Ottimizzazione di funzioni

Dividi il numero $12$ in due addendi positivi tali che la somma dei loro quadrati sia minima.

Determina due numeri reali positivi la cui somma sia esattamente $60$ e il cui prodotto sia il maggiore possibile.

Nella figura, il segmento di lunghezza $60$ è diviso in due parti, $x$ e $y$. Il punto di divisione è disegnato in una posizione qualsiasi: non indica la soluzione.

Un giovane allevatore dispone di $120$ metri di recinzione per delimitare un recinto rettangolare destinato al pascolo. Dato che uno dei lati del recinto sarà un muro di pietra già esistente, deve recintare solo gli altri tre lati. Calcola le dimensioni del recinto affinché l'area racchiusa sia massima.

Si lancia verticalmente verso l'alto una piccola sonda meteorologica. L'altezza $h$ (in metri) raggiunta dalla sonda in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data dall'espressione $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

In quale istante la sonda raggiungerà la sua altezza massima? Qual è tale altezza?

Un'azienda tecnologica ha stabilito che il profitto mensile $B$ (in migliaia di euro) derivante dalla vendita di un nuovo modello di auricolari wireless dipende dal numero di unità prodotte $x$ (in centinaia) secondo la funzione $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Trova il numero di unità che devono essere prodotte ogni mese per massimizzare il profitto e calcola il valore di tale profitto massimo.

Il numero di "like" di un post di una famosa "influencer" durante le prime $10$ ore segue la funzione $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, dove $t$ è il tempo trascorso in ore ($0 \le t \le 10$). Determina in quale momento il post raggiunge il massimo successo (numero massimo di like) e quanti like ottiene in quell'istante.

Una piattaforma di streaming sta analizzando la propria politica dei prezzi per un nuovo piano premium. Attualmente ha $10.000$ abbonati che pagano $12$ € al mese. Un'indagine di mercato indica che per ogni euro di riduzione del prezzo dell'abbonamento si iscriveranno $1.000$ nuovi utenti. Al contrario, per ogni euro di aumento del prezzo si perderanno $1.000$ utenti. Sapendo che i costi fissi di mantenimento sono $20.000$ € al mese e che ogni abbonato comporta un costo di gestione di $2$ €, quale prezzo di abbonamento mensile massimizzerà l'utile netto della piattaforma?

Uno studio di grafica vuole creare un biglietto di auguri rettangolare che contenga esattamente $32 \text{ cm}^2$ di superficie stampata. Se non si considerano i margini, quali dovrebbero essere le dimensioni del biglietto affinché il perimetro sia minimo e si risparmi così sul taglio della carta?

Marco deve risolvere il seguente problema di ottimizzazione: «Si vuole costruire una scatola aperta senza coperchio a partire da un pezzo quadrato di cartone di lato $30\text{ cm}$, ritagliando quattro quadrati uguali di lato $x$ in ciascuno degli angoli e piegando le alette verso l'alto. Trova il valore di $x$ che massimizza il volume della scatola».\nMarco scrive nel suo compito:\n1. Volume: $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Derivata: $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, le cui soluzioni sono $x = 15$ e $x = 5$.\n3. Conclusione di Marco: «Il volume massimo si ottiene per $x = 15\text{ cm}$ perché $15 > 5$».\n\na) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Marco: uno relativo al dominio fisico della variabile $x$ e l'altro relativo al criterio per classificare massimi e minimi con la derivata.\nb) Correggi l'esercizio seguendo i cinque passi: definisci il dominio fisico ammissibile, classifica adeguatamente i punti critici mediante il segno di $V''(x)$ o di $V'(x)$, e calcola le dimensioni della scatola e il suo volume massimo.

Un agricoltore della Bassa Padana dispone di un muro di pietra rettilineo di $30\text{ m}$ di lunghezza e ha $50\text{ m}$ di rete metallica per recintare un orto rettangolare. Vuole addossare l'orto al muro esistente, in modo che il lato appoggiato al muro non richieda rete, ma la sua lunghezza $y$ non può superare i $30\text{ m}$ del muro disponibile. Gli altri tre lati saranno chiusi con i $50\text{ m}$ di rete.\n\na) Stima: prima di eseguire qualsiasi calcolo analitico, rispondi in modo intuitivo: pensi che convenga sfruttare tutti i $30\text{ m}$ di muro per «risparmiare» la maggior quantità possibile di rete, o sarà preferibile lasciare libera parte del muro per ottenere una forma più quadrata? Formula una stima ragionata dell'area massima che ti aspetti di ottenere.\nb) Calcola: esprimi l'area del recinto $A(x)$ in funzione della lunghezza $x$ dei due lati perpendicolari al muro. Determina il dominio della funzione tenendo conto del vincolo fisico del muro ($y = 50 - 2x \le 30$). Calcola il valore di $x$ che annulla la derivata prima e classificalo.\nc) Verifica e rifletti: trova le dimensioni ottimali definitive e l'area massima. Confronta il risultato con la tua stima iniziale e argomenta perché l'intuizione di sfruttare sempre l'intero muro disponibile risulta ingannevole in questo caso.

