Esercizi: Tipi di funzioni

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, esegui uno studio elementare del suo comportamento seguendo questi passi:

1. a) Calcola le intersezioni con gli assi coordinati.
2. b) Trova gli intervalli di crescenza e decrescenza utilizzando la derivata prima $f'(x)$.
3. c) Determina le coordinate $(x, y)$ dei suoi massimi e minimi relativi.

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Per comprenderne la struttura prima di rappresentarla, analizza i suoi elementi principali. La figura mostra una parte del suo grafico; i segni sugli assi distano 1 unità.

1. a) Determina il suo dominio.

1. b) Calcola le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali.

1. c) Studia la simmetria della funzione. È pari, dispari o non presenta simmetria?

Le funzioni con valori assoluti presentano spesso punti in cui il grafico cambia bruscamente direzione. Sia la funzione $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

1. b) Indica il punto del grafico in cui la funzione è continua ma non derivabile (punto angoloso).

1. c) Disegna il suo grafico indicando il vertice.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Il dominio di una funzione è fondamentale per la sua rappresentazione. Trova il dominio delle seguenti funzioni trascendenti:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Spiega brevemente perché esistono restrizioni in ciascun caso.

Un biologo studia l'evoluzione di una popolazione di batteri in un ambiente controllato. Il numero di batteri (in migliaia) è dato dalla funzione $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo in ore dall'inizio dell'esperimento ($t \geq 0$). La figura mostra il grafico di $P(t)$.

1. a) Quale popolazione c'è all'inizio dell'esperimento ($t = 0$)?

1. b) Qual è il limite della popolazione quando il tempo cresce indefinitamente? Interpreta il risultato in termini di asintoti.

1. c) La popolazione aumenta o diminuisce nel tempo? Giustifica la risposta usando la derivata $P'(t)$.

Data la funzione $f(x) = x^4 - 2x^2$, studia la sua concavità eseguendo i seguenti passi:

1. a) Calcola la derivata seconda $f''(x)$.
2. b) Trova gli intervalli di concavità ($\cup$) e convessità ($\cap$).
3. c) Trova i punti di flesso della funzione.

Determina la parità delle seguenti funzioni giustificando matematicamente se sono pari ($f(x) = f(-x)$), dispari ($f(-x) = -f(x)$) o nessuna delle due:

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ (le rette tratteggiate sono gli asintoti della funzione; usa i segni sugli assi, uno per unità) e ricava le informazioni richieste:

1. a) Indica i valori di $x$ in cui si trovano gli asintoti verticali.

1. b) Stima gli intervalli in cui la funzione è crescente.

1. c) Individua il valore di $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ osservando il comportamento del grafico.

Marco deve calcolare gli estremi relativi della funzione con valore assoluto $f(x) = |x^2 - 9|$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Poiché il valore assoluto non cambia il grado del polinomio, derivo direttamente il suo argomento per ottenere il coefficiente angolare: $f'(x) = 2x$. Pongo uguale a zero e ottengo $2x = 0 \implies x = 0$. Sostituendo, $f(0) = |-9| = 9$. Poiché $f''(0) = 2 > 0$, concludo che la funzione ha un unico estremo relativo: un minimo nel punto $(0, 9)$».

1. a) Individua i due gravi errori concettuali commessi da Marco ignorando la definizione di valore assoluto e la derivabilità della funzione.
2. b) Scrivi correttamente $f(x)$ come funzione definita a tratti secondo il segno del suo argomento.
3. c) Trova tutti gli estremi relativi reali di $f(x)$, classificandoli con ragionamento in massimi o minimi e distinguendo quali corrispondono a punti regolari ($f'(x) = 0$) e quali a punti angolosi o cuspidi in cui la funzione non è derivabile.

Per studiare gli asintoti e la posizione relativa della curva della funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo A (Alba): eseguire la divisione tra numeratore e denominatore per scomporre la funzione nella forma $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Metodo B (Bruno): applicare i limiti classici $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Confronta i due metodi e giustifica perché quello di Alba risulta più efficiente in questo caso per determinare contemporaneamente l'equazione dell'asintoto obliquo e la posizione del grafico rispetto a esso in $+\infty$ e $-\infty$ senza dover calcolare ulteriori limiti.
2. b) Applica il metodo di Alba per trovare la retta asintoto e stabilisci analiticamente se la curva si trova sopra o sotto tale asintoto in ciascuno dei due infiniti.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, esegui uno studio completo per la sua rappresentazione grafica seguendo questi passi:

1. a) Trova il dominio di definizione e le intersezioni con gli assi coordinati.

1. b) Studia l'esistenza di simmetrie nella funzione.

