Regole di derivazione e funzione derivata delle funzioni usuali

Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni applicando le regole di derivazione delle funzioni elementari (potenze e radici):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Determina la funzione derivata delle seguenti funzioni trascendenti utilizzando la tabella delle derivate delle funzioni usuali:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Una molla oscilla seguendo un moto armonico semplice descritto dalla funzione $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, dove $y$ è la posizione in centimetri e $x$ è il tempo. Ricava l'espressione della funzione derivata $y'(x)$, che rappresenta la velocità di oscillazione della molla.

Data la funzione quadratica $f(x) = x^2 - 6x + 5$, si chiede di:

1. a) Determinare la funzione derivata $f'(x)$.

1. b) Calcolare il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto $P$ di ascissa $x = 4$ (indicato in figura).

Un razzo pirotecnico decolla verticalmente da una piattaforma di lancio. L'altezza $h$ in metri rispetto al tempo $t$ in secondi è data dalla funzione polinomiale $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcola la funzione derivata $h'(t)$, che rappresenta la velocità istantanea del razzo in qualsiasi istante $t$.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcola la sua funzione derivata $f'(x)$ e semplifica il risultato esprimendo nuovamente la radice in forma di radicale.

Calcola la derivata delle seguenti funzioni composte semplici utilizzando direttamente la regola della catena:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Un account di un social network ha analizzato la propria crescita e ha stabilito che il numero di follower $S$ evolve secondo la funzione esponenziale $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, dove $t$ è il tempo trascorso in mesi dalla creazione. Determina la funzione derivata $S'(t)$ per conoscere il ritmo di crescita dei follower.

In una verifica di quinto liceo, Marco deve calcolare la funzione derivata di $f(x) = \sin^3(2x)$. Sul foglio scrive quanto segue:

«Poiché è una potenza, porto giù l'esponente e derivo il seno:

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x)$».

1. a) Individua con precisione quale passaggio fondamentale della regola della catena ha omesso Marco nello scomporre gli strati della funzione composta. Spiega perché il suo ragionamento è errato.
2. b) Correggi l'esercizio scrivendo la catena completa di derivazione passo dopo passo, identificando ciascuna delle funzioni elementari che compongono $f$ (dalla più esterna alla più interna), e ottieni l'espressione semplificata corretta di $f'(x)$.

Calcola l'equazione della retta tangente alla curva $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ nel punto di ascissa $x = 2$.

La figura mostra il grafico di $f$, i suoi asintoti orizzontali e il punto $P$ della curva la cui ascissa è $x = 2$.

Calcola la derivata della funzione $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ e semplifica l'espressione risultante. A quale funzione più semplice corrisponde questa derivata?

Sia la funzione $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Dimostra che $f(x)$ è biiettiva in tutto $\mathbb{R}$ (puoi appoggiarti allo studio della sua crescenza).

1. b) Sapendo che $f(1) = 4$, calcola il valore della derivata della funzione inversa in quel punto, cioè $(f^{-1})'(4)$.

Calcola la funzione derivata della seguente funzione composta, applicando la regola della catena e semplificando il risultato al massimo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Data la funzione razionale che coinvolge logaritmi naturali:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Trova l'espressione della sua derivata $g'(x)$ e determina i valori di $x$ per i quali il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $g(x)$ è uguale a zero.

Calcola la derivata della seguente funzione semplificando il risultato finale il più possibile mediante identità trigonometriche:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Un drone di sorveglianza segue una traiettoria la cui altezza in metri è data dalla funzione $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, dove $t$ è il tempo in secondi dal decollo.

1. a) Calcola la funzione che rappresenta la velocità verticale del drone, $v(t) = h'(t)$.

1. b) Qual è la velocità verticale del drone all'istante $t = 5$ secondi?