Disponiamo di un pezzo di cavo di lunghezza $20 \text{ metri}$. Vogliamo tagliarlo in due pezzi (non necessariamente uguali) per formare con uno un quadrato e con l'altro un triangolo equilatero. Come dobbiamo eseguire il taglio affinché la somma delle aree delle due figure sia massima? E affinché sia minima? Giustifica la risposta analizzando gli estremi dell'intervallo di definizione della variabile.

Si vuole costruire una scatola aperta (senza coperchio) a partire da un foglio di cartone quadrato di lato $30 \text{ cm}$. Per farlo, si taglia un quadrato di lato $x$ in ciascuno degli angoli e si piegano i bordi verso l'alto. Esprimi il volume della scatola in funzione di $x$ e determina il valore di $x$ affinché il volume della scatola sia massimo.

Uno studio di grafica vuole creare una scatola promozionale da imballaggio a partire da un cartoncino quadrato di lato $24$ cm. Per farlo, si taglia un quadrato di lato $x$ in ciascuno degli angoli e si piegano verso l'alto le alette per formare una scatola senza coperchio. Trova il valore di $x$ affinché la capacità della scatola sia la maggiore possibile.

Un'azienda chimica deve fabbricare serbatoi cilindrici chiusi con una capacità di $16 \pi$ metri cubi. Il materiale usato per le basi (superiore e inferiore) costa $5$ € al metro quadrato, mentre il materiale per la superficie laterale è più leggero e costa $2$ € al metro quadrato. Calcola il raggio di base e l'altezza del cilindro che minimizzano il costo totale di fabbricazione di ciascun serbatoio.

Si vuole progettare una capsula per un nuovo farmaco, a forma di cilindro circolare retto prolungato alle estremità da due semisfere dello stesso raggio del cilindro. Per ragioni di stabilità chimica, il volume totale della capsula deve essere esattamente $36\pi \text{ mm}^3$. Il materiale usato per le estremità semisferiche costa il 50% in più per unità di superficie rispetto a quello usato per la parte cilindrica. Determina le dimensioni della capsula (raggio $r$ e lunghezza della parte cilindrica $h$) che minimizzano il costo totale di fabbricazione.

In un videogioco di strategia, un'unità di esplorazione si trova nel punto $A(0, 5)$ di una mappa con coordinate. Esiste un sentiero la cui traiettoria segue la forma della parabola $y = x^2$. I programmatori devono calcolare i punti esatti del sentiero che si trovano alla distanza minima dall'unità per attivare un evento di prossimità. Determina le coordinate di tali punti.

Si vuole progettare un pannello pubblicitario a forma di triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza di raggio $R = 6$ metri. Uno dei suoi vertici è nel centro $O$ della semicirconferenza e gli altri due vertici sono sull'arco, uniti da una corda $b$ (la base) parallela al diametro. Indica con $h$ l'altezza del triangolo, cioè la distanza di $O$ dalla base, con $0 < h < 6$.

Determina le dimensioni del triangolo (base e altezza) affinché l'area della superficie pubblicitaria sia massima.

La pagina di un libro d'arte deve avere un'area totale di $600$ $cm^2$. I margini superiore e inferiore devono essere di $3$ cm ciascuno e i margini laterali di $2$ cm ciascuno. Determina le dimensioni della pagina (larghezza e altezza) affinché l'area della zona stampata (dove vanno il testo e le immagini) sia massima.

In una carpenteria metallica si deve ricavare una trave d'acciaio a sezione rettangolare da un tronco cilindrico di $40$ cm di diametro. La resistenza meccanica $R$ di tale trave è proporzionale al prodotto della larghezza $x$ per il quadrato dell'altezza $y$, cioè $R = k \cdot x \cdot y^2$ (dove $k$ è una costante di resistenza del materiale). Trova le dimensioni $x$ e $y$ che deve avere la trave affinché la sua resistenza sia massima.

