Calcolo dei limiti

Risolvi la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ semplificando la frazione mediante la scomposizione in fattori dei polinomi (puoi usare i prodotti notevoli o la regola di Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

La quota di un drone da ricognizione (in metri) rispetto alla distanza orizzontale $x$ percorsa è data dalla funzione $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Sebbene il drone non possa trovarsi fisicamente nella posizione $x = 3$ a causa di una restrizione del software, calcola il limite della quota quando si avvicina a tale punto:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Un sensore di precisione in un laboratorio di nanotecnologia misura la forza di attrazione tra due particelle. L'intensità del segnale $S$ in funzione della distanza $x$ (in nanometri) è espressa dalla seguente funzione:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figura mostra il grafico di $S(x)$: per $x=4$ la funzione non è definita (punto con il cerchio vuoto).

Calcola il valore a cui tende il segnale quando la distanza $x$ si avvicina a $4$ nanometri. Spiega quale tecnica matematica hai utilizzato per risolvere la forma indeterminata.

Calcola il seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\infty - \infty$ mediante l'uso dell'espressione coniugata:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Rappresenta graficamente in modo schematico che cosa significa questo risultato rispetto alla distanza tra la funzione radicale e la retta $y = x$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ riportato di seguito, individua visivamente il valore dei seguenti limiti:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Per calcolare il limite indeterminato $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6x} - 1}{\tan(2x)}$, si propongono due strade teoriche:

• Via A (Coniugato cubico e infinitesimi equivalenti): Usare l'identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ per razionalizzare il numeratore e applicare l'equivalenza trigonometrica adeguata al denominatore.

• Via B (Regola di de L'Hôpital): Verificare che siano soddisfatte le condizioni di derivabilità e di indeterminazione e derivare numeratore e denominatore.

1. a) Sviluppa per intero la risoluzione mediante la Via A. Spiega perché è lecito sostituire $\tan(2x)$ con il suo infinitesimo equivalente in questo caso concreto e perché non lo sarebbe se fosse all'interno di una sottrazione.
2. b) Sviluppa la risoluzione mediante la Via B, calcolando in dettaglio la derivata della radice cubica e valutando il limite risultante.
3. c) Valuta i due metodi: quale presenta il minor rischio di errore algebrico in un compito in classe? Spiega inoltre perché un cambio di variabile del tipo $t = \sqrt[3]{1 + 6x}$ risulterebbe notevolmente più laborioso a causa della presenza della funzione trigonometrica.

Calcola il limite nel punto $x = 0$ della seguente espressione trigonometrica, utilizzando infinitesimi equivalenti o identità trigonometriche note:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

In una verifica, Irene deve risolvere il limite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin x - 2(1 - \cos x)}{x^4}$$

Irene scrive la seguente risposta:

«Poiché $x \to 0$, applico gli infinitesimi noti: $\sin x \sim x$ e $(1 - \cos x) \sim \frac{x^2}{2}$. Sostituendo nel numeratore ottengo:

$$x \cdot (x) - 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x^2 = 0$$

Dato che il numeratore si annulla, il limite è uguale a $0$».

1. a) Spiega in modo rigoroso l'errore concettuale di Irene. Perché la sostituzione di infinitesimi equivalenti in somme o differenze può portare a un'ingannevole cancellazione dei termini principali?
2. b) Dimostra che il limite non è zero calcolandone il valore esatto mediante l'applicazione ripetuta della regola di de L'Hôpital (giustificando a ogni passaggio perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema).
3. c) A partire dal risultato corretto, spiega quale fosse realmente il primo termine non nullo del numeratore e perché l'approssimazione di Irene ha eliminato l'informazione rilevante del limite.

Matteo sta risolvendo alla lavagna il seguente limite con forma indeterminata del tipo $1^\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} \right)^{3x}$$

Per risolverlo, esegue il seguente procedimento:

1. Verifica che $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = 1$ e che l'esponente tende a $+\infty$.

2. Applica la formula dell'esponente ausiliario:

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{4}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{12x}{2x + 1} = 6$$

1. Conclude: «Poiché il risultato del calcolo è $6$, il limite originale vale $6$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Matteo nella sua conclusione finale. Giustifica che cosa rappresenta in realtà il valore $L = 6$ ricorrendo alla definizione e alla deduzione del numero $e$.
2. b) Scrivi il valore corretto del limite.

