Distribuzione di Poisson e limite della binomiale
In una partita di Serie A si segnano in media circa 2,5 gol. Qual è la probabilità che una partita finisca 0 a 0? E quella che ci siano almeno 3 gol? Il numero di gol non ha un massimo evidente e non c'è un numero $n$ di «prove» da contare. Lo schema di Bernoulli non è quindi adatto. Serve un modello nuovo, quello di Poisson.
Eventi rari in un intervallo: la distribuzione di Poisson
Alcuni fenomeni sono conteggi di eventi che avvengono «a caso» nel tempo o nello spazio: le telefonate a un centralino, i clienti a uno sportello, i difetti su un rotolo di stoffa, i gol di una partita. Si osserva un intervallo fissato (10 minuti, un'ora, una partita) e si conta quante volte l'evento si verifica. Le ipotesi del modello sono queste:
-
gli eventi sono indipendenti tra loro;
-
il numero medio di eventi per intervallo è costante;
-
due eventi non avvengono nello stesso istante.
A differenza della binomiale, qui non c'è un massimo: $k$ può essere qualunque numero naturale. Le probabilità diventano però rapidamente molto piccole. La figura mostra il caso $\lambda=2$.
Quando compare «almeno» o «più di», conviene passare all'evento contrario. Infatti la somma infinita $P(X\ge 1)=P(1)+P(2)+\dots$ non si può calcolare termine per termine.
Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda = 2$. Calcola $P(X = 0)$ e $P(X = 3)$.
Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda = 2$. Calcola $P(X = 0)$ e $P(X = 3)$.
Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson con $\lambda = 1,5$. Calcola $P(X \le 1)$.
Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson con $\lambda = 1,5$. Calcola $P(X \le 1)$.
Valore atteso e varianza
Il parametro $\lambda$ è il numero medio di eventi, e questo coincide con il valore atteso. La proprietà più caratteristica della Poisson è che anche la varianza è uguale a $\lambda$.
Perché $E(X)=\lambda$? Nella somma $E(X)=\sum_{k\ge0}k\,e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$ il termine con $k=0$ è nullo. Per $k\ge1$ si ha $\dfrac{k}{k!}=\dfrac1{(k-1)!}$, quindi
$$E(X)=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k\ge1}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=e^{-\lambda}\lambda\cdot e^{\lambda}=\lambda.$$Nell'ultimo passaggio si usa lo sviluppo $e^{\lambda}=\sum_{j\ge0}\dfrac{\lambda^j}{j!}$. Questo sviluppo spiega anche perché la somma di tutte le probabilità vale 1: $\sum_k e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$.
Un rapporto utile
Il rapporto tra due probabilità consecutive è molto semplice:
$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k+1}/(k+1)!}{e^{-\lambda}\lambda^k/k!}=\frac{\lambda}{k+1}.$$Le probabilità crescono finché $\dfrac{\lambda}{k+1}>1$, cioè finché $k+1<\lambda$. Poi decrescono. Questo permette di trovare il valore di $k$ più probabile (la moda) senza calcolare tutte le probabilità. Con $\lambda=2{,}5$ il rapporto è maggiore di 1 solo per $k=0$ e $k=1$, quindi il massimo si ha per $k=2$.
Una variabile aleatoria di Poisson ha parametro $\lambda = 4$. Indica valore atteso, varianza e deviazione standard.
Una variabile aleatoria di Poisson ha parametro $\lambda = 4$. Indica valore atteso, varianza e deviazione standard.
Sia $X$ di Poisson di parametro $\lambda$. a) Dimostra che $\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = 1$. b) Dimostra che $E(X) = \lambda$. c) Dimostra che…
Sia $X$ di Poisson di parametro $\lambda$.
- a) Dimostra che $\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = 1$.
- b) Dimostra che $E(X) = \lambda$.
- c) Dimostra che $\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{\lambda}{k+1}$ e deduci per quale $k$ la probabilità è massima quando $\lambda = 4,7$.
La Poisson come limite della binomiale
Da dove viene la formula? Consideriamo $n$ prove di Bernoulli con probabilità di successo $p$ molto piccola, e $n$ molto grande. Un esempio è il numero di viti difettose in una scatola grande. Il valore atteso $np=\lambda$ resta fisso, ma $n$ cresce e $p=\lambda/n$ diminuisce. Allora
$$P(X=k)=\binom nk\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.$$Scriviamo $\binom nk=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ e riordiniamo i fattori:
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\to\,1}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to\,e^{-\lambda}}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to\,1}.$$La prima frazione tende a 1, perché ha $k$ fattori del tipo $\dfrac{n-j}{n}\to1$. Il terzo tende a 1 perché $k$ è fisso. Il secondo è un limite notevole e tende a $e^{-\lambda}$. Quindi
$$\lim_{n\to+\infty}\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$Il vantaggio è pratico. Calcolare $\binom{500}{k}$ è scomodo, mentre $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ si calcola subito.
