Forme indeterminate

Osserva il seguente grafico della funzione $f(x)$ e determina, in modo intuitivo, il valore dei limiti indicati. Se qualche limite non esiste o è infinito, specificalo chiaramente.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2}{x-4}$, studia il suo comportamento in prossimità dell'asintoto verticale calcolando i limiti laterali:

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indica motivando la risposta se esiste il limite in $x = 4$.

Calcola i seguenti limiti di funzioni polinomiali quando la variabile $x$ tende a infinito. Ricorda di individuare il termine dominante in ogni caso:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Risolvi la forma indeterminata di tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ nei seguenti limiti di funzioni razionali, confrontando i gradi del numeratore e del denominatore:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Un gruppo di scienziati sta monitorando la crescita di una popolazione di batteri in un laboratorio. La popolazione (in milioni) segue il modello dato dalla funzione:

dove $t$ è il tempo in ore dall'inizio dell'esperimento. Il grafico mostra l'evoluzione della popolazione durante le prime 20 ore.

Quale sarà la popolazione di batteri se l'esperimento si prolungasse indefinitamente? Calcola a tale scopo $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Nello studio degli algoritmi informatici è fondamentale sapere quale funzione cresce più velocemente. Basandoti sulla gerarchia degli infiniti, assegna il valore dei seguenti limiti ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Data la funzione $f(x) = \frac{4 \cdot 3^x - 5x^6}{2 \cdot 3^x + 7x^2 + 1}$:

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo algebrico formale, stima il valore di $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ basandoti esclusivamente sulla gerarchia degli infiniti. Giustifica quali termini sono dominanti al numeratore e al denominatore quando $x$ assume valori sufficientemente grandi e qual è il peso relativo delle potenze rispetto alle funzioni esponenziali.
2. b) Verifica formalmente la tua stima calcolando il limite mediante raccoglimento a fattor comune del termine dominante al numeratore e al denominatore, per risolvere la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) Stabilisci se il risultato ottenuto al punto precedente rimarrebbe lo stesso se il limite fosse calcolato per $-\infty$, cioè calcolando $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Giustifica la tua conclusione analizzando il comportamento di $3^x$ quando $x \to -\infty$.

Determina il valore del limite all'infinito analizzando il grado dei termini dominanti al numeratore e al denominatore. Fai particolare attenzione alle potenze all'interno delle radici:

Utilizza il confronto degli ordini di infinito per risolvere i seguenti limiti senza eseguire lunghe operazioni. Giustifica la risposta indicando quale funzione "domina" l'altra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calcola il valore del seguente limite analizzando la gerarchia degli infiniti coinvolti. Devi giustificare con un ragionamento quale termine domina al numeratore e al denominatore prima di dare il risultato finale:

Calcola il limite della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ per $x$ che tende a $3$.

Suggerimento: Osserva che sostituendo direttamente otteniamo una forma indeterminata del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prova a scomporre in fattori il numeratore per semplificare l'espressione.

Calcola il seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ mediante la tecnica del coniugato:

Dato il seguente grafico della funzione $f(x)$, analizza visivamente e calcola in modo analitico i limiti laterali nei punti di discontinuità per determinare se esiste il limite globale in $x = 2$:

Calcola il valore di $a$ affinché il limite in $x = 2$ sia unico e la funzione non presenti un salto.

Risolvi il seguente limite utilizzando la tecnica del doppio coniugato per risolvere la forma indeterminata $\frac{0}{0}$:

Un gruppo di ingegneri aerospaziali studia la pressione $P$ (in pascal) all'interno di un condotto di ventilazione. La pressione dipende dalla velocità del flusso d'aria $v$ secondo la formula:

Studia il comportamento della pressione quando la velocità $v$ si avvicina a $3$ m/s. Se il limite è indeterminato, risolvilo e indica se la pressione tende a un valore stabile.

Risolvi la seguente forma indeterminata di tipo $\infty - \infty$. A tal fine, esegui prima l'operazione algebrica e semplifica l'espressione risultante:

Un gruppo di sociologia utilizza le proiezioni dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) per modellizzare l'evoluzione demografica di un territorio rurale in Piemonte. La popolazione $P(t)$, espressa in migliaia di abitanti, è stimata in funzione del tempo $t$ (in anni trascorsi dal 2024) mediante la funzione:

1. a) Analizza la tendenza demografica a lungo termine ($t \to +\infty$) individuando quale tipo di forma indeterminata compare in ciascuno dei due termini di $P(t)$.
2. b) Risolvi con ragionamento entrambe le forme indeterminate utilizzando le tecniche corrispondenti (confronto dei gradi nella funzione razionale e tecnica del coniugato nell'espressione con radici).
3. c) Interpreta il valore numerico ottenuto per $\lim_{t \to +\infty} P(t)$: il territorio tende allo spopolamento totale, a una crescita indefinita o alla stabilità demografica? Indica a quale numero concreto di abitanti tenderà il territorio secondo questo modello.

Calcola il valore della seguente espressione, che presenta una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$ con radici di indice diverso:

Calcola il valore del seguente limite, che dà luogo alla forma indeterminata del tipo $[1^\infty]$, utilizzando la formula del limite notevole relativo al numero $e$:

Matteo sta risolvendo il limite $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{3x}$ in un compito in classe e scrive nel suo svolgimento quanto segue:

«Poiché $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+5}{x+2} = 1$ e il numero $1$ elevato a qualsiasi potenza dà sempre $1$, il limite non presenta alcuna difficoltà e vale direttamente $1^\infty = 1$».

