Equazioni differenziali del primo ordine
In un laboratorio si osserva una coltura di batteri. Più batteri ci sono, più in fretta la popolazione cresce: la velocità di crescita è proporzionale al numero di individui presenti. Non conosciamo la funzione $N(t)$ che dà il numero di batteri, ma sappiamo come varia la sua derivata. Come si ricava $N(t)$ da una relazione che contiene $N'(t)$? Questa è la domanda a cui rispondono le equazioni differenziali.
Che cos'è un'equazione differenziale
In un'equazione ordinaria l'incognita è un numero. In un'equazione differenziale l'incognita è una funzione $y(x)$ e nell'equazione compare almeno una sua derivata.
Verificare una soluzione è facile: si deriva e si sostituisce.
Un'equazione differenziale ha di solito infinite soluzioni. Per $y' = 3y$ vanno bene tutte le funzioni $y = ce^{3x}$, con $c \in \mathbb{R}$. L'insieme di tutte le soluzioni, scritto con una costante arbitraria $c$, è l'integrale generale. Ogni valore di $c$ dà una soluzione particolare.
Per scegliere una sola soluzione si impone una condizione iniziale $y(x_0) = y_0$: la curva deve passare per il punto $(x_0; y_0)$. Equazione e condizione iniziale insieme formano un problema di Cauchy.
Il caso più semplice: $y' = f(x)$
Se il secondo membro dipende solo da $x$, l'equazione chiede una primitiva di $f$. Quindi $y = \int f(x)\,dx = F(x) + c$. Le soluzioni sono tutte le curve ottenute traslando verticalmente una di esse.
::interattivo funzione expr="2x^3-2x^2+c" c=0:-4:4 xmin=-2 xmax=2 ymin=-8 ymax=8
Le curve sono le soluzioni di $y' = 6x^2 - 4x$: cambia $c$ e osserva che si spostano verso l'alto o verso il basso senza cambiare forma.
Verifica che la funzione $y(x) = 3e^{2x}$ è soluzione dell'equazione differenziale $y' = 2y$ e determina la soluzione che soddisfa $y(0) = 5$.
Verifica che la funzione $y(x) = 3e^{2x}$ è soluzione dell'equazione differenziale $y' = 2y$ e determina la soluzione che soddisfa $y(0) = 5$.
Risolvi l'equazione differenziale $y' = 6x^2 - 4x$ e determina la soluzione particolare tale che $y(1) = 2$.
Risolvi l'equazione differenziale $y' = 6x^2 - 4x$ e determina la soluzione particolare tale che $y(1) = 2$.
Equazioni a variabili separabili
Molte equazioni del primo ordine hanno la forma
$$y' = g(x)\,h(y),$$con il secondo membro che è un prodotto di una funzione di $x$ per una funzione di $y$. Si dicono a variabili separabili.
L'idea è portare da una parte tutto ciò che dipende da $y$ e dall'altra tutto ciò che dipende da $x$. Scrivendo $y' = \dfrac{dy}{dx}$ e dividendo per $h(y)$ si ottiene
$$\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$Il perché è questo: se $y(x)$ è soluzione, da $\dfrac{y'}{h(y)} = g(x)$ si integrano entrambi i membri rispetto a $x$. A sinistra la sostituzione $y = y(x)$ dà proprio $\int \dfrac{dy}{h(y)}$.
Equazioni del tipo $y' = ky$
È il modello della crescita e del decadimento: la variazione è proporzionale alla quantità presente. Separando, $\dfrac{dy}{y} = k\,dx$, da cui $\ln|y| = kx + c$ e quindi
$$y = Ce^{kx}, \qquad C \in \mathbb{R}.$$Ponendo $C = 0$ si ottiene anche la soluzione costante $y = 0$, che il passaggio di divisione per $y$ aveva escluso. Se $k > 0$ si ha una crescita esponenziale, se $k < 0$ un decadimento.
Quando il denominatore si scompone
Nel modello di crescita con saturazione, $y' = y(1 - y)$, compare un integrale razionale da trattare con i fratti semplici.
La figura mostra l'andamento di una curva di questo tipo, per esempio $y' = y(4 - y)$ con $y(0) = 1$: la soluzione cresce e si "appoggia" alla soluzione costante $y = 4$ senza mai raggiungerla.
Risolvi l'equazione a variabili separabili $y' = \dfrac{x}{y}$, con $y > 0$, e scrivi la soluzione per cui $y(0) = 2$.
Risolvi l'equazione a variabili separabili $y' = \dfrac{x}{y}$, con $y > 0$, e scrivi la soluzione per cui $y(0) = 2$.
Risolvi il problema di Cauchy: $$\begin{cases} y' = y\cos x \\ y(0) = 2 \end{cases}$$
Risolvi il problema di Cauchy:
$$\begin{cases} y' = y\cos x \\ y(0) = 2 \end{cases}$$Una popolazione di batteri in un laboratorio dell'Università di Padova cresce con velocità proporzionale al numero $N(t)$ di individui presenti: $N'(t) = kN(t)$.…
Una popolazione di batteri in un laboratorio dell'Università di Padova cresce con velocità proporzionale al numero $N(t)$ di individui presenti: $N'(t) = kN(t)$. All'istante $t = 0$ ci sono 2.000 batteri e dopo 3 ore ce ne sono 6.000.
