Integrazione di funzioni trigonometriche

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione, osservando che si tratta di una funzione composta in cui compare la derivata dell'argomento:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

Calcola il seguente integrale indefinito utilizzando il logaritmo naturale come risultato, riconoscendo che il numeratore è (quasi) la derivata del denominatore:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Determina la famiglia di funzioni primitive dell'espressione data. Tieni presente che la derivata del seno è il coseno:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Determina l'insieme di tutte le primitive della seguente funzione composta, che combina una radice quadrata con una funzione trigonometrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

Nello studio delle oscillazioni di un ponte sospeso, l'accelerazione di un punto della struttura è data dalla funzione $a(t)$. Trova la funzione velocità $v(t)$ sapendo che la velocità iniziale è $v(0) = 0$ e che l'accelerazione è:

$a(t) = \frac{\sec^2(t)}{\sqrt{4 - \tan^2(t)}}$

Aiuto: Fai attenzione ai domini delle funzioni risultanti.

Calcola l'integrale indefinito della funzione $f(x)$, che combina potenze di funzioni trigonometriche inverse e funzioni dirette:

Trova l'integrale indefinito della funzione $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Ricorda di osservare se l'espressione si adatta a un integrale di tipo potenza in cui una funzione è elevata a un esponente e moltiplicata per la sua derivata.

Calcola la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ che soddisfa la condizione di passare per l'origine degli assi, cioè $F(0) = 0$.

Molto spesso le identità trigonometriche ci permettono di trasformare un'espressione difficile in una immediata. Utilizza la relazione $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ per calcolare la seguente primitiva:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Elena sta calcolando la primitiva della funzione $f(x) = \sin^2(x)$ e scrive nel suo compito:

sostenendo di aver applicato la regola delle potenze $\int u^n\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ prendendo $u = \sin(x)$ e $n = 2$.

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale commesso da Elena. Quale fattore fondamentale manca all'integrando perché la sua deduzione a partire dalla regola della catena fosse matematicamente valida?
2. b) Correggi l'esercizio trovando la corretta famiglia di primitive mediante l'identità trigonometrica dell'angolo doppio.

Uno studio di architettura sta progettando il profilo di una rampa per un parco di sport estremi. Il coefficiente angolare della rampa in ogni punto $x$ è dato dalla funzione $g(x) = \sin^2(x)$. Se la rampa inizia nel punto $(0, 0)$, determina la funzione $G(x)$ che descrive l'altezza della rampa in un punto qualsiasi.

Si cerca di determinare una funzione $f(x)$ derivabile nell'intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ il cui grafico passi per l'origine degli assi, $f(0) = 0$, e la cui funzione derivata sia data dall'espressione:

1. a) Uno studente tenta di integrare separatamente ciascun addendo cercando formule per le potenze quarte, incontrando serie difficoltà. Dimostra che, applicando la scomposizione di una differenza di quadrati e l'identità fondamentale $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$, la derivata si riduce immediatamente a $f'(x) = 2\sec^2(x) - 1$. Giustifica perché trasformare la funzione integranda prima di operare semplifica radicalmente il problema.
2. b) Integra l'espressione semplificata e trova la formula esplicita della funzione $f(x)$ che soddisfa la condizione $f(0) = 0$.
3. c) Senza calcolare la derivata seconda $f''(x)$, deduci gli intervalli di concavità e convessità di $f(x)$ in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, nonché l'esistenza di punti di flesso, analizzando esclusivamente la crescita e gli estremi relativi di $f'(x)$ a partire dalle proprietà della funzione coseno.

Calcola la primitiva della seguente funzione trigonometrica utilizzando le identità fondamentali per semplificare l'espressione prima di integrare:

Calcola la primitiva della funzione $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Suggerimento: Poiché la funzione è dispari in $\sin(x)$, effettua la sostituzione $t = \cos(x)$.

Determina l'integrale indefinito della funzione $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Aiuto: Puoi provare a sostituire il numero $1$ al numeratore con l'identità fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ per separare l'integrale in due addendi più semplici.

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione razionale trigonometrica. Questo tipo di integrali compare frequentemente nel calcolo dei campi gravitazionali in astrofisica:

Nota: Considera una sostituzione che metta in relazione le funzioni trigonometriche presenti e ricorda l'identità fondamentale della trigonometria.

Trova la famiglia delle primitive della seguente funzione utilizzando una sostituzione adeguata per funzioni trigonometriche pari in seno e coseno:

Suggerimento: Dividi numeratore e denominatore per $\cos^2(x)$ per esprimere la funzione in termini di $\tan(x)$ e della sua derivata $\sec^2(x)$.

Per iniziare a esercitarti con il calcolo delle primitive, trova la primitiva generale della seguente funzione che include una modifica lineare nell'argomento del coseno:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Trova la primitiva della funzione $f(x) = \sec^2(3x)$ sapendo che il suo grafico passa per il punto $P(0, 2)$. Ricorda che devi calcolare la costante di integrazione $C$.

Un oscillatore armonico semplice si muove in modo tale che la sua velocità in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data da $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Se nell'istante iniziale $t=0$ l'oggetto si trova nella posizione $s=0$, ricava l'espressione della sua posizione $s(t)$ calcolando la primitiva corrispondente.

Trova la primitiva della funzione $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizzando il metodo di integrazione per parti. Dovrai applicare il metodo due volte per ridurre il grado del polinomio fino a ottenere un integrale immediato.

In un esperimento di fisica si analizza l'oscillazione smorzata di una molla la cui velocità di vibrazione in funzione del tempo $t$ si comporta secondo la funzione $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determina la funzione posizione $s(t)$ sapendo che questo integrale è di tipo ciclico.

Trova la primitiva della funzione $f(x)$ descritta di seguito, impiegando le formule di prostaferesi (trasformazione di prodotti in somme):

Una volta ottenuta la famiglia delle primitive, determina quella il cui grafico ha un punto di flesso a tangente orizzontale nel punto di ascissa $x = \frac{\pi}{2}$ con ordinata $y = 2$.

La «sostituzione universale» è uno strumento potente per risolvere integrali di funzioni razionali di seno e coseno. Utilizza la sostituzione $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ per trovare la seguente primitiva: