Asintoti di una funzione

Calcola i seguenti limiti diretti per sostituzione, che rappresentano la velocità di una particella in metri al secondo in diversi istanti $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Osserva il seguente grafico che rappresenta il consumo di memoria RAM (in GB) di un server di processi in funzione del tempo $t$ (in secondi). Determina, in modo intuitivo, il valore dei limiti laterali nell'istante $t = 4$ e stabilisci, motivando, se esiste il limite globale in quel punto.

Un drone per ispezioni tecniche segue una traiettoria di avvicinamento a un'antenna la cui altezza è data dalla funzione $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dal centro di controllo. Calcola il limite dell'altezza quando il drone si trova molto vicino a $x = 3$ metri.

(Nota: anche se la funzione non è definita in $x=3$, studia il limite semplificando l'espressione).

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, che descrive l'intensità di un campo magnetico in relazione alla distanza $x$ da un filo conduttore:

1. a) Determina il dominio della funzione.
2. b) Calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica l'equazione del suo asintoto verticale.

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Determina se esiste qualche valore di $k$ affinché la funzione abbia una discontinuità eliminabile in $x = 2$.
2. b) Se $k = 9$, studia l'esistenza di asintoti verticali e descrivi il comportamento della funzione nelle loro vicinanze mediante i limiti laterali.

Studia il dominio e tutti gli asintoti della seguente funzione logaritmica:

Determina i limiti laterali in ciascuno dei punti in cui la funzione non è definita e traccia graficamente il comportamento della funzione in prossimità dei suoi asintoti verticali.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In uno studio biologico, il numero di individui di una popolazione di batteri (in migliaia) segue il modello $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ per conoscere la popolazione a lungo termine.
2. b) Che tipo di asintoto rappresenta questo risultato? Scrivi la sua equazione.

Considera la funzione razionale $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 + 1}$.

1. a) Stima: Prima di applicare qualsiasi regola formale sui limiti, osserva i termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore. Prevedi in modo motivato verso quale valore numerico tenderà la funzione quando $x$ assume valori positivi molto grandi (ad esempio $x = 1000$). Deduci anche in modo intuitivo se la curva si avvicinerà a tale valore da sopra o da sotto, analizzando l'effetto del termine $-5x$.
2. b) Verifica: Calcola formalmente l'equazione dell'asintoto orizzontale mediante i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$. Successivamente, studia analiticamente la posizione relativa del grafico rispetto all'asintoto calcolando il segno della differenza $f(x) - y_{\text{asintoto}}$. Valuta se i risultati confermano o correggono la tua stima iniziale.

Un gruppo di ingegneri sta monitorando la temperatura $T$ (in gradi Celsius) di una nuova scheda grafica in funzione del tempo $t$ (in minuti) dall'accensione. La funzione è data da:

Calcola la temperatura iniziale del processore e determina, mediante il calcolo di limiti, se la temperatura si stabilizza a lungo termine. Che tipo di asintoto rappresenta questo valore di stabilizzazione?

Trova l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Per completare lo studio, indica la posizione relativa della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Per trovare l'asintoto obliquo della funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$ e studiare la posizione della curva rispetto a esso, due compagne di classe propongono strategie diverse:

• Strategia A (Divisione algebrica): Eseguire la divisione euclidea del numeratore per il denominatore per esprimere la funzione come $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

• Strategia B (Limiti analitici): Calcolare i coefficienti mediante le formule $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

1. a) Applica la Strategia A: ottieni il quoziente e il resto semplificato, e indica direttamente l'equazione della retta asintoto e la posizione relativa della curva in $+\infty$ e in $-\infty$.
2. b) Applica la Strategia B: calcola dettagliatamente i due limiti fino ad arrivare alla stessa equazione.
3. c) Confronta i due percorsi: giustifica quale delle due strategie è più efficiente in questo caso particolare per determinare la posizione relativa della curva e spiega in quale tipo di funzioni la Strategia A risulta totalmente inutilizzabile, rendendo indispensabile ricorrere alla Strategia B.

Considera la funzione $f(x)$, definita mediante un valore assoluto, che modellizza la traiettoria di un drone di sorveglianza:

Studia l'esistenza di asintoti obliqui per questa funzione. Se esistono, calcola le loro equazioni e analizza la posizione della curva rispetto a tali asintoti sia per $+\infty$ sia per $-\infty$.

