Exercícios: Arranjos

Numa corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze, sabendo que não pode haver empates?

Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e registamos o resultado de cada lançamento por ordem. Quantos resultados distintos podemos obter no total?

Cinco amigos vão ao cinema e encontram uma fila com $4$ cadeiras livres consecutivas. De quantas formas distintas se podem sentar para ver o filme?

Lançamos uma moeda ao ar $6$ vezes consecutivas e registamos a sequência exata de caras e coroas obtidas. Quantas sequências distintas se podem formar?

Numa galeria de arte vão ser expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção privada de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede direita. De quantas formas diferentes se pode organizar esta exposição?

Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas numa rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de correio diferentes, de quantas formas diferentes as podemos pintar?

Um clube de leitura tem $9$ membros. Devem escolher uma direção formada por um presidente, um vice-presidente e um secretário. Como os cargos são distintos e cada pessoa só pode ocupar um, de quantas formas se pode formar a direção?

Uma prova de escolha múltipla é constituída por $5$ perguntas. Cada pergunta tem $3$ opções de resposta (A, B e C), das quais apenas uma pode ser assinalada. Se um aluno responder a todas as perguntas, de quantas formas distintas se pode preencher a prova?

Para aceder ao cacifo do ginásio da escola, a Maria deve configurar um código secreto de $3$ algarismos distintos escolhidos exclusivamente entre os números primos menores que $10$, ou seja, do conjunto $\{2, 3, 5, 7\}$. O seu colega Marcos afirma: «Como a ordem dos algarismos importa e dispomos de $4$ elementos para formar grupos de $3$, o número total de códigos possíveis é $VR_{4,3} = 4^3 = 64$».

1. a) Encontra o erro concetual cometido pelo Marcos e explica claramente que condição do enunciado ele ignorou.
2. b) Corrige o seu raciocínio deduzindo a fórmula adequada e calcula o número real de códigos distintos que a Maria pode programar.

Numa turma de 4.º de ESO com $25$ estudantes vai-se eleger a comissão de delegados para o ano letivo, formada por três cargos diferenciados: delegado, subdelegado e secretário. Um mesmo estudante não pode ocupar mais de um cargo.

1. a) Sem realizar o cálculo detalhado com a fórmula, estima fundamentadamente se o número total de comissões possíveis estará mais perto de $1\,000$, de $15\,000$ ou de $100\,000$. Justifica brevemente o arredondamento ou aproximação mental que utilizaste.
2. b) Modela a situação calculando o valor exato através da fórmula de combinatória adequada. Verifica se o resultado confirma a tua estimativa e explica por que razão a ordem de escolha se revela determinante nesta distribuição.

O sistema de matrículas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$ consoantes. Em ambos os blocos é permitida a repetição de carateres. Quantas matrículas distintas podem ser emitidas no total com este formato?

Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?

Na informática, um byte é uma sequência de $8$ bits (onde cada bit pode ser um $0$ ou um $1$). Quantos bytes diferentes existem que comecem exatamente pela sequência $10$?

Uma empresa tem $8$ funcionários e deve atribuir $5$ tarefas diferentes a $5$ funcionários distintos (uma tarefa por pessoa). Se se sabe que a primeira tarefa deve ser realizada obrigatoriamente pelo funcionário mais antigo, de quantas formas se podem distribuir as tarefas?

Quantos números de $4$ algarismos se podem formar com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?

Numa liga de basquetebol participam $14$ equipas. Cada equipa deve jogar contra todas as outras duas vezes ao longo do ano (um jogo em casa e outro como visitante). Quantos jogos serão disputados no total durante toda a época?

Um cadeado de segurança para bicicletas tem $3$ rodas independentes, cada uma numerada do $0$ ao $9$. Calcule a diferença entre o número total de combinações possíveis (permitindo repetição) e o número de combinações nas quais os três dígitos devem ser estritamente distintos.

No código Morse, as letras são representadas mediante sequências de pontos e traços. Quantos sinais distintos podem ser formados utilizando no máximo $3$ símbolos por sinal?

O Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) utiliza códigos identificativos para catalogar as suas estações automáticas em Portugal. Cada código é composto por uma letra inicial que identifica a bacia hidrográfica (usam-se $8$ letras possíveis: B, C, D, E, M, N, S ou V) seguida de um bloco de $4$ dígitos numéricos.

1. a) Se os $4$ dígitos forem escolhidos de $0$ a $9$ e puderem repetir-se sem restrição, quantos códigos de estação diferentes se podem gerar para uma mesma bacia hidrográfica? E no conjunto das $8$ bacias?
2. b) Para uma rede especial de alta montanha decide-se que os $4$ dígitos devem ser todos distintos e nenhum pode ser o zero. Justifica se este novo bloco numérico se modela com arranjos simples ou com repetição, e calcula quantos códigos distintos ficam disponíveis por bacia hidrográfica sob este critério.

