Tipi di funzioni

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, esegui uno studio elementare del suo comportamento seguendo questi passi:

1. a) Calcola le intersezioni con gli assi coordinati.
2. b) Trova gli intervalli di crescenza e decrescenza utilizzando la derivata prima $f'(x)$.
3. c) Determina le coordinate $(x, y)$ dei suoi massimi e minimi relativi.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ abbia un punto di flesso in $x = 1$ e il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto sia $1$. Una volta trovati i parametri:

1. a) Studia la monotonia della funzione ottenuta.

1. b) Determina se ha qualche massimo o minimo relativo.

1. c) Giustifica se la funzione ha asintoti.

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Per comprenderne la struttura prima di rappresentarla, analizza i suoi elementi principali. La figura mostra una parte del suo grafico; i segni sugli assi distano 1 unità.

1. a) Determina il suo dominio.

1. b) Calcola le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali.

1. c) Studia la simmetria della funzione. È pari, dispari o non presenta simmetria?

Per studiare gli asintoti e la posizione relativa della curva della funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo A (Alba): eseguire la divisione tra numeratore e denominatore per scomporre la funzione nella forma $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Metodo B (Bruno): applicare i limiti classici $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Confronta i due metodi e giustifica perché quello di Alba risulta più efficiente in questo caso per determinare contemporaneamente l'equazione dell'asintoto obliquo e la posizione del grafico rispetto a esso in $+\infty$ e $-\infty$ senza dover calcolare ulteriori limiti.
2. b) Applica il metodo di Alba per trovare la retta asintoto e stabilisci analiticamente se la curva si trova sopra o sotto tale asintoto in ciascuno dei due infiniti.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, esegui uno studio completo per la sua rappresentazione grafica seguendo questi passi:

1. a) Trova il dominio di definizione e le intersezioni con gli assi coordinati.

1. b) Studia l'esistenza di simmetrie nella funzione.

1. c) Determina gli asintoti verticali, orizzontali e la posizione della curva rispetto ad essi.

1. d) Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza, e determina i suoi massimi e minimi relativi.

1. e) Disegna il grafico della funzione basandoti sui risultati precedenti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Si chiede di:

1. Trovare le equazioni dei suoi asintoti. Se esiste un asintoto obliquo, determina la posizione della curva rispetto ad esso per $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$.

2. Trovare gli intervalli di concavità e convessità, e verificare se esistono punti di flesso.

3. Utilizzare le informazioni sulla crescenza e sugli estremi per disegnare uno schema preciso del grafico.

Le funzioni con valori assoluti presentano spesso punti in cui il grafico cambia bruscamente direzione. Sia la funzione $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

1. b) Indica il punto del grafico in cui la funzione è continua ma non derivabile (punto angoloso).

1. c) Disegna il suo grafico indicando il vertice.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Marco deve calcolare gli estremi relativi della funzione con valore assoluto $f(x) = |x^2 - 9|$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Poiché il valore assoluto non cambia il grado del polinomio, derivo direttamente il suo argomento per ottenere il coefficiente angolare: $f'(x) = 2x$. Pongo uguale a zero e ottengo $2x = 0 \implies x = 0$. Sostituendo, $f(0) = |-9| = 9$. Poiché $f''(0) = 2 > 0$, concludo che la funzione ha un unico estremo relativo: un minimo nel punto $(0, 9)$».

1. a) Individua i due gravi errori concettuali commessi da Marco ignorando la definizione di valore assoluto e la derivabilità della funzione.
2. b) Scrivi correttamente $f(x)$ come funzione definita a tratti secondo il segno del suo argomento.
3. c) Trova tutti gli estremi relativi reali di $f(x)$, classificandoli con ragionamento in massimi o minimi e distinguendo quali corrispondono a punti regolari ($f'(x) = 0$) e quali a punti angolosi o cuspidi in cui la funzione non è derivabile.

Data la funzione con valore assoluto $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

1. b) Studia la derivabilità della funzione nei punti $x = 1$ e $x = 3$. Che cosa accade geometricamente in quei punti?

1. c) Trova gli estremi relativi della funzione e rappresentala graficamente.

Data la funzione:

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.

2. Studia la continuità e la derivabilità della funzione in tutto il suo dominio, prestando particolare attenzione al punto $x = 0$.

3. Trova gli asintoti del grafico di $f$.

4. Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli estremi relativi.

