Rette e piani nello spazio
Un drone sale da una piazza di Bologna e si muove in linea retta. A ogni istante conosci la sua posizione: tre numeri, la longitudine, la latitudine e la quota. Quando toccherà il suolo? Quanto sarà lontano dal punto di partenza? Per rispondere servono le coordinate nello spazio e le equazioni di rette e piani. Sono la naturale estensione di quello che sai già sul piano cartesiano. Alla fine della pagina risolverai il problema del drone.
Punti e vettori nello spazio
Nello spazio si fissano tre assi perpendicolari tra loro, $x$, $y$ e $z$, che si incontrano nell'origine $O$. Ogni punto è individuato da una terna ordinata $P(x_P; y_P; z_P)$. Gli assi, presi a due a due, individuano i tre piani coordinati $xy$, $xz$ e $yz$.
Dati due punti $A(x_A; y_A; z_A)$ e $B(x_B; y_B; z_B)$, il vettore che va da $A$ a $B$ ha come componenti le differenze delle coordinate:
$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A;\ z_B - z_A).$$Perché la formula della distanza? Applichi due volte il teorema di Pitagora: prima nel piano $xy$ per la diagonale di base, poi nel triangolo rettangolo verticale. La formula è la stessa del piano, con un termine in più.
Per lavorare con i vettori ti servono due operazioni. Siano $\vec u = (u_1; u_2; u_3)$ e $\vec w = (w_1; w_2; w_3)$.
Sono dati i punti $A(1, 2, -1)$ e $B(4, -2, 11)$ nello spazio cartesiano. a) Calcola la distanza tra $A$ e $B$. b) Determina le coordinate del punto medio del segmento…
Sono dati i punti $A(1, 2, -1)$ e $B(4, -2, 11)$ nello spazio cartesiano.
- a) Calcola la distanza tra $A$ e $B$.
- b) Determina le coordinate del punto medio del segmento $AB$.
L'equazione del piano
Nel piano una retta è determinata da un punto e da una direzione. Nello spazio un piano è determinato da un punto $P_0$ e da un vettore $\vec n$ perpendicolare ad esso, detto vettore normale. Un punto $P$ appartiene al piano se e solo se $\overrightarrow{P_0P}$ è perpendicolare a $\vec n$, cioè se il loro prodotto scalare è nullo.
La condizione $\vec n \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0$ con $\vec n = (a; b; c)$ e $P_0(x_0; y_0; z_0)$ diventa
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.$$Sviluppando si ottiene l'equazione cartesiana.
Se invece sono dati tre punti non allineati $A$, $B$, $C$, il vettore normale si trova con il prodotto vettoriale: $\vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. Poi si procede come sopra, partendo da $A$.
Scrivi l'equazione cartesiana del piano passante per il punto $P(2, -1, 3)$ e perpendicolare al vettore $\vec{n} = (3, 1, -2)$.
Scrivi l'equazione cartesiana del piano passante per il punto $P(2, -1, 3)$ e perpendicolare al vettore $\vec{n} = (3, 1, -2)$.
La retta nello spazio
Una retta nello spazio è determinata da un punto $P_0(x_0; y_0; z_0)$ e da un vettore direzione $\vec v = (l; m; n)$. Un punto $P$ è sulla retta se $\overrightarrow{P_0P}$ è parallelo a $\vec v$, cioè $\overrightarrow{P_0P} = t\,\vec v$ per un certo numero reale $t$.
Eliminando il parametro $t$ si ottiene la forma cartesiana: la retta come intersezione di due piani,
$$r: \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$$Il vettore direzione è allora perpendicolare a entrambe le normali, quindi $\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2$.
Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per $A(1, 0, 2)$ e $B(3, -1, 5)$.
Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per $A(1, 0, 2)$ e $B(3, -1, 5)$.
Un drone parte dal punto $A(0, 0, 10)$ di una piazza di Bologna (coordinate in metri, $z$ è la quota) e si muove in linea retta con vettore velocità…
Un drone parte dal punto $A(0, 0, 10)$ di una piazza di Bologna (coordinate in metri, $z$ è la quota) e si muove in linea retta con vettore velocità $\vec{v} = (3, 4, -1)$ m/s.
- a) Scrivi la legge oraria del drone in forma parametrica.
- b) Il suolo ha equazione $z = 0$. Dopo quanti secondi il drone tocca il suolo e in quale punto?
- c) Quale distanza ha percorso fino a quel momento?
Distanze e posizioni di retta e piano
Distanza punto–piano. Misura la lunghezza del segmento perpendicolare al piano.
Perché funziona? Prendi un punto $P_0 \in \pi$: la distanza è la lunghezza della proiezione di $\overrightarrow{P_0P}$ sulla direzione di $\vec n$, cioè $\dfrac{|\vec n \cdot \overrightarrow{P_0P}|}{|\vec n|}$. Sviluppando il prodotto scalare e usando $ax_0+by_0+cz_0=-d$ si ottiene la formula.
Retta e piano. Sostituisci le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano: ottieni un'equazione di primo grado in $t$.
| Risultato in $t$ | Posizione |
|---|---|
| una soluzione | retta e piano incidenti in un punto |
| nessuna soluzione ($0 \cdot t = k \ne 0$) | retta parallela al piano |
| infinite soluzioni ($0 \cdot t = 0$) | retta contenuta nel piano |
Il caso incidente si riconosce anche dal fatto che $\vec v \cdot \vec n \ne 0$. Se $\vec v \cdot \vec n = 0$, la retta è parallela al piano o contenuta in esso.
