Limiti all'infinito x → ±∞

Calcola il limite della seguente funzione polinomiale quando la variabile indipendente cresce indefinitamente:

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Spiega su quale termine ti sei basato per determinare il risultato e perché gli altri termini non influiscono sul valore del limite.

Determina il valore dei seguenti limiti basandoti sul confronto dei gradi dei polinomi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcola i valori dei parametri reali $a$ e $k$ sapendo che la funzione ha un asintoto orizzontale in $y = 3$ e che il suo grafico passa per il punto $(1, -2)$. Una volta trovati, verifica se il limite per $x \to -\infty$ coincide con il limite per $x \to +\infty$.

Un server di videogiochi ha stimato che il numero di utenti connessi contemporaneamente durante il primo anno segua la funzione $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, dove $t$ è il tempo in mesi.

1. a) Che cosa succede al numero di utenti se il tempo cresce indefinitamente?
2. b) Interpreta il risultato in termini di asintoti orizzontali.

Calcola il limite della seguente funzione razionale che contiene radicali, semplificando l'espressione mediante l'uso delle potenze effettive:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Calcola il limite della seguente funzione quando la variabile $x$ tende a $+\infty$. Per risolverlo, individua prima il termine dominante sia al numeratore sia al denominatore:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Calcola il limite per $x \to -\infty$ della seguente funzione. Presta particolare attenzione al trattamento dei segni quando la variabile negativa esce o entra in una radice di indice pari:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Date le funzioni $f(x) = 2^x$ e $g(x) = x^{10} + 500x^2$, stabilisci quale delle due funzioni cresce più rapidamente quando $x \to +\infty$ utilizzando la scala degli infiniti. A partire dalla tua risposta, deduci il valore del seguente limite:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Marco sta risolvendo il seguente limite all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2^x}{4x^3 + \ln(x)}$$

Nel compito scrive la seguente giustificazione: «Poiché il grado polinomiale maggiore che compare sia al numeratore sia al denominatore è 3, guardiamo i coefficienti direttori di $x^3$; quindi il limite è $\frac{5}{4}$».

1. a) Spiega in dettaglio perché il ragionamento di Marco è concettualmente errato, indicando quali famiglie di funzioni intervengono nell'espressione e qual è la gerarchia degli infiniti tra di esse quando $x \to +\infty$.
2. b) Risolvi correttamente il limite giustificando quale termine impone il proprio ritmo di crescita al numeratore e quale al denominatore.

Date le funzioni $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ e $h(x) = \ln(x)$, ordina i seguenti limiti dal valore minore al maggiore in base all'ordine di grandezza degli infiniti coinvolti quando $x \to +\infty$:

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Si sta analizzando la diffusione di una notizia falsa su un social network. Il numero di utenti coinvolti $N(t)$ dopo $t$ ore è dato dalla funzione:

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Determina il comportamento della funzione a lungo termine, cioè calcola $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Giustifica la risposta basandoti sul confronto degli ordini di infinito (esponenziale rispetto a polinomiale e logaritmica).

Completa la seguente tabella di valori per la funzione $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ e utilizza i risultati ottenuti per congetturare a quale famoso numero tende la funzione quando $x$ diventa molto grande.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Scrivi il risultato utilizzando la notazione dei limiti:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

Considera la funzione $f(x) = \left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$. Si vuole studiare il suo comportamento asintotico quando $x \to +\infty$.

1. a) Esegui una stima qualitativa motivata prima di applicare formule: osserva che per valori grandi di $x$ la base $\frac{x+3}{x+1}$ è strettamente maggiore di 1 ma molto prossima a 1 (per esempio, per $x = 100$ vale $\frac{103}{101} \approx 1{,}0198$), mentre l'esponente $2x$ cresce indefinitamente. Ti aspetti intuitivamente che il limite sia 1, minore di 1 o maggiore di 1? Giustifica la risposta.
2. b) Risolvi formalmente il limite $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ individuando il tipo di forma indeterminata e applicando la formula $\lim g(x)^{h(x)} = e^{\lim h(x)\cdot(g(x)-1)}$.
3. c) Esprimi il valore esatto ottenuto in funzione del numero $e$ e verifica se la tua stima iniziale era corretta, tenendo conto che $e \approx 2{,}718$.

Determina il valore del seguente limite utilizzando la relazione con il numero $e$. Devi trasformare l'espressione in modo che compaia la forma della definizione di tale costante:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché il seguente limite di tipo $1^\infty$ sia uguale a $\sqrt[3]{e^2}$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Assicurati di applicare correttamente la formula per risolvere la forma indeterminata del tipo numero $e$.

Risolvi il seguente limite che coinvolge una differenza di funzioni irrazionali. Ricorda di utilizzare la tecnica del coniugato per risolvere la forma indeterminata di tipo $[\infty - \infty]$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Per calcolare il limite all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^4 + 6x^2} - x^2 \right)$$

due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo A (Marta): Raccogliere a fattor comune la massima potenza all'interno della radice: $\sqrt{x^4\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)} - x^2 = x^2\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - x^2 = x^2\left(\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - 1\right)$. Poiché $\frac{6}{x^2} \to 0$, sostituisce $\sqrt{1+0}-1 = 0$ e conclude che il risultato è $\infty \cdot 0 = 0$.

• Metodo B (Sergio): Individuare una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$ tra termini dello stesso ordine e moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata $\sqrt{x^4 + 6x^2} + x^2$.

1. a) Analizza criticamente il Metodo A: spiega perché non è matematicamente valido sostituire solo una parte dell'espressione con il suo limite parziale mantenendo variabile un'altra parte, e ricorda quale natura ha l'espressione $\infty \cdot 0$.
2. b) Sviluppa dettagliatamente il Metodo B e ottieni il valore corretto del limite.
3. c) A partire dal confronto dei due metodi, stabilisci un criterio generale: in quali condizioni è indispensabile ricorrere al coniugato anziché limitarsi a confrontare i termini dominanti di ciascun addendo?

Studia il limite a meno infinito della seguente funzione razionale che contiene un valore assoluto e una radice quadrata:

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

Cioè, calcola $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Fai particolare attenzione al segno della variabile $x$ quando porti dentro o fuori fattori dalla radice quadrata e quando elimini il valore assoluto.

Calcola il limite della funzione data dalla seguente radice annidata:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Questo esercizio richiede un uso preciso della tecnica del coniugato e un'analisi attenta della potenza dominante all'interno dei radicali.