Tasso di variazione e derivata in un punto
Un'automobile sull'autostrada A1 passa davanti a un autovelox: il tachimetro segna la velocità in quell'istante, non quella media del viaggio Roma–Milano. Come si calcola la velocità in un solo istante?
Tasso di variazione medio
Il tasso di variazione medio (rapporto incrementale) di $f$ in $[a; b]$ è $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante passante per $A(a; f(a))$ e $B(b; f(b))$.
Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 5$ nell'intervallo $[1, 4]$. Spiega graficamente che cosa rappresenta il valore ottenuto in…
Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 5$ nell'intervallo $[1, 4]$. Spiega graficamente che cosa rappresenta il valore ottenuto in relazione alla retta secante che passa per i punti $A$ e $B$ della curva corrispondenti agli estremi di tale intervallo (sono indicati nella figura).
Un'atleta di quinto liceo si allena per i 100 metri piani. La distanza percorsa (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è data dall'espressione…
Un'atleta di quinto liceo si allena per i 100 metri piani. La distanza percorsa (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è data dall'espressione $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.
Calcola la velocità media dell'atleta tra gli istanti $t = 2$ s e $t = 6$ s. Con quale concetto matematico coincide questo valore?
La crescita dei follower di un nuovo account di un noto social network segue la funzione $S(t) = t^2 + 4t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione e…
La crescita dei follower di un nuovo account di un noto social network segue la funzione $S(t) = t^2 + 4t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione e $S(t)$ è il numero di follower. La figura mostra il grafico di $S$ e le rette che uniscono i punti della curva corrispondenti a $t=0$, $t=5$ e $t=10$.
- a) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) del numero di follower negli intervalli $[0, 5]$ e $[5, 10]$.
- b) Spiega il significato dei risultati ottenuti nel contesto della crescita dell'account. In quale intervallo la crescita è stata più rapida?
La derivata in un punto
Avvicinando $b$ ad $a$ la secante tende alla tangente. La derivata di $f$ in $x_0$ è $$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$ se il limite esiste finito. Esistono la derivata destra ($h\to0^+$) e sinistra ($h\to0^-$): $f$ è derivabile in $x_0$ se coincidono.
Data la funzione $f(x) = 3x^2 - 1$, utilizza la definizione di derivata in un punto mediante il limite: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ per trovare il…
Data la funzione $f(x) = 3x^2 - 1$, utilizza la definizione di derivata in un punto mediante il limite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$per trovare il valore della derivata nel punto di ascissa $x = 2$.
Determina il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = \sqrt{x+1}$ nel punto in cui $x = 3$, applicando il limite del tasso di…
Determina il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = \sqrt{x+1}$ nel punto in cui $x = 3$, applicando il limite del tasso di variazione istantaneo:
$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3}$$Calcola la derivata della funzione $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ nel punto di ascissa $x = 2$ utilizzando rigorosamente la definizione di derivata mediante il limite:…
Calcola la derivata della funzione $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ nel punto di ascissa $x = 2$ utilizzando rigorosamente la definizione di derivata mediante il limite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$Calcola, usando esclusivamente la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, il valore del seguente limite: $$\lim_{h \to 0}…
Calcola, usando esclusivamente la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, il valore del seguente limite:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + h\right) - \frac{1}{2}}{h}$$Suggerimento: identifica questo limite con la derivata di una funzione nota in un punto determinato e risolvi mediante le usuali regole di derivazione per verificare il tuo risultato.
Velocità istantanea
La derivata nasce da due problemi: la velocità in un istante (Galileo, Newton) e la tangente a una curva (Torricelli, Leibniz). Se $s(t)$ è la posizione, la velocità istantanea è $v(t_0)=s'(t_0)=\lim_{h\to0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$: è il limite delle velocità medie su intervalli sempre più piccoli. Così il tachimetro dell'auto sull'A1 dà $s'(t)$. Lo stesso vale per altre grandezze: l'intensità di corrente è $i(t)=Q'(t)$, la derivata della carica.
Il numero di iscritti a un nuovo canale YouTube evolve secondo la funzione $S(t) = t^2 + 10t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione. a) Calcola il…
Il numero di iscritti a un nuovo canale YouTube evolve secondo la funzione $S(t) = t^2 + 10t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione.
- a) Calcola il tasso di variazione medio degli iscritti tra il giorno $t = 0$ e il giorno $t = 10$.
