Numeri reali

Classifica i seguenti numeri reali indicando a quali insiemi numerici appartengono: naturali ($\mathbb{N}$), interi ($\mathbb{Z}$), razionali ($\mathbb{Q}$) o irrazionali ($\mathbb{I}$). Motiva brevemente la risposta per i numeri decimali e le radici:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Semplifica le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze e delle radici, lasciando il risultato in forma di potenza con esponente frazionario:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

Semplifica la seguente espressione con radicali e potenze, esprimendo il risultato finale come un'unica potenza di base $a$ con esponente razionale:

Dato: Supponi che $a > 0$.

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, sviluppa la seguente espressione in termini di $\log x$, $\log y$ e $\log z$:

Successivamente, se sappiamo che $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ e $\log z = 0,8$, calcola il valore numerico di $L$.

Si consideri il numero reale $K = \log_3(80) - \sqrt{17} + \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$.

1. a) Stima: Senza ricorrere alla calcolatrice:

1. Limita $\log_3(80)$ tra due interi consecutivi giustificando la risposta mediante le potenze di base $3$.

2. Limita $\sqrt{17}$ tra due interi consecutivi confrontando con quadrati perfetti.

3. Limita $\log_2\left(\frac{1}{10}\right)$ tra due interi consecutivi sapendo che $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ e utilizzando potenze di base $2$.

A partire da queste tre limitazioni, ricava un intervallo per il valore di $K$ e prevedi con ragionamento se il suo segno deve essere positivo o negativo.

1. b) Verifica e affina: Sapendo che $80$ è estremamente vicino a $81$ e che $17$ è estremamente vicino a $16$, approssima mentalmente il valore della differenza $\log_3(80) - \sqrt{17}$. Successivamente, tenendo conto che $2^3 = 8$ e $2^{3,5} = \sqrt{128} \approx 11,31 > 10$, verifica se il valore complessivo di $K$ si trova più vicino a $-3$ o a $-4$. Giustifica se questa verifica conferma o smentisce la previsione della tua stima iniziale.

Calcola la distanza tra le seguenti coppie di punti della retta reale utilizzando il concetto di valore assoluto:

• $a)$ $x = 5$ e $y = -2$

• $b)$ $x = -8$ e $y = -3$

• $c)$ $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{3}{4}$

Trova i valori di $x$ che soddisfano le seguenti uguaglianze e disuguaglianze con valore assoluto. Esprimi il risultato come intervallo:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un laboratorio di biotecnologie mantiene un campione di enzimi in una camera climatica. Affinché gli enzimi non si denaturino, la temperatura $T$ (in gradi Celsius) deve soddisfare la seguente condizione:

Risolvi la disequazione e determina l'intervallo di temperature in cui i ricercatori possono lavorare senza danneggiare il campione.

Determina l'insieme dei valori reali che soddisfano la seguente disequazione con doppio valore assoluto:

Rappresenta la soluzione sulla retta reale ed esprimila mediante un unico intervallo aperto.

Esprimi i seguenti intorni in forma di intervallo aperto e rappresentali graficamente sulla retta reale:

1. a) $E(2; 3)$ (intorno di centro 2 e raggio 3)

1. b) $E(-1; 0,5)$ (intorno di centro $-1$ e raggio $0,5$)

1. c) $E^*(0; 4)$ (intorno ridotto di centro 0 e raggio 4)

A partire dai seguenti insiemi di numeri reali, esegui il processo inverso per costruire le loro espressioni analitiche:

1. a) Scrivi l'insieme dei numeri la cui distanza dal punto centrale $-1,5$ sulla retta reale è strettamente minore di $2,5$ utilizzando:

1. Una disuguaglianza con valore assoluto.

2. La notazione di intorno simmetrico $E(a, r)$.

3. Un intervallo limitato in $\mathbb{R}$.

1. b) Data l'unione di semirette $(-\infty; -2] \cup [8; +\infty)$, determina il suo centro di simmetria e il suo raggio di esclusione. A partire da essi, scrivi un'unica disequazione con valore assoluto la cui soluzione sia esattamente tale insieme.
2. c) Dato l'insieme $(-3; 5) \setminus \{1\}$, esprimilo nella notazione di intorno ridotto $E^*(a, r)$ e indica che significato ha escludere il centro ai fini della definizione formale di limite in un punto.

Nella progettazione di un componente di alta precisione per un motore aerospaziale, il raggio di un cilindro, indicato con $x$, deve soddisfare la condizione che la sua differenza dal raggio nominale $5\text{ cm}$ sia così piccola che l'errore nell'area della sua sezione trasversale, $A(x) = \pi x^2$, non superi $0,01\text{ cm}^2$.

Utilizzando la definizione formale di intorno ridotto $E^*(a, \delta)$, trova il valore massimo della tolleranza $\delta$ che può avere il raggio $x$ per assicurare che l'area rimanga nell'intorno $E(25\pi, 0,01)$. Esprimi il risultato di $\delta$ in funzione di $\pi$ in forma esatta.

Dimostra, utilizzando esclusivamente la definizione metrica di limite ($\varepsilon - \delta$), che:

A tal fine, dato un $\varepsilon > 0$, trova un'espressione per $\delta$ in funzione di $\varepsilon$ (puoi supporre una limitazione iniziale per $\delta$, per esempio $\delta \leq 1$).

Un sensore di temperatura in un server di dati indica che la CPU è a $42,6^{\circ}C$. Se il valore reale misurato con un termometro di precisione è $42,45^{\circ}C$, calcola:

• $a)$ L'errore assoluto della misurazione del sensore.

• $b)$ L'errore relativo commesso, espresso in percentuale.

In astrofisica, la distanza tra due corpi celesti si misura spesso in unità astronomiche (UA). Supponiamo che siano state effettuate due misurazioni della distanza da un esopianeta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km e $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi se prendiamo la prima misura come approssimazione della seconda.

b) Esprimi il risultato dell'errore relativo in percentuale e commenta se l'approssimazione è accettabile in ambito scientifico.