Equazione di Newton e moti · Matematica 5° scientifico

La legge di Newton come equazione differenziale

Un corpo di massa $m$ si muove lungo una retta e la sua posizione al tempo $t$ è $x(t)$. La velocità è $x'(t)$ e l'accelerazione è $x''(t)$. La seconda legge della dinamica dice che

$$m\,x''(t) = F$$

dove $F$ è la forza risultante. Se $F$ è nota, questa è un'equazione in cui l'incognita è una funzione, $x(t)$, e compare la sua derivata seconda: è un'equazione differenziale del secondo ordine.

La forza $F$ può essere costante, oppure dipendere dalla velocità (attrito, resistenza dell'aria) o dalla posizione (molla). Questi tre casi sono le tre sezioni che seguono.

Esercitati★☆☆

Un corpo di massa $m = 2$ kg è sottoposto a una forza costante $F = 10$ N lungo una retta. Scrivi l'equazione differenziale $m x'' = F$ del moto e determina…

Un corpo di massa $m = 2$ kg è sottoposto a una forza costante $F = 10$ N lungo una retta. Scrivi l'equazione differenziale $m x'' = F$ del moto e determina l'accelerazione.

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Forza costante: integrare due volte

Se $F$ è costante, anche l'accelerazione $a = F/m$ è costante. Per ricavare $x(t)$ basta integrare due volte.

Nel moto di caduta libera l'accelerazione è quella di gravità. Se orientiamo l'asse $y$ verso l'alto, vale $y'' = -g$ con $g \approx 9{,}8$ m/s².

Nel simulatore cambia l'accelerazione e osserva come il grafico di $x(t)$ diventa una parabola.

Lancio verso l'alto da un balcone

Una palla è lanciata verso l'alto da un balcone a $20$ m di altezza, con velocità $v_0 = 15$ m/s. Con $y'' = -9{,}8$ determina $y(t)$, l'altezza massima e il tempo di arrivo a terra.

Integriamo una prima volta: $y'(t) = -9{,}8\,t + c_1$. Per $t=0$ la velocità è $15$, quindi $c_1 = 15$.

Integriamo una seconda volta: $y(t) = -4{,}9\,t^2 + 15\,t + c_2$. Per $t=0$ l'altezza è $20$, quindi $c_2 = 20$. La legge oraria è

$$y(t) = -4{,}9\,t^2 + 15\,t + 20.$$

L'altezza massima si ha quando la velocità si annulla: $y'(t) = 0 \Rightarrow t = \frac{15}{9{,}8} \approx 1{,}53$ s. Allora

$$y(1{,}53) = 20 + \frac{15^2}{2 \cdot 9{,}8} \approx 31{,}48 \text{ m}.$$

La palla tocca il suolo quando $y(t)=0$, cioè $4{,}9\,t^2 - 15\,t - 20 = 0$. Con $\Delta = 225 + 392 = 617$ la soluzione positiva è

$$t = \frac{15 + \sqrt{617}}{9{,}8} \approx 4{,}07 \text{ s}.$$

Calcola la velocità con cui la palla arriva a terra. Che segno ha, e perché?

???

$y'(4{,}07) = -9{,}8 \cdot 4{,}07 + 15 \approx -24{,}9$ m/s. Il segno negativo dice che la palla si sta muovendo verso il basso.

Esercitati★☆☆

Un corpo si muove con accelerazione costante $a = 3$ m/s², posizione iniziale $x(0) = 0$ e velocità iniziale $v(0) = 2$ m/s. Risolvi l'equazione $x'' = 3$ e scrivi…

Un corpo si muove con accelerazione costante $a = 3$ m/s², posizione iniziale $x(0) = 0$ e velocità iniziale $v(0) = 2$ m/s. Risolvi l'equazione $x'' = 3$ e scrivi $x(t)$.

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Esercitati★☆☆

Un sasso cade da fermo da un ponte, con $g = 9,8$ m/s² e resistenza dell'aria trascurabile. Scrivi la legge oraria $y(t)$ dello spazio percorso verso il basso e calcola…

Un sasso cade da fermo da un ponte, con $g = 9,8$ m/s² e resistenza dell'aria trascurabile. Scrivi la legge oraria $y(t)$ dello spazio percorso verso il basso e calcola la velocità dopo 3 s.

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Esercitati★★☆

Una palla è lanciata verso l'alto dalla Torre degli Asinelli di Bologna, a un'altezza di 97 m, con velocità iniziale $v_0 = 12$ m/s. Usando $y'' = -9,8$ m/s²: a)…

Una palla è lanciata verso l'alto dalla Torre degli Asinelli di Bologna, a un'altezza di 97 m, con velocità iniziale $v_0 = 12$ m/s. Usando $y'' = -9,8$ m/s²:

a) Determina $y(t)$.

b) Calcola la massima altezza raggiunta.

c) Calcola dopo quanti secondi tocca il suolo (arrotonda ai centesimi).