Si considera la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcola $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Verifica se esiste un asintoto orizzontale quando $x$ tende a $+\infty$.
3. c) Indaga che cosa accade al limite della funzione quando $x \to -\infty$. Esiste qualche asintoto in quel ramo?

Calcola i seguenti limiti risolvendo le relative forme indeterminate:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Calcola il valore del seguente limite che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$ utilizzando la relazione con il numero $e$:

Si sta progettando un nuovo algoritmo di compressione dei dati per una piattaforma di streaming. Il tempo di risposta del sistema, in millisecondi, è modellizzato dalla funzione $T(x)$, dove $x$ rappresenta il carico di lavoro in terabyte:

Sapendo che, affinché il sistema sia stabile in condizioni di carico estremo, il limite del tempo di risposta quando il carico tende a infinito deve essere esattamente $e^4$, determina motivando il valore del parametro $a$.

Nello studio della diffusione di un virus informatico in un social network, si è determinato che il numero di nodi infettati $N(t)$ dopo un tempo $t$ (in ore) segue la funzione:

Analizza il comportamento dell'infezione a lungo termine calcolando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. La funzione presenta qualche asintoto orizzontale? Giustifica la risposta applicando le corrispondenti gerarchie degli infiniti.

Calcola il valore del seguente limite utilizzando la regola di de L'Hôpital dopo aver eseguito le trasformazioni necessarie per risolvere la forma indeterminata:

A partire dal risultato ottenuto, indica se la funzione $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ possiede un asintoto verticale nell'origine.

Un satellite per telecomunicazioni segue un'orbita la cui perturbazione gravitazionale è descritta dalla funzione $g(x)$. Si richiede che il satellite non si allontani indefinitamente da una traiettoria lineare prevista. La funzione è:

Trova i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione abbia un asintoto orizzontale in $y = 2$ quando $x \to +\infty$.

Considera la famiglia di funzioni definita per ogni numero reale dall'espressione:

dove $a$ e $b$ sono parametri reali.

1. a) Determina in modo motivato i valori di $a$ e $b$ affinché il grafico di $f(x)$ presenti un asintoto orizzontale in $+\infty$ la cui equazione sia $y = 4$.
2. b) Con i valori di $a$ e $b$ fissati nel punto precedente, dimostra che la funzione non ha asintoto orizzontale in $-\infty$, ma un asintoto obliquo. Calcola rigorosamente la sua equazione $y = mx + n$, prestando particolare attenzione al trattamento algebrico del radicale quando $x \to -\infty$ nel raccoglimento a fattor comune.
3. c) Giustifica perché questa funzione non può avere alcun asintoto verticale nell'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.

Data la funzione dipendente dai parametri $k$ e $m$:

Calcola i valori di $k$ e $m$ affinché $f(x)$ abbia un asintoto obliquo che passi per il punto $(0, 2)$ e il cui coefficiente angolare sia $3$. Una volta trovati, verifica se la funzione possiede qualche asintoto verticale e giustifica se sia eliminabile o meno.

Trova tutti gli asintoti (verticali e orizzontali) della funzione $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. A tale scopo:

1. Individua il valore di $x$ che annulla il denominatore.

2. Calcola il limite della funzione per $x \to \infty$.

In una verifica di Matematica si chiede di analizzare gli asintoti della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Luca consegna il seguente svolgimento:

«Poiché il denominatore si annulla in $x = 2$ e in $x = -2$, la funzione ha necessariamente due asintoti verticali: le rette $x = 2$ e $x = -2$. Inoltre, poiché $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, la retta $y = 1$ è asintoto orizzontale e, quindi, il grafico della funzione non potrà mai intersecare tale retta $y = 1$».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Luca nel suo ragionamento.
2. b) Correggi l'esercizio: calcola i limiti laterali pertinenti in $x = -2$ per caratterizzare il vero asintoto verticale, spiega che cosa accade esattamente in $x = 2$ e verifica algebricamente se la curva interseca o no la retta $y = 1$.

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ (ogni tacca degli assi corrisponde a un'unità). Supponi che i due rami continuino fuori dal riquadro con l'andamento mostrato. A partire dall'informazione visiva, determina il valore dei seguenti limiti e le equazioni di tutti i suoi asintoti:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ e $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$