O departamento de informática de um estabelecimento de ensino está a criar identificadores temporários de acesso para os alunos. Os códigos são gerados ordenando $k$ algarismos distintos retirados do conjunto de números ímpares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, sem repetir nenhum algarismo dentro do mesmo código.

1. a) Se o servidor registou exatamente $60$ identificadores possíveis no total, estabelece uma equação utilizando a definição de arranjo simples onde a incógnita seja o comprimento $k$ do código, e determina fundamentadamente o seu valor.
2. b) Se as normas de segurança mudassem e agora se permitisse repetir algarismos mantendo o mesmo comprimento $k$ obtido na alínea anterior, quantos códigos no total se poderiam criar? Compara ambos os resultados calculando quantos identificadores adicionais se obtêm e explica por que razão a repetição aumenta as opções.

Num torneio de xadrez joga-se em duas voltas (cada jogador defronta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Sabendo-se que no total foram disputadas $90$ partidas, elabore a equação correspondente utilizando a fórmula dos arranjos e determine quantos jogadores participaram no torneio.

Quantos números de $4$ algarismos distintos se podem formar utilizando apenas os dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Tem em conta que, por definição, um número válido não pode começar pelo algarismo $0$.

Um número capicua é aquele que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda (por exemplo, $35853$). Quantos números capicuas de $5$ algarismos se podem formar utilizando apenas os dígitos do $1$ ao $9$?

Para aceder a uma base de dados segura é necessária uma palavra-passe de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais (permite-se que se repitam) e os três últimos caracteres devem ser números de $0$ a $9$ (sem que nenhum se repita). Quantas palavras-passe distintas cumprem este formato?

Uma turma é formada por $6$ rapazes e $5$ raparigas. Quer-se escolher uma comissão composta por presidência, vice-presidência e secretaria. A presidência deve ser ocupada obrigatoriamente por uma rapariga, a vice-presidência por um rapaz, e a secretaria pode ser ocupada por qualquer um dos alunos restantes. De quantas formas se pode escolher a comissão?

Pretende-se projetar uma bandeira com $4$ faixas verticais. Dispomos de $5$ cores distintas. De quantas formas se pode colorir a bandeira se a única condição for que duas faixas adjacentes (juntas) não possam ter a mesma cor?

Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$ a $2$, escreva a equação correspondente e determine o valor de $x$.

Cinco pessoas sobem para uma carruagem de comboio em que há $8$ lugares livres. Duas destas pessoas são um casal e querem sentar-se obrigatoriamente num par de lugares contíguos específicos que estão junto à janela. Sabendo que ao casal importa quem se senta à janela e quem no corredor, de quantas formas distintas podem as cinco pessoas ocupar os lugares?

Querem-se formar números de $4$ algarismos distintos utilizando unicamente os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, com a condição indispensável de que o número resultante seja par. Dois alunos debatem sobre a melhor estratégia para os contar:

• Estratégia do João (método direto): «Primeiro fixamos o último algarismo, que deve ser par ($\{2, 4, 6\}$), e depois completamos as outras $3$ posições escolhendo e ordenando algarismos entre os $6$ restantes».

• Estratégia da Beatriz (método complementar): «Calculamos todos os números possíveis de $4$ algarismos distintos sem restrições e subtraímos aqueles que terminam em algarismo ímpar».

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos aplicando as fórmulas de arranjos correspondentes e verifica que se chega exatamente ao mesmo número total.
2. b) Se adicionássemos uma segunda restrição simultânea: «o número deve ser par e, além disso, maior do que $5\,000$», analisa fundamentadamente qual dos dois métodos seria mais conveniente e descreve que dificuldades acrescidas colocaria o método descartado.

Na Liga de Debate de uma região, as escolas apresentam equipas formadas inicialmente por $n$ oradores. A competição é composta por duas fases com diferente atribuição de papéis:

• Na fase local, cada escola deve selecionar $2$ dos seus $n$ oradores para desempenhar papéis específicos e diferenciados: «orador de abertura» e «orador de conclusão».

• Na fase regional, a organização permite alargar a equipa da escola integrando mais $2$ oradores ($n+2$ oradores no total), e devem-se preencher $3$ papéis diferenciados: «abertura», «refutação» e «conclusão», sem que um estudante possa assumir mais de um papel.

A organização constata que o número de ternos possíveis de oradores para a fase regional é exatamente $12$ vezes o número de pares possíveis da fase local.

1. a) Modela a situação estabelecendo uma equação algébrica que relacione ambas as fases através da fórmula dos arranjos simples.
2. b) Resolve a equação simplificando os desenvolvimentos fatoriais e obtém os possíveis valores de $n$.
3. c) Sabendo que o regulamento exige que, para a fase local, a equipa conte com pelo menos $3$ oradores para garantir suplentes ($n \ge 3$), determina fundamentadamente qual é o número $n$ de oradores iniciais e verifica que a solução satisfaz a condição teórica $k \le n$ em ambas as fases.