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Resistenza proporzionale alla velocità

Se la forza dipende dalla velocità, ad esempio un attrito $F = -b\,v$, l'equazione $m\,x''=F$ diventa un'equazione nella sola incognita $v(t)$:

$$m\,v' = -b\,v \quad\Longrightarrow\quad v' = -k\,v, \quad k = \frac{b}{m} > 0.$$

È un'equazione del primo ordine: compare solo $v'$. Si risolve per separazione delle variabili: per $v \neq 0$ si scrive $\frac{v'}{v} = -k$ e si integra rispetto a $t$:

$$\ln|v| = -k\,t + c \quad\Longrightarrow\quad v(t) = v_0\,e^{-k\,t}.$$

La ragione è che $e^{-kt}$ vale $\frac12$ quando $kt = \ln 2$.

Quando c'è anche una forza costante

Un paracadutista (o una goccia, o una sfera in un fluido) subisce il peso, costante, e una resistenza proporzionale alla velocità:

$$m\,v' = m g - b\,v \quad\Longrightarrow\quad v' = -k\,(v - v_L), \qquad k = \frac{b}{m},\ \ v_L = \frac{m g}{b}.$$

Poniamo $w(t) = v(t) - v_L$. Poiché $v_L$ è costante, $w' = v'$, e quindi $w' = -k\,w$: è l'equazione di prima, con soluzione $w = w_0\,e^{-kt}$. Tornando a $v$:

Per la caduta con resistenza $A = v_L$ è la velocità limite: partendo da $v(0)=0$ si ha $v(t) = v_L\,(1 - e^{-kt})$.

Il raffreddamento di Newton

Lo stesso modello descrive la temperatura $T$ di un corpo in un ambiente a temperatura $T_a$: $T' = -k\,(T - T_a)$. Qui $A = T_a$.

Esercitati★★☆

Un'auto di massa 1.000 kg viaggia a 20 m/s e frena con una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F = -50v$ (in N). Scrivi l'equazione $m v' = -50 v$, risolvila…

Un'auto di massa 1.000 kg viaggia a 20 m/s e frena con una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F = -50v$ (in N). Scrivi l'equazione $m v' = -50 v$, risolvila con $v(0) = 20$ e calcola dopo quanti secondi la velocità scende a 5 m/s.

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Esercitati★★★

Un paracadutista di massa $m = 80$ kg cade con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità: $m v' = mg - bv$, con $b = 16$ kg/s, $g = 9,8$ m/s² e $v(0) = 0$. a)…

Un paracadutista di massa $m = 80$ kg cade con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità: $m v' = mg - bv$, con $b = 16$ kg/s, $g = 9,8$ m/s² e $v(0) = 0$.

a) Risolvi il problema di Cauchy per $v(t)$.

b) Calcola la velocità limite e giustifica che $v$ è crescente e limitata.

c) Determina dopo quanto tempo la velocità raggiunge il 90% di quella limite.

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Esercitati★★★

Secondo la legge di Newton del raffreddamento, la temperatura $T(t)$ di un caffè soddisfa $T' = -k(T - T_a)$, con $T_a = 20\,°C$ temperatura dell'ambiente. Il caffè è…

Secondo la legge di Newton del raffreddamento, la temperatura $T(t)$ di un caffè soddisfa $T' = -k(T - T_a)$, con $T_a = 20\,°C$ temperatura dell'ambiente. Il caffè è servito a 80 °C e dopo 5 minuti è a 50 °C.

a) Determina $T(t)$ e la costante $k$.

b) Dopo quanti minuti il caffè raggiunge 30 °C?

c) Dimostra che la differenza $T - T_a$ si dimezza in intervalli di tempo uguali e calcola tale intervallo.

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La molla: l'oscillatore armonico

Un corpo di massa $m$ attaccato a una molla di costante elastica $k$ subisce la forza di richiamo $F = -k\,x$ (legge di Hooke), opposta allo spostamento. Senza attrito, la legge di Newton diventa

$$m\,x'' = -k\,x \quad\Longrightarrow\quad x'' + \omega^2\,x = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac km}.$$

Dobbiamo trovare una funzione la cui derivata seconda sia uguale a se stessa cambiata di segno (moltiplicata per $\omega^2$). Funzioni del genere sono il seno e il coseno.