5. Disegna il grafico della funzione indicando chiaramente i punti in cui la derivata non esiste, se ve ne sono.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il dominio di una funzione è fondamentale per la sua rappresentazione. Trova il dominio delle seguenti funzioni trascendenti:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Spiega brevemente perché esistono restrizioni in ciascun caso.

Un biologo studia l'evoluzione di una popolazione di batteri in un ambiente controllato. Il numero di batteri (in migliaia) è dato dalla funzione $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo in ore dall'inizio dell'esperimento ($t \geq 0$). La figura mostra il grafico di $P(t)$.

1. a) Quale popolazione c'è all'inizio dell'esperimento ($t = 0$)?

1. b) Qual è il limite della popolazione quando il tempo cresce indefinitamente? Interpreta il risultato in termini di asintoti.

1. c) La popolazione aumenta o diminuisce nel tempo? Giustifica la risposta usando la derivata $P'(t)$.

Sia data la funzione $f(x) = (x - 2)e^x$. Esegui uno studio dettagliato della stessa per rappresentarla graficamente, includendo:

1. Dominio e intersezioni con gli assi.

2. Asintoti orizzontali e comportamento all'infinito.

3. Intervalli di monotonia ed estremi relativi.

4. Punti di flesso e curvatura.

Studia e rappresenta la funzione logaritmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Nella tua analisi devi includere:

1. Dimostrazione che la funzione è pari. Come influisce ciò sulla sua rappresentazione?

2. Determinazione degli intervalli di crescenza e decrescenza.

3. Studio della curvatura e ricerca dei punti di flesso.

4. La funzione ha asintoti di qualche tipo? Giustifica la risposta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$, rispondi alle seguenti domande combinando deduzione logica e calcolo formale:

1. Fase di stima (senza ancora derivare né calcolare limiti formali):

a) A partire dal dominio della funzione logaritmica e sapendo che $\ln(x) \to -\infty$ quando $x \to 0^+$, stima il comportamento della curva vicino all'asse $Y$. Ci sarà un asintoto verticale? Verso dove si dirigerà il ramo?

b) Gli appunti sottolineano che il logaritmo «cresce molto più lentamente di qualsiasi polinomio». Sulla base di ciò, stima a quale valore si avvicinerà $f(x)$ quando $x \to +\infty$ e deduci se esisterà un asintoto orizzontale.

c) Sapendo che $f(1) = 0$, che $f(x) < 0$ per $x \in (0, 1)$, e che per $x > 1$ la funzione è positiva ma deve avvicinarsi all'asintoto orizzontale quando $x \to +\infty$, deduci se debba necessariamente esistere almeno un massimo relativo e stima in quale intervallo di $x$ dovrebbe trovarsi.

1. Fase di verifica:

d) Conferma analiticamente le tue stime calcolando $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calcola la derivata $f'(x)$, determina le coordinate esatte $(x, y)$ del suo estremo relativo e verifica se la tua deduzione precedente sull'esistenza e sulla posizione del massimo era corretta.

Un satellite per telecomunicazioni descrive una traiettoria per cui l'intensità del segnale ricevuto sulla Terra è data dalla funzione:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

dove $t$ rappresenta il tempo in ore dall'inizio del monitoraggio ($t \ge 0$).

1. Determina il dominio della funzione e individua gli istanti in cui il segnale si interrompe completamente.

2. Trova gli asintoti verticali e spiega il loro significato in questo contesto.

3. Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza dell'intensità del segnale.

4. Determina in quale momento il segnale raggiunge il suo massimo relativo e disegna il grafico dell'andamento dell'intensità.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Studia e rappresenta graficamente la funzione di «tipo misto»:

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

A tale scopo, analizza in dettaglio:

1. a) Il dominio di definizione e il comportamento della funzione nei pressi di $x = 0$, calcolando i limiti laterali $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) Gli asintoti verticali e obliqui.

1. c) L'esistenza di estremi relativi utilizzando la derivata prima.

1. d) La concavità e la convessità attraverso lo studio del segno di $f''(x)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si consideri la funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{se } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Studia la continuità e la derivabilità della funzione in $x = 0$.