- b) Qual è la crescita istantanea degli iscritti esattamente nel giorno $t = 5$? (Calcola $S'(5)$ usando la definizione).
Un pattinatore si muove su una pista la cui posizione (in metri) rispetto all'inizio è data dall'espressione $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, dove $t$ è il tempo in secondi. a)…
Un pattinatore si muove su una pista la cui posizione (in metri) rispetto all'inizio è data dall'espressione $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, dove $t$ è il tempo in secondi.
- a) Calcola la velocità media del pattinatore tra gli istanti $t = 0$ e $t = 4$ secondi.
- b) Trova la velocità istantanea nel momento $t = 4$ secondi utilizzando la definizione di derivata.
Retta tangente e normale
La retta tangente in $(x_0; f(x_0))$ è $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$. Se il punto $A$ non sta sulla curva, si prende un punto generico $(t; f(t))$: la tangente è $y-f(t)=f'(t)(x-t)$ e si impone il passaggio per $A$, ricavando $t$. La normale, perpendicolare ad essa, ha coefficiente angolare $-\frac{1}{f'(x_0)}$ se $f'(x_0)\ne0$.
Si considera la funzione $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina il punto del grafico in cui la retta tangente ha coefficiente angolare $m = 2$. Una volta trovato il punto,…
Si considera la funzione $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina il punto del grafico in cui la retta tangente ha coefficiente angolare $m = 2$. Una volta trovato il punto, scrivi l'equazione completa di tale retta tangente in forma punto-coefficiente angolare.
Trova l'equazione della retta tangente e della retta normale alla curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ nel punto in cui il grafico interseca l'asse delle ordinate ($OY$).
Trova l'equazione della retta tangente e della retta normale alla curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ nel punto in cui il grafico interseca l'asse delle ordinate ($OY$).
Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva $y = x^2 - 4x + 5$ che passano per il punto esterno $A(0, 0)$ (la figura ne mostra solo una). Nota: Tieni presente che…
Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva $y = x^2 - 4x + 5$ che passano per il punto esterno $A(0, 0)$ (la figura ne mostra solo una).
Nota: Tieni presente che il punto A non appartiene alla curva. Dovrai impostare il coefficiente angolare della tangente in un punto generico $(a, f(a))$ uguagliandolo al coefficiente angolare della retta che unisce tale punto con l'origine.
Derivabilità e continuità
Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora è continua in $x_0$. Infatti $f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot h\to f'(x_0)\cdot0=0$. Il viceversa è falso. Punti di non derivabilità: punto angoloso (derivate destra e sinistra finite e diverse), cuspide, flesso a tangente verticale (derivata infinita).
In un compito in classe di quinto liceo, Marco deve analizzare la derivabilità in $x = 1$ della seguente funzione definita a tratti: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x &…
In un compito in classe di quinto liceo, Marco deve analizzare la derivabilità in $x = 1$ della seguente funzione definita a tratti:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 1 \\ 4x + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Marco scrive nella sua risoluzione:
«Derivo direttamente ogni ramo: $f'(x) = 2x + 2$ per $x \le 1$, e $f'(x) = 4$ per $x > 1$.
Calcolo le derivate laterali sostituendo $x = 1$:
$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$
$f'(1^+) = 4$
Poiché le derivate laterali esistono e coincidono ($4 = 4$), concludo che la funzione è derivabile in $x = 1$ e che la retta tangente in tale punto ha coefficiente angolare $m = 4$».
- a) Individua e spiega in dettaglio il grave errore concettuale che commette Marco nel suo ragionamento.
- b) Utilizzando la definizione formale di derivata mediante il limite del rapporto incrementale destro, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcola il valore reale di tale limite e dimostra che cosa accade veramente a $f$ in $x = 1$.
- c) Correggi la conclusione di Marco indicando se la funzione è continua, se è derivabile e se ha senso parlare di retta tangente in $x = 1$.
Data la funzione definita a tratti: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ Calcola i valori di $a$ e $b$…
Data la funzione definita a tratti:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 1$. Ricorda che, perché una funzione sia derivabile, deve prima essere continua.
Si considera la funzione definita a tratti: $$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{x^2 - 4}{x-2} + \ln(x-1) & \text{si } x > 2…
Si considera la funzione definita a tratti:
$$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{x^2 - 4}{x-2} + \ln(x-1) & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 2$. Per farlo, dovrai assicurare prima la continuità e, successivamente, l'esistenza delle derivate laterali finite e uguali in tale punto utilizzando la definizione di derivata.