La crescita di una popolazione di uccelli in una riserva naturale protetta segue la seguente legge di capitalizzazione composta continua idealizzata:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcola il limite della popolazione quando il tempo $t$ tende a infinito. Esprimi il risultato in funzione del numero $e$.

Studia il comportamento della funzione $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ quando $x$ si avvicina a zero. Per farlo, calcola:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Spiega perché questo limite dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$ e risolvilo utilizzando i logaritmi naturali o la formula specifica per questo tipo di limiti.

Un server di videogiochi multigiocatore ha rilevato che il numero di utenti attivi, $N(t)$, in migliaia, segue un modello di crescita di tipo esponenziale in funzione del tempo $t$ (in mesi) definito dall'espressione:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcola il limite degli utenti attivi quando il tempo tende a infinito ($t \to +\infty$). La popolazione di giocatori si stabilizza su un valore finito o cresce indefinitamente?

Calcola il limite all'infinito della seguente funzione polinomiale, che rappresenta l'evoluzione dei profitti di una startup tecnologica (in migliaia di euro) nel tempo $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -2x^3 + 50x^2 - 100 )$$

Indica qual è il termine dominante e giustifica perché il segno del coefficiente principale determina il comportamento finale della funzione.

Un server di videogiochi gestisce il numero di giocatori connessi mediante la funzione $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, dove $x$ è il tempo in ore dal lancio di un evento. Calcola il limite dei giocatori quando il tempo tende a infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

In un laboratorio di chimica, la concentrazione di un reagente in una miscela (in mg/l) segue la funzione $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, dove $t$ è il tempo in minuti. Determina a quale valore tende la concentrazione a lungo termine calcolando:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Basandoti sul confronto degli ordini di infinito, determina il valore dei seguenti limiti senza eseguire operazioni complesse:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

Nello studio della diffusione di una notizia sui social network, si stima che il numero di utenti raggiunti $U$ (in migliaia) dopo $t$ ore segua l'espressione:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcola il limite degli utenti raggiunti quando il tempo cresce indefinitamente ($t \to +\infty$). La funzione presenta qualche asintoto orizzontale? Giustifica la risposta confrontando i gradi dei termini dominanti.

Calcola il valore dei seguenti limiti confrontando gli ordini di infinito delle funzioni coinvolte (esponenziali, potenze e logaritmi):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Calcola il valore del seguente limite applicando il confronto tra infiniti o la regola di de l'Hôpital, analizzando in dettaglio l'ordine di grandezza di ciascun termine:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

Quale termine domina la crescita della funzione al numeratore e quale al denominatore?

Calcola i limiti laterali della funzione $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ nel punto in cui si annulla il denominatore. A tal fine, studia la tendenza di $f(x)$ avvicinandoti da sinistra e da destra, osservando il segno del numeratore e del denominatore:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

Lo schema mostra gli assi, l'asintoto verticale $x=5$ e il verso in cui ci avviciniamo ad esso da ciascun lato:

Data la funzione razionale che dipende da un parametro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Trova il valore di $k$ affinché il limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sia finito. Una volta trovato tale valore, calcola il valore del limite.

Si consideri la funzione $f(x)$ definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcola il valore del parametro $a$ affinché esista il limite della funzione nel punto $x = 3$. Qual è il valore di tale limite?

Nella progettazione di una nuova rampa per uno skate park, gli ingegneri devono assicurare che la transizione tra due tratti della pista sia liscia (continua). L'altezza della rampa $h(x)$ in metri è data dalla seguente funzione:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina i valori dei parametri $k$ e $a$ affinché esista $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ e questo sia uguale all'altezza iniziale della rampa, che è $2$ metri.

Sia data la funzione $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcola il valore di $k$ affinché il limite della funzione quando $x \to 2$ sia finito.

1. b) Una volta trovato $k$, calcola tale limite.

1. c) Classifica il tipo di discontinuità che presenta la funzione in $x = 2$ e in $x = -2$.