2. Trova gli asintoti della funzione nel suo dominio di definizione.

3. Calcola i minimi e i massimi locali di ciascun tratto nel suo intervallo corrispondente.

4. Disegna il grafico della funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Durante un episodio invernale di inversione termica a Roma, la concentrazione di biossido di azoto ($NO_2$) nell'aria, misurata in microgrammi per metro cubo ($\mu\text{g/m}^3$), viene monitorata per un'intera giornata ($t \in [0, 24]$ ore). Il servizio di qualità dell'aria modellizza l'andamento mediante una funzione a tratti che collega la fase di accumulo mattutino dovuta al traffico con la dispersione pomeridiana:

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Verifica se il modello garantisce la continuità nel passaggio da un tratto all'altro ($t = 12$). Studia poi la derivabilità in quel punto e stabilisci se il grafico presenta un punto angoloso o un passaggio regolare. Interpreta il significato fisico di questo fatto.
2. b) Individua in quale momento della giornata si raggiunge la massima concentrazione di inquinante e calcola il suo valore esatto.
3. c) Se il modello di dispersione esponenziale continuasse indefinitamente ($t \to +\infty$), avrebbe un asintoto orizzontale? Giustifica analiticamente perché il termine esponenziale tende a zero e quale sarebbe il livello residuo teorico di inquinamento secondo tale asintoto.

Si consideri la funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Esegui uno studio completo della funzione seguendo questi passi:

1. Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia continua in $x = -2$ e abbia un estremo relativo in $x = -1$.

2. Per i valori trovati, studia la derivabilità in $x = -2$ e $x = 0$.

3. Calcola gli asintoti della funzione in tutto il suo dominio.

4. Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza, nonché i massimi e minimi relativi nell'intervallo $(-\infty, 0)$.

Determina la parità delle seguenti funzioni giustificando matematicamente se sono pari ($f(x) = f(-x)$), dispari ($f(-x) = -f(x)$) o nessuna delle due:

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Si vuole progettare il profilo di una rampa per uno skatepark. Il profilo laterale segue la curva della funzione:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

per $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Si chiede di:

1. Dimostra che la funzione è dispari. Che cosa implica ciò per la sua rappresentazione grafica?

2. Definisci il valore di $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in $x=0$. Per farlo, calcola $\lim_{x \to 0} f(x)$ (puoi usare il teorema di De L'Hôpital).

3. La funzione è derivabile in $x=0$ con la definizione precedente? Giustifica la risposta.

4. Determina i punti della rampa in cui la pendenza è nulla.

5. Studia se esistono asintoti orizzontali quando il dominio si estende a tutta la retta reale.

Data la funzione $f(x) = x^4 - 2x^2$, studia la sua concavità eseguendo i seguenti passi:

1. a) Calcola la derivata seconda $f''(x)$.
2. b) Trova gli intervalli di concavità ($\cup$) e convessità ($\cap$).
3. c) Trova i punti di flesso della funzione.

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ (le rette tratteggiate sono gli asintoti della funzione; usa i segni sugli assi, uno per unità) e ricava le informazioni richieste:

1. a) Indica i valori di $x$ in cui si trovano gli asintoti verticali.

1. b) Stima gli intervalli in cui la funzione è crescente.

1. c) Individua il valore di $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ osservando il comportamento del grafico.

Considera la funzione $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcola le intersezioni con gli assi e gli asintoti della funzione.

2. Determina gli intervalli di monotonia e gli estremi locali (massimi e minimi).

3. Trova gli intervalli di curvatura e i punti di flesso.

4. Sapendo che $e^{-2} \approx 0,135$ e $e^0 = 1$, disegna il grafico della funzione.

5. Calcola l'area del triangolo formato dall'origine degli assi e dai punti del grafico in cui la tangente è orizzontale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Sia data la funzione razionale definita da:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la retta $y = x + 2$ è un asintoto obliquo della funzione e che il suo grafico passa per il punto $(0, 0)$. Una volta calcolati i parametri:

1. Trova il dominio e gli asintoti verticali, studiando la posizione della curva rispetto ad essi.

2. Trova le intersezioni con gli assi.

3. Studia l'esistenza di punti di flesso. È possibile che questa funzione non abbia alcun punto di flesso nel suo dominio? Motiva la risposta.

Disegna il grafico approssimativo di una funzione continua $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti otto condizioni:

• Il suo dominio è $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Ha un asintoto verticale in $x = 1$ tale che $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Ha un asintoto obliquo $y = x$ per $x \to +\infty$.

• Ha un asintoto orizzontale $y = -2$ per $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ nell'intervallo $(-\infty, -2)$ e $f'(x) > 0$ in $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un minimo relativo nel punto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ in $(-3, 1)$ e $f''(x) < 0$ in $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Interseca l'asse $OX$ soltanto nei punti $x = 0$ e $x = 2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole progettare l'espressione analitica di una funzione razionale irriducibile $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni geometriche e analitiche:

1. Il suo dominio è tutto $\mathbb{R}$ (non possiede alcun asintoto verticale).

2. È simmetrica rispetto all'origine degli assi (funzione dispari).

