em $x = 2$ para demonstrar se existe ou não $f'(2)$. Que característica geométrica apresenta a curva em $x = 2$ e em $x = -2$?
3. c) Corrige o exercício determinando o domínio exato de derivabilidade de $f(x)$ e indicando TODOS os seus extremos relativos (classificando-os em máximos ou mínimos). Fundamenta como é possível que existam extremos relativos em pontos onde a função não é derivável.