Integrale indefinito

Determina se la funzione $F(x) = x \cdot e^x$ è una primitiva della funzione $f(x) = (x+1)e^x$. Per giustificare la risposta, ricorda di utilizzare la relazione fondamentale tra una funzione e la sua primitiva mediante la derivazione.

Trova la primitiva della funzione $f(x) = 2x - 6$ il cui grafico passa per il punto $P(3, 4)$.

Nota: Calcola prima l'integrale indefinito per ottenere la famiglia di funzioni con la costante $C$, e poi utilizza il punto $P$ per trovare il valore specifico di tale costante.

Considera la funzione continua $f(x) = 6 - 2x$ e la primitiva specifica $F(x)$ che soddisfa la condizione iniziale $F(0) = 2$.

1. a) Stima: Senza calcolare l'espressione analitica di $F(x)$, analizza con ragionamento il segno di $f(x)$ nell'intervallo $[0, 3]$ e nell'intervallo $[3, 4]$. A partire dalla crescenza e decrescenza di $F(x)$, e tenendo conto che $f(x)$ è simmetrica rispetto alla sua radice $x = 3$, stima se il valore di $F(4)$ sarà maggiore, minore o uguale a $F(0)$.
2. b) Calcola: Ottieni la famiglia generale di primitive di $f(x)$ mediante scomposizione elementare e individua la primitiva particolare $F(x)$ che passa per $(0, 2)$.
3. c) Verifica: Calcola il valore esatto di $F(4)$ sostituendo nella funzione trovata e conferma se la tua stima qualitativa era corretta.

Uno skater professionista sta analizzando la traiettoria del suo ultimo salto su una rampa. La funzione che descrive la variazione della sua altezza rispetto al tempo (velocità verticale) è data dall'espressione $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, il cui grafico compare in figura. Trova la famiglia di funzioni $H(t)$ che rappresentano l'altezza dello skater, calcolando l'integrale indefinito:

Nello studio della diffusione di una notizia su un social network, si è determinato che il ritmo di crescita delle "condivisioni" segue una legge di potenza. Per trovare il totale accumulato, un programmatore deve risolvere il seguente integrale di una funzione irrazionale. Calcolalo trasformando prima la radice in esponente frazionario:

Trova tutte le primitive della funzione $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Marco deve calcolare in un compito l'integrale indefinito $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. Sul suo foglio scrive quanto segue:

1. a) Spiega in dettaglio qual è l'errore concettuale che Marco commette applicando la proprietà di linearità dell'integrale.
2. b) Dimostra che il risultato di Marco è errato derivando la funzione ottenuta e verificando che non coincide con l'integrando $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Risolvi l'integrale correttamente eseguendo prima la moltiplicazione algebrica e applicando poi le regole degli integrali immediati.

In un parco eolico situato in Sardegna, i tecnici di esercizio modellizzano la potenza netta generata, cioè la velocità di variazione istantanea dell'energia accumulata, $P'(t)$ (in $\text{MW}$), durante un intervallo di monitoraggio di 9 ore ($t \in [1, 9]$) mediante la funzione:

dove $t$ è il tempo trascorso in ore.

1. a) Scomponi algebricamente il quoziente in una somma di potenze elementari della forma $k\cdot t^n$ e indica quale regola di integrazione immediata si applica a ciascun termine.
2. b) Trova la famiglia completa di primitive $P(t)$ che descrivono l'energia accumulata in funzione del tempo.
3. c) Se alla prima ora di misurazione ($t = 1$) i contatori registravano un'energia accumulata di $15\text{ MWh}$, trova la costante di integrazione $C$ e determina l'energia accumulata quando sono trascorse $4$ ore ($t = 4$).

Determina l'integrale indefinito della seguente funzione composta, individuando la derivata della funzione interna:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione utilizzando la scomposizione per linearità e l'aggiustamento della derivata dell'esponente:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Calcola l'integrale indefinito della funzione:

Questo esercizio valuta la capacità di riconoscere la struttura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ quando sono presenti più funzioni composte.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcola la sua primitiva generale. Verifica il risultato derivando la funzione ottenuta.

Trova l'integrale indefinito della seguente funzione razionale completando il quadrato al denominatore per individuare una struttura di arcotangente:

Due studenti di quinto liceo, Alba e Ugo, discutono su quale sia il metodo più adatto per risolvere l'integrale indefinito $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$:

• Alba sostiene che si debba sempre eseguire la divisione euclidea tra polinomi per esprimere la frazione impropria nella forma $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Ugo afferma che è più rapido usare l'artificio algebraico di sommare e sottrarre $1$ al numeratore: $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, per separare direttamente la frazione in due integrali immediati.

• Un terzo compagno, Daniele, propone di portare il denominatore al numeratore come $(x^2 + 1)^{-1}$ e applicare direttamente la regola della potenza: $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Giustifica rigorosamente perché la proposta di Daniele è un grave errore matematico, indicando quale elemento differenziale manca all'integrando per poter applicare una regola di tipo potenza o logaritmo.
2. b) Sviluppa in modo completo i procedimenti di Alba e di Ugo, dimostrando che entrambi conducono alla stessa scomposizione. Spiega quale dei due metodi è più efficiente e presenta minor rischio di errore in questo caso specifico.
3. c) Calcola la primitiva particolare $F(x)$ che soddisfa la condizione $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$.

Calcola la famiglia di primitive della seguente funzione trigonometrica utilizzando le identità fondamentali per trasformare l'integrando in una somma di integrali immediati:

Determina i valori dei parametri $A, B$ e $C$ affinché la funzione $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sia una primitiva di $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Imposta il sistema di equazioni derivando $F(x)$ e uguagliando i coefficienti.