Sono dati il piano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$ e il punto $P(3, 1, 4)$. a) Calcola la distanza di $P$ dal piano $\pi$. b) Scrivi le equazioni parametriche della retta…
Sono dati il piano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$ e il punto $P(3, 1, 4)$.
- a) Calcola la distanza di $P$ dal piano $\pi$.
- b) Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per $P$ e perpendicolare a $\pi$.
- c) Determina le coordinate della proiezione ortogonale di $P$ su $\pi$.
Sono date la retta $r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ e il piano $\pi: x + 2y - z + 1 = 0$. a) Stabilisci se $r$ e $\pi$ sono incidenti,…
Sono date la retta $r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ e il piano $\pi: x + 2y - z + 1 = 0$.
- a) Stabilisci se $r$ e $\pi$ sono incidenti, paralleli o se $r$ è contenuta in $\pi$.
- b) Se sono incidenti, determina le coordinate del punto di intersezione.
Rette sghembe, angoli e problemi di sintesi
Nel piano due rette sono incidenti o parallele. Nello spazio c'è una terza possibilità: le rette sghembe, che non sono parallele e non si incontrano mai.
Per distinguere i casi tra due rette $r$ (punto $P$, direzione $\vec v$) e $s$ (punto $Q$, direzione $\vec w$):
-
Se $\vec v \times \vec w = \vec 0$, le rette sono parallele (o coincidenti).
-
Altrimenti calcola $\vec n = \vec v \times \vec w$ e il prodotto scalare $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec n$. Se vale $0$ le rette sono incidenti (stanno nello stesso piano); se è diverso da $0$ sono sghembe.
Angoli.
| Tra | Formula |
|---|---|
| due rette (direzioni $\vec v$, $\vec w$) | $\cos\theta = \dfrac{\lvert\vec v\cdot\vec w\rvert}{\lvert\vec v\rvert\,\lvert\vec w\rvert}$ |
| due piani (normali $\vec n_1$, $\vec n_2$) | $\cos\theta = \dfrac{\lvert\vec n_1\cdot\vec n_2\rvert}{\lvert\vec n_1\rvert\,\lvert\vec n_2\rvert}$ |
| retta e piano | $\sin\varphi = \dfrac{\lvert\vec v\cdot\vec n\rvert}{\lvert\vec v\rvert\,\lvert\vec n\rvert}$ |
Nell'ultimo caso compare il seno: la retta forma con il piano lo stesso angolo che forma $\vec v$ con il piano, che è il complementare dell'angolo tra $\vec v$ e la normale.
Sono date le rette $$r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = 2u \\ y = 1 + u \\ z = 3 - u \end{cases}$$ a) Dimostra che…
Sono date le rette
$$r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = 2u \\ y = 1 + u \\ z = 3 - u \end{cases}$$- a) Dimostra che $r$ e $s$ sono sghembe.
- b) Determina l'equazione del piano passante per $r$ e parallelo a $s$.
- c) Calcola la distanza tra $r$ e $s$.
Determina il valore del parametro $k$ per cui i piani $\pi_1: x + ky - z = 1$ e $\pi_2: 2x - y + kz = 3$ sono perpendicolari. Per tale valore di $k$, scrivi le equazioni…
Determina il valore del parametro $k$ per cui i piani $\pi_1: x + ky - z = 1$ e $\pi_2: 2x - y + kz = 3$ sono perpendicolari. Per tale valore di $k$, scrivi le equazioni parametriche della retta intersezione dei due piani e calcola l'angolo che essa forma con il piano $\pi_3: z = 0$.
Sono dati i punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$. a) Scrivi l'equazione del piano $\pi$ passante per $A$, $B$, $C$. b) Calcola l'area del triangolo $ABC$ e il…
Sono dati i punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$.
- a) Scrivi l'equazione del piano $\pi$ passante per $A$, $B$, $C$.
- b) Calcola l'area del triangolo $ABC$ e il volume del tetraedro $OABC$, con $O$ origine.
- c) Usando i risultati precedenti, ricava la distanza di $O$ dal piano $\pi$ e verificala con la formula della distanza punto-piano.
In sintesi
Torna al drone di Bologna: la sua traiettoria è la retta $A + t\,\vec v$. Il suolo è il piano $z = 0$ e il punto di atterraggio è l'intersezione retta–piano.
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Coordinate $P(x; y; z)$. $\overrightarrow{AB} = B - A$, distanza $= |\overrightarrow{AB}|$, punto medio $=$ media delle coordinate.
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Prodotto scalare ($=0$: vettori perpendicolari) e prodotto vettoriale (vettore perpendicolare a entrambi, il suo modulo è l'area del parallelogramma).
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Piano: $ax + by + cz + d = 0$, normale $(a;b;c)$. Per tre punti: $\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$.
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Retta: parametrica $P_0 + t\vec v$, oppure intersezione di due piani con $\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2$.
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Distanza punto–piano: $\dfrac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Retta–piano: sostituisci e risolvi in $t$. Rette sghembe: $\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\cdot(\vec v\times\vec w)|}{|\vec v\times\vec w|}$.
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Angoli: coseno tra rette e tra piani, seno tra retta e piano.