3. La retta $y = 0$ è il suo asintoto orizzontale sia per $+\infty$ sia per $-\infty$.

4. Raggiunge un estremo relativo nel punto $(2, 4)$.

1. a) Giustifica teoricamente perché una funzione polinomiale non potrebbe mai soddisfare contemporaneamente le condizioni 1, 3 e 4. Per farlo, ricorda come si comporta un polinomio all'infinito: se non è costante, il suo limite per $x\to\pm\infty$ è $+\infty$ o $-\infty$ (lo determina il termine di grado maggiore); e se è costante, la condizione 3 impone che sia il polinomio nullo.

1. b) Analizza, motivando, quali gradi minimi devono avere i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$, e quale parità devono avere gli esponenti di ciascuno, per garantire che siano soddisfatte le condizioni 1, 2 e 3.

1. c) Deduci l'espressione algebrica esatta della funzione più semplice che verifichi tutte le condizioni date.

1. d) Dimostra mediante la derivata prima se il punto $(2, 4)$ è un massimo o un minimo relativo e determina, per pura simmetria e senza eseguire nuovi calcoli di derivate, le coordinate e la natura dell'altro estremo relativo della funzione.

Per analizzare gli estremi relativi e il comportamento asintotico della funzione $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-x}$, due studenti di quinto liceo propongono metodi diversi:

• Percorso A (scomposizione analitica a tratti): studiare il segno dell'argomento $x^2 - 4$, riscrivere $f(x)$ come funzione a tratti eliminando le barre del valore assoluto, calcolare la derivata di ciascun tratto separatamente e analizzare i punti di raccordo mediante i limiti laterali delle derivate.

• Percorso B (trasformazione geometrica su funzione ausiliaria): studiare completamente la funzione derivabile ausiliaria $g(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{-x}$ (intersezioni con gli assi, estremi ponendo un'unica derivata uguale a zero e asintoti) e, successivamente, ottenere il grafico e le proprietà di $f(x) = |g(x)|$ mediante una riflessione rispetto all'asse $X$ delle zone in cui $g(x) < 0$.

1. a) Confronta criticamente i due percorsi. Giustifica perché il Percorso B risulta concettualmente più potente per individuare i punti angolosi (cuspidi) e dedurre la nuova posizione e classificazione degli estremi senza derivare funzioni a tratti.
2. b) Seguendo il Percorso B, calcola la derivata della funzione ausiliaria $g(x)$ e trova le ascisse esatte dei suoi estremi relativi.
3. c) A partire dal comportamento di $g(x)$, determina motivando per la funzione originale $f(x)$:

• Le coordinate di tutti i suoi estremi relativi, indicando espressamente quali sono punti regolari ($f'(x) = 0$) e quali sono punti angolosi in cui la derivata non esiste.

• Gli asintoti orizzontali in $+\infty$ e in $-\infty$, giustificando perché la funzione tende a zero soltanto in uno dei due versi dell'infinito.

Sfida del tema. Come «respira» il consumo energetico del nostro paese? Il tuo compito è modellizzare e analizzare analiticamente la curva della domanda elettrica giornaliera di una giornata reale.

1. Raccolta dei dati: Entra nel sito ufficiale di Terna e raccogli la domanda nazionale reale (in GW) ora per ora di ieri, per $t \in [0, 24]$.

2. Modellizzazione e classificazione: Inserisci le coppie ordinate in GeoGebra e proponi una funzione $f(t)$ che approssimi il comportamento globale (un polinomio di grado 3 o 4, o una funzione razionale). Classifica il tipo di funzione scelto e giustifica la tua decisione.

3. Studio analitico: Ricava analiticamente tutte le informazioni su $f(t)$: determina dominio, asintoti (se esistono), intervalli di monotonia ed estremi mediante $f'(t)=0$, nonché curvatura e punti di flesso con $f''(t)=0$.

4. Relazione conclusiva: Elabora una breve relazione (una pagina) con il grafico sovrapposto ai dati, confrontando i tuoi massimi e minimi analitici con i picchi reali di consumo (ore di punta e ore di valle).

Verranno valutati:

• Rigore nello studio analitico della funzione (derivate, monotonia, curvatura e asintoti).

• Adeguata giustificazione del tipo di funzione e dell'adattamento in GeoGebra.

• Coerenza nell'interpretazione della relazione nel confronto tra il modello e i dati reali.