Continuità in un intervallo, discontinuità e teoremi di Bolzano e Weierstrass
Marco parte da un rifugio sulle Dolomiti, a 1200 m di quota, e dopo 4 ore raggiunge un belvedere a 1800 m. La sua quota $A(t)$, con $t\in[0;4]$ ore, è una funzione continua: possiamo essere certi che sia passato per i 1500 m? Alla fine di questa pagina avrai la risposta.
Continuità in un intervallo
Una funzione è continua in un punto $x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. È continua in $]a; b[$ se lo è in ogni punto dell'intervallo. In $[a; b]$ chiediamo anche la continuità destra in $a$ e sinistra in $b$.
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto l'insieme dei numeri reali: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 &…
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto l'insieme dei numeri reali:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + k & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$Studia la continuità laterale della seguente funzione agli estremi dell'intervallo $[0, 4]$: $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ x^2 - x + 1 &…
Studia la continuità laterale della seguente funzione agli estremi dell'intervallo $[0, 4]$:
$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ x^2 - x + 1 & \text{si } 1 \le x \le 4 \end{cases}$$Indica se la funzione è continua in $x=1$ confrontando i suoi limiti laterali.
Sia data la funzione $f(x)$ definita a tratti come: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - a}{x - 2} & \text{se } x < 2 \\ 2x + b & \text{se } 2 \le x < 4 \\ \ln(x - 3) + k…
Sia data la funzione $f(x)$ definita a tratti come:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - a}{x - 2} & \text{se } x < 2 \\ 2x + b & \text{se } 2 \le x < 4 \\ \ln(x - 3) + k & \text{se } x \ge 4 \end{cases}$$La figura mostra i tre tratti di definizione (che cambiano in $x=2$ e in $x=4$) e l'intervallo $[1, 5]$.
- a) Calcola i valori di $a$, $b$ e $k$ affinché la funzione sia continua in tutto il suo dominio $\mathbb{R}$.
- b) Una volta trovati, stabilisci se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo $[1, 5]$.
Classificazione delle discontinuità
Se $f$ non è continua in $x_0$, la discontinuità è di:
-
prima specie (salto finito): esistono finiti i limiti destro e sinistro, ma sono diversi;
-
seconda specie (salto infinito): almeno un limite laterale è infinito o non esiste;
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terza specie (eliminabile): il limite esiste finito ma è diverso da $f(x_0)$ oppure $f(x_0)$ non esiste.
Per una funzione razionale, fattorizza e semplifica: $\frac{x-3}{x^2-9}=\frac1{x+3}$ per $x\ne3$, quindi $x=3$ è eliminabile e $x=-3$ è di seconda specie. Per costruire una funzione con un salto di ampiezza $s$ in $x_0$, usa due espressioni i cui limiti in $x_0$ differiscono di $s$: per esempio $g(x)=1$ per $x<1$ e $g(x)=5$ per $x\ge1$ ha un salto di ampiezza $4$. Per una discontinuità eliminabile con limite $3$ in $x_0$, usa un'espressione che tende a $3$ e poni $g(x_0)$ diverso da $3$ (o non definito).
Con un parametro $k$ in una razionale, fattorizza numeratore e denominatore: per $\frac{x^2-(k+1)x+k}{x(x-1)(x-2)}=\frac{(x-1)(x-k)}{x(x-1)(x-2)}$ i punti $0,1,2$ annullano il denominatore; $x=1$ è sempre eliminabile, mentre per $k=0$ o $k=2$ si semplifica anche un secondo fattore e quel punto diventa eliminabile.
Con il valore assoluto riscrivi la funzione a tratti: per $\frac{|t-3|}{t^2-9}$ si ha $\frac{1}{t+3}$ per $t>3$ e $-\frac1{t+3}$ per $t<3$; i limiti laterali in $3$ sono $\pm\frac16$, quindi la discontinuità è di prima specie.
Per limiti con esponenziali, come $2^{1/x}$ per $x\to0^\pm$, ricorda che $1/x\to\pm\infty$, quindi $2^{1/x}\to+\infty$ da destra e $\to0$ da sinistra. Per $\frac{e^{ax}-1}{x}\to a$ e $(1+\operatorname{sen}x)^{2/x}\to e^2$ usa i limiti notevoli.
Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito e individua i punti di discontinuità. Per ciascuno di essi, indica di che tipo si tratta (eliminabile,…
Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito e individua i punti di discontinuità. Per ciascuno di essi, indica di che tipo si tratta (eliminabile, a salto finito o a salto infinito).
Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, studia la sua continuità nei punti $x = 3$ e $x = -3$. Se esistono discontinuità, classificale motivando e…
Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, studia la sua continuità nei punti $x = 3$ e $x = -3$. Se esistono discontinuità, classificale motivando e calcolando i relativi limiti laterali.
Studia la continuità della seguente funzione e classifica, motivando, tutti i suoi punti di discontinuità: $$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 + x - 12}$$ Indica se qualcuna…
Studia la continuità della seguente funzione e classifica, motivando, tutti i suoi punti di discontinuità:
$$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 + x - 12}$$Indica se qualcuna delle discontinuità è eliminabile e, in tal caso, ridefinisci la funzione in quel punto in modo che risulti continua.
Teorema degli zeri e dei valori intermedi
Il grafico di una funzione continua in $[a;b]$ non può passare da sotto a sopra l'asse $x$ senza incontrarlo. Se devi risolvere un'equazione $g(x)=h(x)$, o mostrare che due grafici si intersecano, applica il teorema a $f=g-h$.
Come cenno: il teorema degli zeri suggerisce il metodo di bisezione, che dimezza più volte l'intervallo scegliendo la metà in cui $f$ cambia segno.
