Proprietà delle funzioni derivabili. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 6x + 8$, verifica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[2, 4]$. In caso affermativo, determina il valore del punto $c \in (2, 4)$ la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Spiega in modo motivato perché non si può applicare il teorema di Rolle alla funzione $f(x) = 1 - |x-1|$ nell'intervallo $[0, 2]$, nonostante $f(0) = f(2) = 0$. Quale ipotesi non è soddisfatta in questo caso?

Considera la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina il valore del parametro $k$ affinché la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[-2, 1]$.
2. b) Per tale valore di $k$, calcola i punti $c$ che verificano la tesi del teorema.

Sia data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcola i valori dei parametri $a, b, k \in \mathbb{R}$ affinché la funzione $f(x)$ soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[0, e]$. Una volta trovati i parametri, determina il valore del punto $c \in (0, e)$ la cui esistenza è garantita dal teorema.

Considera la funzione $f(x) = x^2 - x$ nell'intervallo $[0, 2]$. Nella figura compaiono il suo grafico e la retta secante passante per i punti $A$ e $B$ del grafico di ascisse $0$ e $2$.

1. a) Verifica che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange in $[0, 2]$ e calcola il coefficiente angolare della retta secante $AB$.

1. b) Determina il valore del punto $c \in (0, 2)$ la cui esistenza è garantita dal teorema.

1. c) Spiega graficamente quale relazione ha la retta tangente al grafico nel punto di ascissa $c$ con la retta secante $AB$.

Un maratoneta si allena su una pista rettilinea. La sua posizione (in metri) rispetto al punto di partenza è data dalla funzione $s(t) = t^2 + 2t$, dove $t$ è il tempo in secondi. Utilizza il teorema di Lagrange per dimostrare che in un certo istante tra $t=1$ e $t=4$ secondi la sua velocità istantanea è stata esattamente uguale alla sua velocità media in quell'intervallo. Calcola tale istante.

Un autovelox di tratto su un'autostrada italiana rileva che un veicolo entra nella galleria (punto $A$) alle 14:00:00 e ne esce (punto $B$) alle 14:01:30. La distanza tra i due punti di controllo è di 3,5 km.

Se il limite di velocità nella galleria è $120 \text{ km/h}$, utilizza il teorema di Lagrange per giustificare se il conducente dovrebbe ricevere una multa per eccesso di velocità, indipendentemente dal fatto che la sua velocità all'ingresso e all'uscita fosse regolare.

Il sistema di registrazione GPS di un treno merci mostra che esso è passato per il punto chilometrico 150 di una linea alle 10:00:00 e per il punto chilometrico 162 alle 10:06:40. Il limite di velocità di quella linea è $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilizzando il teorema di Lagrange, giustifica se il treno ha superato in qualche momento il limite di velocità della linea.
2. b) Se la funzione che descrive la posizione del treno in quel tratto è $s(t) = 150 + 2t - 0,03t^2$ (dove $s$ è in km e $t$ in minuti dal passaggio per il primo punto chilometrico), determina l'istante esatto in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media del percorso.

Si vuole dimostrare con rigore che l'equazione $2x^3 + 3x - 4 = 0$ ha esattamente una soluzione reale nell'intervallo aperto $(0, 2)$. Per affrontare il problema, due studenti propongono strade diverse:

• Strategia A (Bolzano e monotonia): Dimostrare l'esistenza di almeno una radice in $(0, 2)$ mediante il teorema di Bolzano e, successivamente, dimostrare che la funzione associata è strettamente crescente in tutto $\mathbb{R}$ analizzando il segno di $f'(x)$ per dedurne l'unicità.

• Strategia B (Bolzano e teorema di Rolle): Dimostrare l'esistenza di almeno una radice con Bolzano e, successivamente, supporre per assurdo che esistano due radici distinte $x_1 < x_2$ in $(0, 2)$, applicando il teorema di Rolle in $[x_1, x_2]$ per giungere a una contraddizione con l'equazione $f'(x) = 0$.

Si chiede di:

1. a) Confrontare criticamente le due strategie: argomenta perché entrambe sono valide e spiega quale delle due risulta metodologicamente più diretta quando la derivata prima non ha radici reali.
2. b) Scegliere una delle due strategie e scrivere la dimostrazione completa e rigorosa dell'esistenza e unicità della radice, verificando esplicitamente tutte le ipotesi richieste dei teoremi utilizzati.

Date le funzioni $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$, verifica se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Cauchy nell'intervallo $[1, 3]$. In caso affermativo, determina il valore di $c \in (1, 3)$ tale che:

Applica il teorema di Cauchy alle funzioni $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ nell'intervallo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, cioè con $a = 0$ e $b = \frac{\pi}{2}$. Trova il valore di $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ che soddisfa l'uguaglianza:

Spiega l'interpretazione geometrica di questo risultato in termini della curva parametrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, con $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Nella figura compaiono tale curva, i suoi estremi $A = (g(a), f(a))$ e $B = (g(b), f(b))$, la retta secante $AB$ e gli incrementi $g(b)-g(a)$ e $f(b)-f(a)$.

Date le funzioni $f(x) = e^x$ e $g(x) = x^2 + 1$, applica il teorema di Cauchy (teorema del valor medio generalizzato) nell'intervallo $[0, 2]$.

Determina il valore di $c \in (0, 2)$, corrispondente al punto $P$ della figura, che soddisfa la tesi del teorema:

Utilizza i teoremi di Bolzano e di Rolle per dimostrare che l'equazione:

ha esattamente una soluzione reale nell'intervallo $[0, 1]$.

Dimostra, utilizzando congiuntamente il teorema di Bolzano (degli zeri) e il teorema di Rolle, che l'equazione:

ha un'unica soluzione reale per qualsiasi valore della costante $k \in \mathbb{R}$. Spiega in modo motivato perché l'esistenza di più di una radice contraddirebbe l'enunciato del teorema di Rolle.

Utilizza il teorema di Lagrange per dimostrare la seguente disuguaglianza per ogni coppia di numeri reali $a$ e $b$ tali che $0 < a < b$:

Suggerimento: applica il teorema alla funzione $f(x) = \ln(x)$ nell'intervallo $[a, b]$.