Si vuole determinare il punto $P(x, y)$ della parabola $y = x^2$ che si trova alla minima distanza possibile dal punto esterno $A(0, 2)$. Per risolvere il problema si propongono tre possibili metodi:\n- Metodo 1: impostare la distanza euclidea $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ e derivare direttamente la radice con la regola della catena.\n- Metodo 2: minimizzare la funzione ausiliaria $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.\n- Metodo 3: trovare il punto $P(x, x^2)$ imponendo che il vettore $\vec{AP} = (x, x^2 - 2)$ sia perpendicolare al vettore direttore della retta tangente alla parabola in $P$, cioè $\vec{AP} \cdot (1, 2x) = 0$.\n\na) Giustifica formalmente perché il Metodo 2 garantisce esattamente gli stessi punti critici ed estremi del Metodo 1, spiegando perché è algebricamente preferibile.\nb) Applica il Metodo 2 per trovare i candidati al minimo, classificali mediante il segno di $f''(x)$ e scarta quelli che non corrispondono alla distanza minima.\nc) Risolvi mediante il Metodo 3 e verifica che l'equazione ottenuta sia identica a quella del Metodo 2. Quale dei tre metodi sceglieresti in un esame di maturità per rapidità e minor rischio di errori di calcolo? Indica le coordinate dei punti più vicini e la distanza minima.

Si vuole installare un pannello solare rettangolare su una parete a forma di triangolo isoscele, con base $6 \text{ m}$ e altezza $4 \text{ m}$. Il pannello deve essere collocato in modo che la sua base poggi sulla base del triangolo e i suoi due vertici superiori tocchino i lati uguali del triangolo. Tuttavia, a causa della struttura della parete, il pannello ha un'efficienza che varia con la sua altezza, per cui l'energia totale generata è data dalla funzione $E = A \cdot (5 - h)$, dove $A$ è l'area del pannello e $h$ la sua altezza. Trova le dimensioni del pannello che massimizzano l'energia generata.

Considera la funzione $f(x) = \frac{1}{x^2}$ per $x > 0$. Si traccia una retta tangente al grafico di questa funzione in un punto generico $P(a, f(a))$. Tale retta tangente forma, insieme agli assi coordinati nel primo quadrante, un triangolo rettangolo. Determina se esiste un valore di $a$ per cui l'area di tale triangolo è minima e, in caso affermativo, calcola il valore di tale area.

Due punti $A$ e $B$ si trovano dalla stessa parte di una retta $r$. Il punto $A$ dista $3 \text{ km}$ dalla retta e il punto $B$ dista $6 \text{ km}$. La distanza tra le proiezioni di $A$ e $B$ sulla retta $r$ è $12 \text{ km}$. Si vuole trovare un punto $C$ sulla retta $r$ tale che la somma dei quadrati delle distanze da $C$ a $A$ e da $C$ a $B$ sia minima. Dimostra che tale punto coincide con il punto medio della proiezione di $AB$ sulla retta.

Un'azienda di logistica effettua un percorso giornaliero di andata e ritorno tra Roma e Bologna lungo l'autostrada A1, con un percorso totale di $640\text{ km}$. La velocità media di crociera $v$ (in $\text{km/h}$) deve essere costante durante il tragitto e, per i limiti di traffico dei veicoli commerciali e la fluidità della strada, deve rientrare nell'intervallo $[70, 110]$.\nIl consumo di carburante del furgone (in litri di diesel per ogni $100\text{ km}$) dipende dalla velocità secondo la funzione empirica $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$. Il prezzo del gasolio lungo il percorso è di $1,45\text{ \euro{}/L}$. Inoltre, l'azienda calcola un costo operativo e salariale del conducente di $19\text{ \euro{}}$ per ogni ora di viaggio.\n\na) Modella la funzione di costo totale del tragitto, $K(v)$, sommando il costo del carburante consumato e il costo orario della manodopera in funzione della velocità $v$.\nb) Trova la velocità media che minimizza il costo totale del viaggio. Giustifica rigorosamente che si tratta di un minimo relativo analizzando il segno della derivata seconda $K''(v)$.\nc) Valuta e confronta il costo totale agli estremi del dominio consentito ($v = 70\text{ km/h}$ e $v = 110\text{ km/h}$) rispetto al minimo trovato e indica il costo totale ottimale del viaggio.

Un'azienda di logistica sta costruendo un magazzino con una superficie di $400 \text{ m}^2$. Il magazzino deve avere forma rettangolare ed essere diviso in due settori da un muro interno parallelo a uno dei lati. Il costo dei muri esterni è di $120 \text{ €}$ al metro lineare, mentre il muro interno, essendo meno resistente, costa $80 \text{ €}$ al metro lineare. Trova le dimensioni del magazzino che rendono il costo dei muri il più basso possibile.

Un produttore di lattine di conserva vuole creare un nuovo contenitore cilindrico con un volume di $500 \text{ cm}^3$. Il materiale del coperchio e della base costa $0,02 \text{ €/cm}^2$, mentre il materiale della parete laterale costa $0,01 \text{ €/cm}^2$. Inoltre, per rinforzare la struttura, si deve applicare una striscia metallica intorno alla giunzione tra coperchio e parete laterale e un'altra intorno alla base, con un costo di $0,05 \text{ €/cm}$ di striscia. Calcola il raggio e l'altezza della lattina che minimizzano il costo totale di produzione.