1. a) Spiega con parole tue perché il ragionamento di Matteo è concettualmente errato. Nella risposta devi chiarire che cosa significa esattamente che un'espressione sia una «forma indeterminata» e quali due tendenze opposte entrano in conflitto in questo caso concreto.
2. b) Correggi l'esercizio mostrando il procedimento algebrico formale e calcola il valore reale ed esatto del limite.

Nello sviluppo di un nuovo social network, il numero di utenti attivi (in milioni) segue la funzione $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio (con $t>\frac{1}{2}$). Calcola a quale valore tende il numero di utenti quando il tempo cresce indefinitamente ($t \to +\infty$).

Calcola il valore del seguente limite esponenziale che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Esprimi il risultato in funzione del numero $e$:

Per risolvere il limite $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 4x}{x^2 + x + 1} \right)^{2x}$, due studenti di quinta liceo propongono strade diverse dopo aver constatato che si tratta di una forma indeterminata del tipo $1^\infty$:

• Metodo A (Costruzione canonica del numero $e$): Esprimere la base nella forma $1 + \frac{1}{g(x)}$, forzare nell'esponente la presenza di $g(x)$ moltiplicando e dividendo per applicare la definizione fondamentale $\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u = e$, e calcolare il limite dell'esponente risultante.

• Metodo B (Formula diretta della potenza): Utilizzare l'identità generale $\lim_{x \to a} [u(x)]^{v(x)} = e^{\lim_{x \to a} v(x) \cdot (u(x) - 1)}$.

1. a) Risolvi il limite sviluppando in dettaglio tutti i passaggi del Metodo A.
2. b) Risolvi lo stesso limite applicando il Metodo B e verifica che i due risultati coincidano.
3. c) Confronta i due percorsi analizzando il carico di calcolo algebrico e il rischio di commettere errori di segno nel manipolare frazioni algebriche. Giustifica quale dei due metodi risulta più efficiente e sicuro in una prova a tempo limitato come l'esame di maturità.

Nella progettazione di una nuova antenna per telecomunicazioni, l'intensità del segnale $I$ in funzione della distanza $d$ dal ripetitore è data dall'espressione:

Calcola l'intensità limite del segnale quando la distanza $d$ tende a infinito (forma indeterminata del tipo $1^\infty$).

Trova il valore dei parametri reali $a$ e $b$ affinché il seguente limite sia finito e valga $4$:

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché sia soddisfatta la seguente uguaglianza:

Cioè, il limite deve essere un numero reale finito e valere $-\dfrac{1}{2}$. Una volta trovati $a$ e $b$, verifica che il limite valga realmente $-\dfrac{1}{2}$.

Sia la funzione definita a tratti:

Trova i valori di $a$ e $k$ affinché esistano i limiti laterali in $x=1$ e siano uguali a $2$. Che tipo di discontinuità presenta la funzione in $x=1$ se non definiamo $f(1)$?

Data la funzione $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analizza l'esistenza dei limiti laterali quando $x \to 1$. Individua le forme indeterminate che compaiono su ciascun lato e classifica il tipo di discontinuità in tale punto.

Si consideri la funzione dipendente da due parametri reali $a$ e $b$ definita da $f(x) = \sqrt{9x^2 - 12x + 7} - (ax + b)$.

1. a) Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché sia verificata l'uguaglianza:

1. b) Dimostra analiticamente che, se $a \ne 3$, è impossibile che il limite di $f(x)$ per $x \to +\infty$ sia un valore finito. Distingui con ragionamento i casi $a < 3$ (distinguendo se $a \le 0$ o se $0 < a < 3$) e $a > 3$, spiegando il risultato che si ottiene in ciascuna situazione.
2. c) Fissando il valore di $a$ trovato nel punto a), calcola quale valore deve assumere il parametro $b$ affinché il limite sia esattamente $-4$, cioè $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -4$.

Considera il seguente limite con radici di indice diverso:

1. a) [Stima]: Esegui un'approssimazione asintotica intuitiva prima di operare. Sapendo che per valori molto grandi di $x$ si ha $\sqrt[3]{8x^3+12x^2} = 2x\left(1+\frac{3}{2x}\right)^{1/3}$ e $\sqrt{4x^2-8x} = 2x\left(1-\frac{2}{x}\right)^{1/2}$, e utilizzando l'approssimazione lineare $(1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u$ quando $u \to 0$, congettura con ragionamento il valore finale del limite.
2. b) [Verifica]: Risolvi il limite in modo formale mediante la tecnica del termine intermedio: introduci $C(x) = 2x$ sommando e sottraendo tale espressione per scomporre il limite nella somma di due forme indeterminate di tipo $\infty - \infty$ indipendenti:

Risolvi ciascun blocco applicando il coniugato corrispondente al suo indice (l'identità $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ per la radice cubica e il coniugato quadratico standard per la radice quadrata).

1. c) Confronta il risultato analitico con la congettura ottenuta nel punto a) e spiega perché la scelta di qualsiasi altro termine intermedio lineare diverso da $2x$ (ad esempio, prendere $C(x) = x$ o $C(x) = 3x$) non permetterebbe di risolvere la forma indeterminata complessiva.