Il moto è periodico, di periodo $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. Si può scrivere come una sola oscillazione:

$$x(t) = R\cos(\omega t - \varphi), \qquad R = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}, \quad \tan\varphi = \frac{c_2}{c_1}.$$

$R$ è l'ampiezza e $\varphi$ la fase. Questo segue dalla formula $\cos(\omega t - \varphi) = \cos\omega t\cos\varphi + \sin\omega t\sin\varphi$: basta porre $c_1 = R\cos\varphi$ e $c_2 = R\sin\varphi$.

Una molla da laboratorio

Una massa $m = 0{,}2$ kg è attaccata a una molla con $k = 20$ N/m. All'istante iniziale $x(0) = 0{,}05$ m e $x'(0) = 0{,}3$ m/s. Determina $x(t)$, ampiezza e periodo.

Calcoliamo $\omega = \sqrt{20/0{,}2} = 10$ rad/s. L'equazione è $x'' + 100\,x = 0$ e la soluzione generale è $x = c_1\cos 10t + c_2 \sin 10t$.

Condizioni iniziali: $x(0) = c_1 = 0{,}05$ e $x'(0) = 10\,c_2 = 0{,}3$, quindi $c_2 = 0{,}03$:

$$x(t) = 0{,}05\cos 10t + 0{,}03\sin 10t.$$

Ampiezza: $R = \sqrt{0{,}05^2 + 0{,}03^2} = \sqrt{0{,}0034} \approx 0{,}058$ m. Periodo: $T = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}63$ s.

Trova la fase $\varphi$ dalla relazione $\tan\varphi = \frac{c_2}{c_1}$.

???

$\tan\varphi = \frac{0{,}03}{0{,}05} = 0{,}6$, con $c_1, c_2 > 0$, quindi $\varphi = \arctan 0{,}6 \approx 0{,}54$ rad.

Torniamo all'inizio: per la caduta dalla Torre di Pisa si ha $y'' = 9{,}8$ con $y(0)=0$ e $y'(0)=0$, quindi $y = 4{,}9\,t^2$. Per $y = 56$ m si ottiene $t = \sqrt{56/4{,}9} \approx 3{,}4$ s, con velocità $9{,}8 \cdot 3{,}4 \approx 33$ m/s, circa $120$ km/h.

Esercitati★★☆

Un corpo di massa $m = 0,5$ kg è attaccato a una molla di costante elastica $k = 18$ N/m e si muove senza attrito: $m x'' = -kx$. Verifica che $x(t) = A\cos(\omega t)$ è…

Un corpo di massa $m = 0,5$ kg è attaccato a una molla di costante elastica $k = 18$ N/m e si muove senza attrito: $m x'' = -kx$. Verifica che $x(t) = A\cos(\omega t)$ è soluzione per un opportuno $\omega$, calcola $\omega$ e il periodo del moto.

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Esercitati★★★

Si consideri l'equazione $x'' + 4x = 0$. a) Dimostra che $x(t) = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ è soluzione per ogni $c_1, c_2$. b) Determina la soluzione con $x(0) = 1$ e…

Si consideri l'equazione $x'' + 4x = 0$.

a) Dimostra che $x(t) = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ è soluzione per ogni $c_1, c_2$.

b) Determina la soluzione con $x(0) = 1$ e $x'(0) = 4$.

c) Scrivila nella forma $x(t) = R\cos(2t - \varphi)$ e indica ampiezza e periodo.

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Mettiti alla prova! 9 esercizi in questa sezione

★☆☆ Un corpo di massa $m = 2$ kg è sottoposto a una forza costante $F = 10$ N lungo una…★☆☆ Un corpo si muove con accelerazione costante $a = 3$ m/s², posizione iniziale $x(0) = 0$…★☆☆ Un sasso cade da fermo da un ponte, con $g = 9,8$ m/s² e resistenza dell'aria…

In sintesi

La seconda legge di Newton, $m\,x''=F$, è un'equazione differenziale del secondo ordine. Servono due condizioni iniziali, $x(0)$ e $x'(0)$, per ottenere un problema di Cauchy.
Con forza costante si integra due volte: $x(t)=\frac12 a t^2+v_0 t+x_0$, con $a = F/m$.
Con resistenza proporzionale alla velocità, $v' = -k\,v$ ha soluzione $v = v_0\,e^{-kt}$.
L'equazione $y' = -k(y-A)$ ha soluzione $y = A + (y_0 - A)\,e^{-kt}$: vale per la velocità limite e per il raffreddamento di Newton.
Per la molla, $x'' + \omega^2 x = 0$ con $\omega=\sqrt{k/m}$ ha soluzione $x = c_1\cos\omega t + c_2\sin\omega t = R\cos(\omega t-\varphi)$, di ampiezza $R=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ e periodo $T=\frac{2\pi}{\omega}$.