In una stazione meteorologica dell'Aeronautica Militare a Palermo durante un episodio estivo di caldo, la temperatura ambiente $T(t)$ in gradi Celsius ($^{\circ}\text{C}$) nel corso di una giornata di 24 ore segue il modello:

$T(t) = 31 - 9 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot (t - 4)}{12}\right)$,

dove $t$ rappresenta il tempo in ore trascorso dalla mezzanotte ($t \in [0, 24]$).

1. a) Determina la funzione derivata $T'(t)$, indicando con chiarezza ciascuna delle regole di derivazione utilizzate (costante per funzione, funzione composta e regola trigonometrica).
2. b) Calcola il valore esatto e approssimato a due cifre decimali di $T'(10)$ (alle 10:00) e di $T'(16)$ (alle 16:00).
3. c) Interpreta il significato fisico e contestuale dei valori e dei segni ottenuti nel punto precedente (indicando le unità di misura corrispondenti alla derivata) e determina a che ora del giorno la temperatura sale con la massima rapidità.

Un oscillatore armonico in un sistema meccanico ha una posizione data da $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcola la velocità $v(t) = x'(t)$ e l'accelerazione $a(t) = x''(t)$, e verifica se soddisfa l'equazione differenziale $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Un drone di sorveglianza si muove seguendo la traiettoria data dalla funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operatore situato nel punto $A(2, 0)$ osserva il drone.

Calcola il punto della traiettoria in cui il drone si trova alla distanza minima dall'operatore.

Nota: Per minimizzare la distanza $d$, basta minimizzare il quadrato della distanza $d^2$. Dovrai derivare la funzione risultante della distanza.

In un laboratorio di biotecnologie, il volume di una popolazione di batteri (in $mm^3$) cresce secondo la funzione $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, dove $t$ è il tempo in ore. Allo stesso tempo, il raggio della piastra di coltura circolare in cui crescono i batteri si espande in modo che l'area occupata dalla popolazione sia $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Supponendo che lo spessore dello strato batterico sia costante e uguale a $0,1 mm$ (cosicché $V = A \cdot h$), calcola la velocità di variazione istantanea del raggio della popolazione all'istante $t = 2$ ore.

Considera la funzione trascendente $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Senza calcolare la funzione derivata in modo analitico, stima il valore del coefficiente angolare della retta tangente in $x = 0$ calcolando il rapporto incrementale medio (tasso di variazione medio, TVM) nell'intervallo $[0;\, 0,1]$ con l'aiuto della calcolatrice (in modalità radianti). In base al risultato, ti aspetti che la funzione sia crescente o decrescente in un intorno immediato di $x = 0$?
2. b) Applica le regole di derivazione per ottenere l'espressione algebrica semplificata della funzione derivata $f'(x)$.
3. c) Calcola il valore esatto di $f'(0)$, confrontalo con il valore stimato ottenuto al punto a) e verifica in modo motivato se la tua ipotesi precedente sulla monotonia locale della funzione risulta confermata.

Data la funzione $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, definita nell'intervallo aperto $I = \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:

Si considerano due vie di risoluzione per calcolare la sua funzione derivata $f'(x)$:

• Via 1 (Proprietà algebriche dei logaritmi): Riscrivere prima $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ e derivare come differenza di logaritmi naturali applicando la regola della catena.

• Via 2 (Semplificazione trigonometrica preliminare): Trasformare il radicando utilizzando le formule di duplicazione ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ e $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) prima di applicare qualsiasi regola di derivazione.

1. a) Sviluppa completamente la Via 2 per trovare $f'(x)$ nella sua espressione più compatta, espressa come quoziente in funzione di un'unica funzione trigonometrica dell'angolo doppio. Giustifica perché il segno all'interno della radice quadrata non genera ambiguità nell'intervallo $I$.
2. b) Sviluppa la Via 1 e mostra in dettaglio tutti i passaggi algebrici e trigonometrici necessari per semplificare la somma di frazioni risultante fino a ottenere esattamente la stessa espressione della Via 2.
3. c) Confronta criticamente le due vie: analizza quale minimizza la probabilità di errore algebrico e concludi quale criterio generale di semplificazione preliminare conviene adottare di fronte a questo tipo di derivate nell'esame di maturità.

