Exercícios: Definição de derivada de uma função em um ponto

Calcule, utilizando a definição de derivada por meio do limite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, o valor de $f'(2)$ para a função $f(x) = x^2 + 3$.

Encontra a taxa de variação instantânea (derivada) da função $f(x) = 3x - 5$ no ponto de abcissa $x = 1$, aplicando o limite da razão incremental.

O espaço percorrido por um objeto em queda livre num planeta fictício é dado por $s(t) = 4t^2$, onde $s$ é medido em metros e $t$ em segundos. Calcule a velocidade instantânea em $t = 3$ s aplicando a definição de derivada como limite.

Dada a função $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza a expressão alternativa da definição $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrares a derivada no ponto $a = -1$.

Demonstre, calculando explicitamente os limites laterais da razão incremental, que a função módulo $f(x) = |x - 3|$ não é diferenciável no ponto $x = 3$.

Um ciclista num velódromo percorre uma distância dada pela função $d(t) = t^2 + 5t$ (medida em metros, com $t$ em segundos). Calcule a sua velocidade instantânea em $t = 2$ segundos usando estritamente a definição de derivada por limites.

Encontre a equação da reta tangente à curva $f(x) = x^2$ no ponto de abcissa $x = 2$. Para isso, calcule primeiro o declive $m = f'(2)$ utilizando a definição de derivada por meio do limite.

Calcule a derivada da função constante $f(x) = 7$ no ponto $x = 5$ aplicando a definição formal com o limite. Explique resumidamente o significado geométrico do resultado obtido.

O Tomás quer calcular o declive da reta tangente ao gráfico de $f(x) = 2x^2 - 3x$ no ponto de abcissa $a = 1$ utilizando a definição formal de derivada através do limite do quociente de diferenças. No seu caderno escreve o seguinte desenvolvimento:

E conclui que o declive da reta tangente é $-3$, pelo que a sua equação é $y - (-1) = -3(x - 1)$.

1. a) Localiza e explica detalhadamente o erro algébrico que o Tomás cometeu ao colocar e desenvolver a expressão $f(1+h)$.
2. b) Corrige o cálculo resolvendo de forma correta o limite para encontrar o verdadeiro valor de $f'(1)$.
3. c) Com o valor corrigido, escreve a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(1, f(1))$.

Para calcular a derivada da função racional $f(x) = \frac{1}{x+2}$ no ponto de abcissa $a = 1$, dispões de duas fórmulas equivalentes baseadas no limite do quociente de diferenças:

• Método A (acréscimo $h$): $f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

• Método B (aproximação à abcissa): $f'(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

1. a) Escreve a expressão algébrica da fração que se obtém no numerador antes de calcular o limite em cada um dos dois métodos.
2. b) Compara ambos os caminhos: descreve que indeterminação surge em cada um e que manipulações algébricas (operar frações, simplificar fatores) exige cada método. Justifica fundamentadamente qual dos dois te parece mais direto ou menos sujeito a confusões com os sinais.
3. c) Resolve o limite utilizando o método que escolheste e fundamenta se o sinal do declive obtido é coerente com o facto de a função ser decrescente em redor de $x = 1$.

Utilizando a definição de derivada por meio de limites, calcule $f'(3)$ para a função racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Encontra a derivada da função com radicais $f(x) = \sqrt{x + 5}$ no ponto $x = 4$, aplicando a definição de derivada como limite e operando com o conjugado para resolver a indeterminação.

Numa fábrica de componentes tecnológicos, o custo total de produção de $q$ unidades é dado pela função $C(q) = 100 + 2q + 0,1q^2$ em euros. Determine o custo marginal (a derivada da função de custo) quando são produzidas exatamente $q = 20$ unidades, resolvendo o limite da definição formal de derivada.

Estude se a seguinte função definida por ramos é diferenciável em $x = 2$, verificando previamente a sua continuidade e aplicando depois a definição de derivadas laterais:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Encontra a equação da reta tangente à função $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ na origem do referencial. Deve calcular-se o declive avaliando o limite da definição de derivada em $x = 0$.

A altitude de um drone de observação agrícola segue a equação $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, com a altura $h$ expressa em metros e o tempo $t$ em segundos. Utilizando a definição de derivada por meio do limite para um ponto genérico $t$, obtenha a função velocidade $v(t) = h'(t)$ e determine em que instante exato o drone atinge a sua altura máxima (quando a sua velocidade é nula).

O gráfico anexo mostra uma função contínua que apresenta um ponto angular. Defina analiticamente uma função com valor absoluto que corresponda a esse gráfico e demonstre rigorosamente, calculando os limites laterais da taxa de variação média, por que a função não é derivável em $x = 2$.

Calcule, por meio da definição de derivada com o limite para um ponto genérico $x$, a função derivada $f'(x)$ de $f(x) = x^3 - 3x$. Em seguida, utilize o resultado obtido para encontrar os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.

Considera a função $f(x) = x^3 - 4x$ e o ponto de abcissa $a = 2$.

1. a) Antes de calcular a derivada exata, faz uma estimativa numérica de $f'(2)$. Para isso, calcula a taxa de variação média (declive da reta secante) em dois intervalos próximos do ponto: um pela sua direita, $[2; 2,05]$, e outro pela sua esquerda, $[1,95; 2]$. A partir de ambos os resultados, propõe um valor inteiro estimado para $f'(2)$.
2. b) Calcula o valor exato de $f'(2)$ utilizando rigorosamente a definição de derivada através do limite do quociente de diferenças:

1. c) Compara a tua estimativa inicial com o resultado exato. Explica a relação geométrica que existe entre os declives das duas retas secantes calculadas na alínea a) e o declive da reta tangente obtido na alínea b).