1. c) Determina gli asintoti verticali, orizzontali e la posizione della curva rispetto ad essi.

1. d) Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza, e determina i suoi massimi e minimi relativi.

1. e) Disegna il grafico della funzione basandoti sui risultati precedenti.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Si chiede di:

1. Trovare le equazioni dei suoi asintoti. Se esiste un asintoto obliquo, determina la posizione della curva rispetto ad esso per $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$.

2. Trovare gli intervalli di concavità e convessità, e verificare se esistono punti di flesso.

3. Utilizzare le informazioni sulla crescenza e sugli estremi per disegnare uno schema preciso del grafico.

Uno studio biologico su una popolazione di insetti in un ambiente controllato segue la funzione $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, dove $P$ è la popolazione in migliaia e $t$ è il tempo in mesi dall'inizio dell'esperimento ($t \geq 0$).

1. Determina in quale momento la popolazione raggiunge il suo valore massimo e qual è tale valore.

2. A quale valore tende la popolazione se l'esperimento si prolungasse indefinitamente? Giustifica la risposta mediante il calcolo di limiti.

3. Studia la curvatura della funzione per individuare in quale momento la diminuzione della popolazione inizia a rallentare (punto di flesso).

Data la funzione con valore assoluto $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

1. b) Studia la derivabilità della funzione nei punti $x = 1$ e $x = 3$. Che cosa accade geometricamente in quei punti?

1. c) Trova gli estremi relativi della funzione e rappresentala graficamente.

Sia data la funzione $f(x) = (x - 2)e^x$. Esegui uno studio dettagliato della stessa per rappresentarla graficamente, includendo:

1. Dominio e intersezioni con gli assi.

2. Asintoti orizzontali e comportamento all'infinito.

3. Intervalli di monotonia ed estremi relativi.

4. Punti di flesso e curvatura.

Studia e rappresenta la funzione logaritmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Nella tua analisi devi includere:

1. Dimostrazione che la funzione è pari. Come influisce ciò sulla sua rappresentazione?

2. Determinazione degli intervalli di crescenza e decrescenza.

3. Studio della curvatura e ricerca dei punti di flesso.

4. La funzione ha asintoti di qualche tipo? Giustifica la risposta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si consideri la funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{se } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Studia la continuità e la derivabilità della funzione in $x = 0$.

2. Trova gli asintoti della funzione nel suo dominio di definizione.

3. Calcola i minimi e i massimi locali di ciascun tratto nel suo intervallo corrispondente.

4. Disegna il grafico della funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ abbia un punto di flesso in $x = 1$ e il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto sia $1$. Una volta trovati i parametri:

1. a) Studia la monotonia della funzione ottenuta.

1. b) Determina se ha qualche massimo o minimo relativo.

1. c) Giustifica se la funzione ha asintoti.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$, rispondi alle seguenti domande combinando deduzione logica e calcolo formale:

1. Fase di stima (senza ancora derivare né calcolare limiti formali):

a) A partire dal dominio della funzione logaritmica e sapendo che $\ln(x) \to -\infty$ quando $x \to 0^+$, stima il comportamento della curva vicino all'asse $Y$. Ci sarà un asintoto verticale? Verso dove si dirigerà il ramo?

b) Gli appunti sottolineano che il logaritmo «cresce molto più lentamente di qualsiasi polinomio». Sulla base di ciò, stima a quale valore si avvicinerà $f(x)$ quando $x \to +\infty$ e deduci se esisterà un asintoto orizzontale.

c) Sapendo che $f(1) = 0$, che $f(x) < 0$ per $x \in (0, 1)$, e che per $x > 1$ la funzione è positiva ma deve avvicinarsi all'asintoto orizzontale quando $x \to +\infty$, deduci se debba necessariamente esistere almeno un massimo relativo e stima in quale intervallo di $x$ dovrebbe trovarsi.

1. Fase di verifica:

d) Conferma analiticamente le tue stime calcolando $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calcola la derivata $f'(x)$, determina le coordinate esatte $(x, y)$ del suo estremo relativo e verifica se la tua deduzione precedente sull'esistenza e sulla posizione del massimo era corretta.