Trova i valori dei parametri $a, b \in \mathbb{R}$ affinché la funzione $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ soddisfi contemporaneamente le seguenti condizioni:

• Passa per il punto $(0, 3)$.

• La sua derivata nell'origine è $f'(0) = 2$.

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia derivabile in tutto il suo dominio:

Spiega con ragionamento la relazione tra continuità e derivabilità nel punto di raccordo $x = 1$.

Utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per ottenere la derivata della seguente funzione potenza-esponenziale:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Utilizzando la tecnica della derivazione logaritmica, trova la derivata della funzione $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ per $x > 0$.

Data la funzione trascendente definita da $f(x) = (\arctan x)^x$ per $x > 0$, utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per calcolare la sua funzione derivata $f'(x)$. Una volta ottenuta, calcola il valore esatto del coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 1$.

Per dimensionare correttamente una trave d'acciaio sottoposta a torsione asimmetrica, un ingegnere deve ottimizzare una funzione di sforzo data da $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ per $x > 1$. Applica il metodo della derivazione logaritmica per ottenere l'espressione semplificata della derivata $E'(x)$.

Una funzione incognita $f(x)$, derivabile e strettamente positiva nell'intervallo $(0, +\infty)$, soddisfa il fatto che la sua derivata logaritmica è data dall'espressione:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

Inoltre, si sa che il grafico di $f$ passa per il punto $(1, 1)$.

1. a) Giustifica perché l'espressione $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincide formalmente con la derivata della funzione composta $\ln(f(x))$.
2. b) Deduci con ragionamento l'espressione della funzione $g(x) = \ln(f(x))$ individuando una funzione la cui derivata sia $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Per farlo, scomponi il quoziente nella somma di due frazioni e riconoscile come derivate di funzioni elementari o di potenze di $\ln x$.
3. c) A partire dalla condizione $f(1) = 1$, trova la costante corrispondente e ricava la funzione originale $f(x)$, esprimendola nella forma potenza-esponenziale $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Verifica il tuo risultato derivando direttamente la funzione $f(x)$ ottenuta mediante la tecnica della derivazione logaritmica e verificando che si riproduca fedelmente il quoziente di partenza.

Calcola la derivata della seguente funzione composta e semplifica il risultato al massimo utilizzando identità trigonometriche:

Quale curiosità osservi nel risultato finale semplificato?

Si vuole calcolare la funzione derivata di $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Due studenti propongono strategie diverse:

• Via A (derivazione diretta): Applicare subito la formula $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, calcolando prima la derivata della frazione mediante la regola del quoziente e la regola della catena per il denominatore.

• Via B (semplificazione preliminare con i logaritmi): Utilizzare le proprietà dei logaritmi ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ e $\ln(e^u) = u$) per scomporre $f(x)$ in una somma e differenza di termini semplici prima di derivare.

1. a) Confronta le due vie e motiva quale delle due è preferibile in termini di minor carico di calcolo e minor probabilità di commettere errori di segno o di semplificazione.
2. b) Applica la via più efficiente per calcolare $f'(x)$ ed esprimi il risultato come un'unica frazione algebrica ridotta ai minimi termini.

Considera la curva definita in forma implicita dall'equazione:

1. a) Trova l'espressione della derivata $y'$ in funzione di $x$ e $y$ mediante derivazione implicita.
2. b) Trova l'equazione della retta normale alla curva nel punto $P(3, 1)$.

Trova l'espressione generale della derivata n-esima ($f^{(n)}(x)$) per la funzione razionale:

Suggerimento: Scomponi la funzione in fratti semplici prima di iniziare a derivare successivamente.