Segundo os registos de uma estação meteorológica do IPMA num dia de primavera, a temperatura ambiente $T$ (em graus Celsius, $^{\circ}\text{C}$) evolui entre as $7:00$ ($t = 0$) e as $13:00$ ($t = 6$) seguindo o modelo:

onde $t$ é o tempo medido em horas decorridas desde as $7:00$.

1. a) Escreve a expressão do quociente de diferenças que mede a taxa de variação média da temperatura entre as $9:00$ ($t = 2$) e um instante posterior qualquer $2+h$ horas.
2. b) Calcula a taxa de variação instantânea da temperatura às $9:00$ ($t = 2$) calculando o limite do quociente de diferenças quando $h \to 0$. Apresenta o resultado numérico acompanhado das suas unidades físicas e interpreta o seu significado.
3. c) Determina a equação da reta tangente ao gráfico de $T(t)$ no ponto correspondente a $t = 2$.
4. d) Utiliza a reta tangente para estimar a temperatura às $9:15$ ($t = 2,25$) e avalia a precisão desta aproximação comparando-a com o valor real previsto pelo modelo quadrático $T(2,25)$.

Determine os valores exatos dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função definida por ramos

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

seja derivável em $x = 1$. Justifique a sua resposta aplicando a definição de continuidade e calculando os limites das derivadas laterais por meio da razão incremental.

Calcule a derivada da função $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ no ponto $x = 1$ recorrendo exclusivamente à definição de derivada como limite. Mostre todos os passos algébricos necessários para eliminar a indeterminação.

Suponha que $f(x)$ seja uma função par (isto é, satisfaz $f(-x) = f(x)$ para todo o número real $x$) e que se saiba que ela é derivável no ponto de abcissa $x = 0$. Demonstre analiticamente, utilizando a definição de derivada por meio do limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, que necessariamente se deve cumprir $f'(0) = 0$.

A temperatura $T$ (medida em graus Celsius) de um processador de computador em função do tempo $t$ (em minutos) após o início de um processo intensivo de cálculo é dada pela expressão $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$. Calcule a taxa de aquecimento instantânea (a derivada) exatamente em $t = 2$ minutos, avaliando passo a passo o limite da definição de derivada.

Encontre as equações de todas as retas tangentes à curva $f(x) = x^3 - x$ que sejam estritamente paralelas à reta de equação $y = 2x + 1$. Para resolver isto, obtenha primeiro a expressão geral do declive $f'(x)$ aplicando a definição de derivada por limites.

Dada a função $f(x) = x|x|$, demonstre por meio da definição de derivada, calculando os limites laterais da razão incremental, que a função é derivável em $x = 0$ e determine o valor exato de $f'(0)$.

Utilizando a definição geral de derivada $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, demonstre passo a passo que a função derivada de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ é exatamente $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ para qualquer valor de $x > 0$.

O lucro trimestral de uma empresa de energias renováveis em função do seu investimento $x$ (em milhões de euros) segue um modelo quadrático da forma $B(x) = -ax^2 + bx$. Sabendo que o lucro máximo é atingido com um investimento exato de $10$ milhões de euros e que esse lucro máximo ascende a $500$ milhões, deduza os valores das constantes $a$ e $b$. Posteriormente, demonstre por meio da definição de derivada por limites que a taxa de variação instantânea nesse ponto satisfaz $B'(10) = 0$.

Considera-se o seguinte limite, que representa a derivada de uma função desconhecida num ponto:

1. a) Comparando esta expressão com a definição $f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, identifica de forma fundamentada a função $f(x)$ e o valor da abcissa $a$. Em seguida, resolve a indeterminação para determinar o valor exato do limite $L$.
2. b) Constrói uma função racional da forma $g(x) = \frac{k}{x - c}$ (onde $k$ e $c$ são constantes reais que deves determinar) que cumpra duas condições em $x = 4$:

1. $g(4) = f(4)$.

2. A reta tangente ao gráfico de $g$ em $x = 4$ é paralela à reta tangente ao gráfico de $f$ nesse mesmo ponto.

Calcula os valores exatos de $k$ e $c$ obtendo a derivada $g'(4)$ através do limite do seu quociente de diferenças.

1. c) Escreve a equação da reta tangente comum a ambas as curvas no ponto de abcissa $x = 4$.

A Sofia tem de estudar a derivabilidade no ponto $x = 1$ da função definida por ramos:

No seu teste escreve a seguinte justificação:

«Calculo a derivada de cada ramo separadamente: a derivada à esquerda ($x < 1$) é $2x + 2$, que ao ser avaliada em $x = 1$ vale $2\cdot 1 + 2 = 4$. A derivada à direita ($x > 1$) é a constante $4$. Como ambas as derivadas laterais coincidem ($4 = 4$), afirmo que a função é derivável em $x = 1$ e a sua derivada vale $f'(1) = 4$».

1. a) Aponta o erro conceptual fundamental da Sofia ao assumir uma propriedade imprescindível antes de analisar a derivabilidade. Demonstra se tal propriedade se verifica ou não em $x = 1$.
2. b) Aplica a definição formal de derivada através dos limites laterais do quociente de diferenças:

Calcula detalhadamente ambos os limites e indica que resultado algébrico dá cada um.

1. c) Conclui fundamentadamente se $f$ é derivável em $x = 1$ e explica por que razão a regra prática de «derivar os ramos e substituir» conduz a uma conclusão errónea quando não se respeitam as definições de partida.