Una cooperativa agricola commissiona il progetto di un silo verticale per cereali composto da un cilindro circolare retto di raggio $r$ e altezza $h$, chiuso nella base inferiore da un fondo piano circolare di raggio $r$ e sormontato da una cupola semisferica di raggio $r$. Per esigenze di resistenza, i costi di fabbricazione per metro quadrato sono:\n- Fondo piano inferiore: $20\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Parete cilindrica laterale: $30\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Cupola semisferica: $k\text{ \euro{/m}}^2$ (dove $k$ è un costo unitario positivo fissato dall'officina di curvatura).\n\nIl gruppo di ingegneri stabilisce come criterio di progetto che, qualunque sia il volume di cereali fissato $V_0 > 0$ che il silo deve contenere, le dimensioni ottimali $(r, h)$ che rendono minimo il costo totale devono soddisfare obbligatoriamente la relazione estetica e strutturale $h = 2r$.\n\na) Scrivi la funzione di costo totale $C(r)$ in funzione del solo raggio $r$ e delle costanti $k$ e $V_0$, utilizzando il vincolo del volume totale del silo ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$).\nb) Deriva la funzione $C(r)$ rispetto a $r$ e imponi la condizione di punto critico $C'(r) = 0$.\nc) Determina quale valore esatto deve avere il prezzo al metro quadrato $k$ della semisfera affinché la condizione ottimale coincida con $h = 2r$. Dimostra analiticamente che questo valore di $k$ non dipende dal volume $V_0$ scelto.\nd) Verifica mediante il segno di $C''(r)$ che la soluzione trovata corrisponde effettivamente a un minimo assoluto del costo.

Un drone di sorveglianza deve spostarsi da una base situata nel punto $A(0, 4)$ a un obiettivo nel punto $B(10, 0)$, dove le coordinate sono espresse in chilometri. Il terreno è diviso in due zone dalla retta $y = 2$. Nella zona superiore ($y > 2$), a causa delle condizioni del vento, il drone può volare a una velocità di $60 \text{ km/h}$. Nella zona inferiore ($y \leq 2$), il drone può raggiungere $100 \text{ km/h}$. Imposta la funzione che modellizza il tempo totale del percorso e l'equazione che determina il punto sulla linea di divisione in cui il drone deve attraversare affinché tale tempo sia minimo (non è necessario risolverla).

Terna progetta la posa del cavo di trasmissione dell'energia da una sottostazione marina $S$ appartenente a un parco eolico al largo delle coste sarde. La sottostazione $S$ si trova in mare, a $6\text{ km}$ di distanza perpendicolare dalla costa rettilinea nel punto $A$. La sottostazione ricevente a terra $B$ è situata sulla stessa linea di costa, a $15\text{ km}$ di distanza da $A$.\nIl cavo elettrico passerà sul fondale marino da $S$ fino a un punto di approdo $P$ situato sulla costa tra $A$ e $B$ (a una distanza $x$ da $A$, con $0 \le x \le 15$), e proseguirà sottoterra da $P$ fino a $B$ lungo la costa. Il costo di installazione del cavo sottomarino è $1,5\text{ milioni di euro/km}$ e quello del cavo terrestre è $0,9\text{ milioni di euro/km}$.\n\na) Imposta la funzione di costo totale $C(x)$ in milioni di euro e definisci il suo dominio fisico $[0, 15]$.\nb) Calcola la posizione di $P$ (valore di $x$) che minimizza il costo totale e giustifica che si tratta del minimo assoluto confrontando il valore ottenuto con gli estremi dell'intervallo chiuso.\nc) Se $\theta$ rappresenta l'angolo che il tracciato sottomarino $SP$ forma con la perpendicolare alla costa, dimostra che nel punto ottimale è soddisfatta esattamente la legge di Snell: $\frac{\sin \theta}{c_{\text{terra}}} = \frac{1}{c_{\text{mar}}}$, con $c_{\text{mar}} = 1,5$ e $c_{\text{terra}} = 0,9$.\nd) Problema di trasferimento e soglia: Supponi che il costo sottomarino si riduca a un valore generico $c$ (mantenendo quello terrestre a $0,9\text{ milioni/km}$). Determina da quale valore critico di $c$ cesserà di esistere un punto di approdo intermedio $P \in (0, 15)$ e sarà più economico posare il cavo direttamente in linea retta attraverso il mare da $S$ a $B$. Giustifica il tuo ragionamento studiando il segno di $C'(x)$ nell'estremo superiore del dominio.