Continuità di una funzione in un punto

Osserva il seguente grafico della funzione $f(x)$ e analizza il suo comportamento nel punto di ascissa $x = 2$. Indica se la funzione è continua in quel punto verificando le tre condizioni di continuità: esistenza di $f(2)$, esistenza del $\lim_{x \to 2} f(x)$ e coincidenza dei due valori.

Verifica se la funzione $f(x) = e^{x-1}$ è continua nel punto $x = 1$. Perché la risposta sia completa, devi verificare se il valore della funzione nel punto coincide con il limite della funzione quando $x$ tende a 1.

Studia la continuità della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ nel punto $x = 1$. Se presenta una discontinuità, indica di quale tipo è (eliminabile, a salto finito o a salto infinito) e stabilisci se esiste un modo di ridefinire la funzione in modo che sia continua in quel punto.

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, giustifica perché non è continua nel punto $x = -4$. A tal fine, calcola i limiti laterali $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ e $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ e descrivi il tipo di discontinuità che presenta.

Analizza visivamente la continuità della funzione rappresentata nel seguente grafico. Individua il valore di $x$ in cui la funzione presenta una discontinuità e classificala in base al comportamento dei suoi rami laterali.

Applica il teorema di esistenza degli zeri per dimostrare che i grafici delle funzioni $f(x) = \ln(x)$ e $g(x) = e^{-x}$ si intersecano in almeno un punto all'interno dell'intervallo $(1, e)$. Giustifica in modo motivato se tale punto di intersezione è unico in quell'intervallo basandoti sulla crescenza delle funzioni.

Data la seguente funzione definita a tratti, calcola i limiti laterali nel punto di rottura $x = 3$ e determina se la funzione è continua in quel punto:

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un drone di sorveglianza segue una traiettoria la cui altezza è definita dalla funzione $h(t)$ (in metri) rispetto al tempo $t$ (in secondi). A causa di un cambiamento nel sistema di controllo, la funzione cambia in $t = 5$:

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Verifica se la transizione di altezza è continua all'istante $t = 5$, per evitare che il drone subisca un movimento brusco.

Studia la continuità della seguente funzione in tutto il suo dominio, classificando i punti di discontinuità che trovi:

Accompagna la tua analisi analitica con uno schema dei limiti laterali nei punti critici.

Data la funzione:

Studia la sua continuità nei punti $x = 1$ e $x = -1$. Se esistono discontinuità, indica di che tipo sono e se esiste un modo di ridefinire la funzione per eliminarle.

Studia la continuità della seguente funzione in tutto il suo dominio, classificando dettagliatamente ciascuno dei suoi punti di discontinuità:

$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Successivamente, se vi fosse qualche punto in cui la discontinuità è eliminabile, proponi una ridefinizione della funzione in tale punto per renderla continua in esso. Se non ce n'è nessuno, giustificalo.

Studia la continuità della funzione $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ nel punto $x = 0$. A tale scopo, calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Che tipo di discontinuità presenta la funzione in quel punto?

Classifica tutte le discontinuità della funzione $g(x)$ e determina i suoi asintoti verticali analizzando il comportamento della funzione in prossimità dei valori in cui non è definita:

Come definiresti la funzione nei punti di discontinuità eliminabile affinché risulti continua in essi?

Data la funzione $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$, si chiede di:

1. a) Trovare il valore del parametro $a \in \mathbb{R}$ affinché $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Con il valore di $a$ ottenuto nel punto precedente, definire una nuova funzione $g(x)$ tale che:

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Determinare $b$ e $c$ affinché $g(x)$ sia continua in $x = 1$.

Si considera la funzione dipendente dalle costanti reali $a, b, c, k \in \mathbb{R}$:

1. a) Ragionamento sui limiti finiti: Osserva che il denominatore del primo tratto si annulla in $x = 2$. Motiva perché, affinché la funzione abbia qualche possibilità di essere continua in $x = 2$, è strettamente necessario che anche il numeratore si annulli in $x = 2$. Che tipo di comportamento presenterebbe la funzione se tale numeratore non fosse zero?
2. b) Deduzione dei parametri in base al tipo di discontinuità: Si sa che, all'interno dell'intervallo $(-\infty, 2)$, la funzione presenta una discontinuità eliminabile nel punto $x = -2$. Con questa informazione e la deduzione del punto precedente, determina in modo univoco i valori dei coefficienti $a$ e $b$.
3. c) Raccordo dei tratti: Con i valori di $a$ e $b$ già calcolati, trova il valore del limite laterale $\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Quindi calcola il limite laterale destro $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ utilizzando gli infinitesimi equivalenti o la regola di de L'Hôpital. Infine, deduci quali valori devono assumere $c$ e $k$ per garantire che $f$ sia continua in $x = 2$.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la funzione $g(x)$ sia continua su tutta la retta reale $\mathbb{R}$:

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Data la funzione dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$:

Calcola il valore di $k$ affinché la funzione presenti una discontinuità di salto finito in $x = 3$. Esiste qualche valore di $k$ che la renda continua in quel punto? Motiva la tua risposta mediante il calcolo dei limiti laterali.

Un sistema di refrigerazione industriale regola la sua potenza $P$ (in kilowatt) in base alla temperatura esterna $T$ (in gradi Celsius) mediante la seguente funzione:

Determina il valore della costante $a$ affinché la transizione di potenza sia continua quando la temperatura passa per i $0\,^\circ C$.

Considera la funzione $f(x)$ definita da:

Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia continua nel suo dominio di definizione. Una volta trovati, indica se la funzione è continua in $x = -1$.

Si sta collaudando un nuovo prototipo di motore la cui accelerazione $a$ (in $m/s^2$) dipende dal tempo $t$ (in secondi) secondo l'espressione:

Calcola il valore di $m$ affinché l'accelerazione non subisca salti bruschi (sia continua) nell'istante $t = 2$ s.

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia continua in tutto $\mathbb{R}$:

Spiega dettagliatamente il procedimento seguito, verificando l'uguaglianza dei limiti laterali in ciascun punto di cambio di ramo.

Un gruppo di ingegneri robotici ha programmato il movimento di un braccio meccanico. La velocità dell'estremità del braccio (in m/s) segue la traiettoria:

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché il movimento del robot sia continuo (senza strappi bruschi) nell'istante $t = 4$ secondi.

Nella progettazione di un nuovo componente per un acceleratore di particelle, l'intensità di un campo magnetico in funzione della posizione $x$ (in millimetri) è definita dalla seguente funzione:

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché l'intensità del campo magnetico sia continua nel punto $x = 0$. Una volta trovati, la funzione sarebbe continua nel punto $x = 2$? Motiva analiticamente la tua risposta.