- a) Determina $N(t)$ e il valore di $k$.
- b) Dopo quante ore la popolazione raggiunge 50.000 batteri?
Si considera il problema di Cauchy $y' = y(4 - y)$, $y(0) = 1$. a) Individua le soluzioni costanti. b) Risolvi l'equazione per separazione di variabili e scrivi la…
Si considera il problema di Cauchy $y' = y(4 - y)$, $y(0) = 1$.
- a) Individua le soluzioni costanti.
- b) Risolvi l'equazione per separazione di variabili e scrivi la soluzione.
- c) Calcola $\lim_{x \to +\infty} y(x)$ e giustifica perché $y$ è crescente per ogni $x$.
Equazioni lineari del primo ordine
Un'equazione lineare del primo ordine ha la forma
$$y' + p(x)\,y = q(x),$$con $p$ e $q$ funzioni continue. Se $q(x) = 0$ si dice omogenea: $y' + p(x)y = 0$. Questa è anche a variabili separabili, e la sua soluzione è
$$y = c\,e^{-P(x)}, \qquad P(x) \text{ una primitiva di } p(x).$$Le soluzioni dell'omogenea hanno una proprietà importante: sono chiuse rispetto alle combinazioni lineari. Se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni, allora
$$(c_1y_1 + c_2y_2)' + p\,(c_1y_1 + c_2y_2) = c_1(y_1' + py_1) + c_2(y_2' + py_2) = 0.$$Questa proprietà non vale per le equazioni non lineari: $y_1 = -\dfrac1x$ risolve $y' = y^2$ perché $y_1' = \dfrac{1}{x^2} = y_1^2$. Ma $2y_1 = -\dfrac2x$ ha derivata $\dfrac{2}{x^2}$, mentre $(2y_1)^2 = \dfrac{4}{x^2}$.
Il perché: se $y_p$ risolve l'equazione completa e $y$ è un'altra soluzione, la differenza $y - y_p$ risolve l'omogenea, perché il termine $q$ si cancella.
Metodo 1: soluzione particolare "a occhio"
Se $p$ è costante e $q$ è un polinomio, si cerca $y_p$ dello stesso grado di $q$.
Metodo 2: il fattore integrante
Quando $p$ non è costante conviene un metodo generale. Sia $P(x)$ una primitiva di $p(x)$. Moltiplichiamo l'equazione per $e^{P(x)}$. Il primo membro diventa la derivata di un prodotto:
$$\bigl(y\,e^{P(x)}\bigr)' = y'e^{P} + p\,y\,e^{P} = q(x)\,e^{P(x)}.$$Basta quindi integrare: $y\,e^{P(x)} = \int q(x)e^{P(x)}\,dx + c$.
Risolvi l'equazione lineare $y' + 2y = 4x$ e determina la soluzione con $y(0) = 1$, cercando una soluzione particolare del tipo $y = ax + b$.
Risolvi l'equazione lineare $y' + 2y = 4x$ e determina la soluzione con $y(0) = 1$, cercando una soluzione particolare del tipo $y = ax + b$.
Dimostra che, se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $y' + p(x)y = 0$, allora lo è anche $c_1y_1 + c_2y_2$ per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. Mostra…
Dimostra che, se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $y' + p(x)y = 0$, allora lo è anche $c_1y_1 + c_2y_2$ per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. Mostra con un controesempio che la proprietà non vale per l'equazione $y' = y^2$.
Risolvi il problema di Cauchy $x y' - 2y = x^3$, con $x > 0$ e $y(1) = 0$. Determina poi il punto di minimo relativo della soluzione trovata, se esiste.
Risolvi il problema di Cauchy $x y' - 2y = x^3$, con $x > 0$ e $y(1) = 0$. Determina poi il punto di minimo relativo della soluzione trovata, se esiste.
Torniamo ai batteri dell'inizio: la relazione $N' = kN$ è un'equazione a variabili separabili, e la sua soluzione è $N(t) = N_0e^{kt}$. Il numero iniziale $N_0$ e un'altra misura (per esempio il numero dopo qualche ora) fissano le due costanti $N_0$ e $k$.
In sintesi
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Un'equazione differenziale ha come incognita una funzione $y(x)$. Ha di solito infinite soluzioni, descritte da un integrale generale con una costante $c$.
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Un problema di Cauchy aggiunge una condizione iniziale $y(x_0) = y_0$ che fissa la costante.
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Se $y' = f(x)$, si integra: $y = \int f(x)\,dx = F(x) + c$.
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Variabili separabili, $y' = g(x)h(y)$: cerca le soluzioni costanti ($h(y) = 0$), poi $\int \dfrac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$. Il caso $y' = ky$ dà $y = Ce^{kx}$.
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Equazioni lineari, $y' + p(x)y = q(x)$: integrale generale = omogenea $ce^{-P(x)}$ + soluzione particolare. Si cerca $y_p$ "a occhio" se $p$ è costante e $q$ è un polinomio, oppure si usa il fattore integrante $e^{P(x)}$.
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Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio chiuso per combinazioni lineari, proprietà che le equazioni non lineari non hanno.