Durante un episodio invernale di inversione termica a Roma, la concentrazione di biossido di azoto ($NO_2$) nell'aria, misurata in microgrammi per metro cubo ($\mu\text{g/m}^3$), viene monitorata per un'intera giornata ($t \in [0, 24]$ ore). Il servizio di qualità dell'aria modellizza l'andamento mediante una funzione a tratti che collega la fase di accumulo mattutino dovuta al traffico con la dispersione pomeridiana:

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Verifica se il modello garantisce la continuità nel passaggio da un tratto all'altro ($t = 12$). Studia poi la derivabilità in quel punto e stabilisci se il grafico presenta un punto angoloso o un passaggio regolare. Interpreta il significato fisico di questo fatto.
2. b) Individua in quale momento della giornata si raggiunge la massima concentrazione di inquinante e calcola il suo valore esatto.
3. c) Se il modello di dispersione esponenziale continuasse indefinitamente ($t \to +\infty$), avrebbe un asintoto orizzontale? Giustifica analiticamente perché il termine esponenziale tende a zero e quale sarebbe il livello residuo teorico di inquinamento secondo tale asintoto.

Si consideri la funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Esegui uno studio completo della funzione seguendo questi passi:

1. Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia continua in $x = -2$ e abbia un estremo relativo in $x = -1$.

2. Per i valori trovati, studia la derivabilità in $x = -2$ e $x = 0$.

3. Calcola gli asintoti della funzione in tutto il suo dominio.

4. Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza, nonché i massimi e minimi relativi nell'intervallo $(-\infty, 0)$.

Sia data la funzione razionale definita da:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la retta $y = x + 2$ è un asintoto obliquo della funzione e che il suo grafico passa per il punto $(0, 0)$. Una volta calcolati i parametri:

1. Trova il dominio e gli asintoti verticali, studiando la posizione della curva rispetto ad essi.

2. Trova le intersezioni con gli assi.

3. Studia l'esistenza di punti di flesso. È possibile che questa funzione non abbia alcun punto di flesso nel suo dominio? Motiva la risposta.

Un satellite per telecomunicazioni descrive una traiettoria per cui l'intensità del segnale ricevuto sulla Terra è data dalla funzione:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

dove $t$ rappresenta il tempo in ore dall'inizio del monitoraggio ($t \ge 0$).

1. Determina il dominio della funzione e individua gli istanti in cui il segnale si interrompe completamente.

2. Trova gli asintoti verticali e spiega il loro significato in questo contesto.

3. Calcola gli intervalli di crescenza e decrescenza dell'intensità del segnale.

4. Determina in quale momento il segnale raggiunge il suo massimo relativo e disegna il grafico dell'andamento dell'intensità.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione:

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.

2. Studia la continuità e la derivabilità della funzione in tutto il suo dominio, prestando particolare attenzione al punto $x = 0$.

3. Trova gli asintoti del grafico di $f$.

4. Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza e gli estremi relativi.

5. Disegna il grafico della funzione indicando chiaramente i punti in cui la derivata non esiste, se ve ne sono.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Considera la funzione $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcola le intersezioni con gli assi e gli asintoti della funzione.

2. Determina gli intervalli di monotonia e gli estremi locali (massimi e minimi).

3. Trova gli intervalli di curvatura e i punti di flesso.

4. Sapendo che $e^{-2} \approx 0,135$ e $e^0 = 1$, disegna il grafico della funzione.

5. Calcola l'area del triangolo formato dall'origine degli assi e dai punti del grafico in cui la tangente è orizzontale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Studia e rappresenta graficamente la funzione di «tipo misto»:

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

A tale scopo, analizza in dettaglio:

1. a) Il dominio di definizione e il comportamento della funzione nei pressi di $x = 0$, calcolando i limiti laterali $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) Gli asintoti verticali e obliqui.

1. c) L'esistenza di estremi relativi utilizzando la derivata prima.

1. d) La concavità e la convessità attraverso lo studio del segno di $f''(x)$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole progettare il profilo di una rampa per uno skatepark. Il profilo laterale segue la curva della funzione:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

per $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Si chiede di:

1. Dimostra che la funzione è dispari. Che cosa implica ciò per la sua rappresentazione grafica?

2. Definisci il valore di $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in $x=0$. Per farlo, calcola $\lim_{x \to 0} f(x)$ (puoi usare il teorema di De L'Hôpital).

3. La funzione è derivabile in $x=0$ con la definizione precedente? Giustifica la risposta.

4. Determina i punti della rampa in cui la pendenza è nulla.

5. Studia se esistono asintoti orizzontali quando il dominio si estende a tutta la retta reale.

Disegna il grafico approssimativo di una funzione continua $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti otto condizioni:

• Il suo dominio è $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Ha un asintoto verticale in $x = 1$ tale che $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Ha un asintoto obliquo $y = x$ per $x \to +\infty$.

• Ha un asintoto orizzontale $y = -2$ per $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ nell'intervallo $(-\infty, -2)$ e $f'(x) > 0$ in $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un minimo relativo nel punto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ in $(-3, 1)$ e $f''(x) < 0$ in $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Interseca l'asse $OX$ soltanto nei punti $x = 0$ e $x = 2$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si vuole progettare l'espressione analitica di una funzione razionale irriducibile $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni geometriche e analitiche:

1. Il suo dominio è tutto $\mathbb{R}$ (non possiede alcun asintoto verticale).

2. È simmetrica rispetto all'origine degli assi (funzione dispari).