Una fabbrica produce viti con probabilità di difetto $p = 0,004$. Una scatola contiene 500 viti. a) Calcola il valore atteso del numero di viti difettose. b) Approssima…
Una fabbrica produce viti con probabilità di difetto $p = 0,004$. Una scatola contiene 500 viti.
- a) Calcola il valore atteso del numero di viti difettose.
- b) Approssima con la distribuzione di Poisson la probabilità che ci siano al massimo 2 viti difettose.
Sia $X \sim B(n, p)$ con $np = \lambda$ fissato. Dimostra che, per $n \to +\infty$, $$P(X = k) \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$ utilizzando $\binom{n}{k}$,…
Sia $X \sim B(n, p)$ con $np = \lambda$ fissato. Dimostra che, per $n \to +\infty$,
$$P(X = k) \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$utilizzando $\binom{n}{k}$, $p = \lambda/n$ e il limite notevole $\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}$.
Cambiare intervallo: il parametro si scala
Spesso il dato è un tasso riferito a un intervallo, mentre la domanda riguarda un intervallo diverso. Per esempio, a uno sportello arrivano in media 12 clienti all'ora e si vuole la probabilità relativa a 15 minuti. Il numero medio di eventi è proporzionale alla durata, quindi $\lambda$ si scala:
$$\lambda_{\text{nuovo}}=\lambda_{\text{dato}}\cdot\frac{\text{nuova durata}}{\text{durata data}}.$$Nell'esempio, 15 minuti sono un quarto di ora, quindi $\lambda=12\cdot\frac14=3$.
Questo giustifica la scala: il conteggio su due intervalli consecutivi e indipendenti è la somma dei due conteggi. I parametri si sommano perché i valori attesi si sommano: $E(X+Y)=\lambda_1+\lambda_2$.
A uno sportello postale di Torino arrivano in media 3 clienti ogni 10 minuti. Assumendo un modello di Poisson, calcola la probabilità che in 10 minuti arrivino: a)…
A uno sportello postale di Torino arrivano in media 3 clienti ogni 10 minuti. Assumendo un modello di Poisson, calcola la probabilità che in 10 minuti arrivino:
- a) esattamente 2 clienti;
- b) almeno 1 cliente;
- c) più di 3 clienti.
Un centralino riceve in media 6 chiamate all'ora. Calcola la probabilità che in 30 minuti non arrivi nessuna chiamata e la probabilità che ne arrivino almeno 2,…
Un centralino riceve in media 6 chiamate all'ora. Calcola la probabilità che in 30 minuti non arrivi nessuna chiamata e la probabilità che ne arrivino almeno 2, supponendo valido il modello di Poisson.
Un'azienda di Napoli riceve in media 2 reclami al giorno (modello di Poisson). Calcola la probabilità che in una settimana di 5 giorni lavorativi i reclami siano al più…
Un'azienda di Napoli riceve in media 2 reclami al giorno (modello di Poisson). Calcola la probabilità che in una settimana di 5 giorni lavorativi i reclami siano al più 8, giustificando perché il numero totale è ancora di Poisson. Determina poi il numero minimo $m$ tale che $P(X \le m) \ge 0,95$ nella settimana.
Vuelve al principio: i gol di una partita
Con $\lambda=2{,}5$ abbiamo trovato $P(0\text{ gol})\approx0{,}082$, cioè circa l'8% di 0 a 0. Per «almeno 3 gol» si usa l'evento contrario: $P(X\ge3)=1-[P(0)+P(1)+P(2)]$, con $P(1)\approx0{,}205$ e $P(2)\approx0{,}257$. Si ottiene $1-0{,}544=0{,}456$, quindi quasi una partita su due.
In sintesi
-
La Poisson di parametro $\lambda$ conta gli eventi rari e indipendenti in un intervallo: $P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$, con $k=0,1,2,\dots$
-
$E(X)=\lambda$, $\operatorname{Var}(X)=\lambda$, $\sigma=\sqrt{\lambda}$.
-
Le probabilità consecutive hanno rapporto $\dfrac{\lambda}{k+1}$: crescono finché $k+1<\lambda$.
-
Per $n$ grande e $p$ piccolo, $B(n,p)$ si approssima con Poisson di $\lambda=np$ (limite con $\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\to e^{-\lambda}$).
-
Il parametro si scala con la durata dell'intervallo, e la somma di Poisson indipendenti è di Poisson con $\lambda$ somma.
-
Per «almeno» e «più di», passa all'evento contrario.