Vuoi sapere se Marco è passato per i 1500 m? Sì: $A$ è continua in $[0;4]$, $A(0)=1200$ e $A(4)=1800$, quindi per i valori intermedi esiste $t\in[0;4]$ con $A(t)=1500$. Per i 2000 m invece non possiamo concludere: 2000 non è compreso tra $1200$ e $1800$.
Se una funzione ha una discontinuità dentro l'intervallo (come $\frac{x+1}{x-2}$ in $[1;4]$, con asintoto in $x=2$), il teorema degli zeri non si applica, anche se $f(a)\cdot f(b)<0$. Un esempio: $f(x)=-1$ per $x<2$, $f(x)=1$ per $x\ge2$ in $[0;4]$ cambia segno senza zeri.
Un esempio con i valori intermedi: $h(t)=t^2e^{-t}+\ln(t+1)$ è continua in $[1;6]$, con $h(1)=e^{-1}+\ln2\approx1{,}06$ e $h(6)\approx0{,}09+1{,}95=2{,}04$; poiché $2$ è compreso tra i due valori, esiste $t$ con $h(t)=2$. Se una funzione $f$ è continua in $[a;b]$ con $f(a)=f(b)=1$, non puoi concludere che si annulli: $f(x)=1$ non ha radici e non contraddice il teorema, perché $f(a)\cdot f(b)>0$.
Verifica se la funzione $f(x) = x^3 - 3x + 1$ soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano nell'intervallo $[0, 1]$. Puoi assicurare che esiste almeno una radice…
Verifica se la funzione $f(x) = x^3 - 3x + 1$ soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano nell'intervallo $[0, 1]$. Puoi assicurare che esiste almeno una radice dell'equazione $x^3 - 3x + 1 = 0$ in tale intervallo? Giustifica la risposta.
Un escursionista inizia un percorso da un rifugio a 1200 metri di altitudine ($t=0$). Dopo 4 ore di cammino, si trova a un belvedere a 1800 metri di altitudine.…
Un escursionista inizia un percorso da un rifugio a 1200 metri di altitudine ($t=0$). Dopo 4 ore di cammino, si trova a un belvedere a 1800 metri di altitudine. Supponendo che la funzione che descrive la sua altitudine rispetto al tempo, $A(t)$, sia continua:
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Spiega, utilizzando il teorema dei valori intermedi (di Darboux), se l'escursionista è passato in qualche momento per la quota di 1500 metri.
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Possiamo assicurare che sia passato per i 2000 metri?
Data la funzione $f(x) = x^3 + x - 5$, giustifica se esiste un valore $c \in [1, 2]$ tale che $f(c) = -1$. Quale teorema garantisce questo risultato? Enuncia tale…
Data la funzione $f(x) = x^3 + x - 5$, giustifica se esiste un valore $c \in [1, 2]$ tale che $f(c) = -1$. Quale teorema garantisce questo risultato? Enuncia tale teorema e verifica che le sue ipotesi siano soddisfatte.
Si consideri una funzione continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Cioè, il dominio è l'intervallo $[0, 1]$ e anche tutte le sue immagini sono contenute in $[0, 1]$. Dimostra,…
Si consideri una funzione continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Cioè, il dominio è l'intervallo $[0, 1]$ e anche tutte le sue immagini sono contenute in $[0, 1]$.
Dimostra, utilizzando il teorema di Bolzano, che esiste almeno un punto $c \in [0, 1]$ tale che $f(c) = c$ (un punto fisso della funzione). Suggerimento: considera la funzione ausiliaria $g(x) = f(x) - x$. Spiega graficamente cosa significa questo risultato in termini di intersezione del grafico di $f(x)$ con la bisettrice del primo quadrante.
Teorema di Weierstrass
Come si applica il teorema?
Le ipotesi sono necessarie: $1/x$ in $]0;1]$ non ha massimo, e $f(x)=x$ per $0\le x<1$, $f(1)=0$ in $[0;1]$ non ha massimo, perché è discontinua in $1$: l'estremo superiore dei valori è $1$ ma non viene raggiunto. Per parametri e funzioni con valore assoluto, riscrivi la funzione a tratti e studia la continuità nei punti in cui si annulla l'argomento: ad esempio $|x-1|=x-1$ per $x\ge1$ e $1-x$ per $x<1$, poi confronta i limiti laterali in $x=1$.
Nei tratti con $\ln$ o con quozienti, calcola i limiti laterali nel punto di raccordo e uguagliali al valore della funzione.
Se la funzione ha un denominatore che si annulla in $[a;b]$ (come $g=\frac1{\sqrt{x^4+1}-3x^2\cos x}$), non è continua in tutto l'intervallo e Weierstrass non si applica; verifica sempre che il denominatore non si annulli.
Stabilisci se la funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ raggiunge obbligatoriamente un massimo e un minimo assoluti nei seguenti intervalli, basandoti sul teorema di Weierstrass:…
Stabilisci se la funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ raggiunge obbligatoriamente un massimo e un minimo assoluti nei seguenti intervalli, basandoti sul teorema di Weierstrass:
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Nell'intervallo chiuso $[1, 5]$.
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Nell'intervallo aperto $(0, 1)$.
Data la funzione $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ per $x \neq 0$: a) Trova il valore di $k$ sapendo che $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$. b) Con questo valore di $k$,…
Data la funzione $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ per $x \neq 0$:
- a) Trova il valore di $k$ sapendo che $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
- b) Con questo valore di $k$, definisci $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in $x = 0$.
- c) Giustifica se la funzione ottenuta è continua nell'intervallo $[0, 2\pi]$. Possiamo assicurare che raggiunge un valore massimo assoluto in tale intervallo?