3. La retta $y = 0$ è il suo asintoto orizzontale sia per $+\infty$ sia per $-\infty$.

4. Raggiunge un estremo relativo nel punto $(2, 4)$.

1. a) Giustifica teoricamente perché una funzione polinomiale non potrebbe mai soddisfare contemporaneamente le condizioni 1, 3 e 4. Per farlo, ricorda come si comporta un polinomio all'infinito: se non è costante, il suo limite per $x\to\pm\infty$ è $+\infty$ o $-\infty$ (lo determina il termine di grado maggiore); e se è costante, la condizione 3 impone che sia il polinomio nullo.

1. b) Analizza, motivando, quali gradi minimi devono avere i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$, e quale parità devono avere gli esponenti di ciascuno, per garantire che siano soddisfatte le condizioni 1, 2 e 3.

1. c) Deduci l'espressione algebrica esatta della funzione più semplice che verifichi tutte le condizioni date.

1. d) Dimostra mediante la derivata prima se il punto $(2, 4)$ è un massimo o un minimo relativo e determina, per pura simmetria e senza eseguire nuovi calcoli di derivate, le coordinate e la natura dell'altro estremo relativo della funzione.

Per analizzare gli estremi relativi e il comportamento asintotico della funzione $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-x}$, due studenti di quinto liceo propongono metodi diversi:

• Percorso A (scomposizione analitica a tratti): studiare il segno dell'argomento $x^2 - 4$, riscrivere $f(x)$ come funzione a tratti eliminando le barre del valore assoluto, calcolare la derivata di ciascun tratto separatamente e analizzare i punti di raccordo mediante i limiti laterali delle derivate.

• Percorso B (trasformazione geometrica su funzione ausiliaria): studiare completamente la funzione derivabile ausiliaria $g(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{-x}$ (intersezioni con gli assi, estremi ponendo un'unica derivata uguale a zero e asintoti) e, successivamente, ottenere il grafico e le proprietà di $f(x) = |g(x)|$ mediante una riflessione rispetto all'asse $X$ delle zone in cui $g(x) < 0$.

1. a) Confronta criticamente i due percorsi. Giustifica perché il Percorso B risulta concettualmente più potente per individuare i punti angolosi (cuspidi) e dedurre la nuova posizione e classificazione degli estremi senza derivare funzioni a tratti.
2. b) Seguendo il Percorso B, calcola la derivata della funzione ausiliaria $g(x)$ e trova le ascisse esatte dei suoi estremi relativi.
3. c) A partire dal comportamento di $g(x)$, determina motivando per la funzione originale $f(x)$:

• Le coordinate di tutti i suoi estremi relativi, indicando espressamente quali sono punti regolari ($f'(x) = 0$) e quali sono punti angolosi in cui la derivata non esiste.

• Gli asintoti orizzontali in $+\infty$ e in $-\infty$, giustificando perché la funzione tende a zero soltanto in uno dei due versi dell'infinito.

Sfida del tema. Come «respira» il consumo energetico del nostro paese? Il tuo compito è modellizzare e analizzare analiticamente la curva della domanda elettrica giornaliera di una giornata reale.

1. Raccolta dei dati: Entra nel sito ufficiale di Terna e raccogli la domanda nazionale reale (in GW) ora per ora di ieri, per $t \in [0, 24]$.

2. Modellizzazione e classificazione: Inserisci le coppie ordinate in GeoGebra e proponi una funzione $f(t)$ che approssimi il comportamento globale (un polinomio di grado 3 o 4, o una funzione razionale). Classifica il tipo di funzione scelto e giustifica la tua decisione.

3. Studio analitico: Ricava analiticamente tutte le informazioni su $f(t)$: determina dominio, asintoti (se esistono), intervalli di monotonia ed estremi mediante $f'(t)=0$, nonché curvatura e punti di flesso con $f''(t)=0$.

4. Relazione conclusiva: Elabora una breve relazione (una pagina) con il grafico sovrapposto ai dati, confrontando i tuoi massimi e minimi analitici con i picchi reali di consumo (ore di punta e ore di valle).

Verranno valutati:

• Rigore nello studio analitico della funzione (derivate, monotonia, curvatura e asintoti).

• Adeguata giustificazione del tipo di funzione e dell'adattamento in GeoGebra.

• Coerenza nell'interpretazione della relazione nel confronto tra il modello e i dati reali.