Applicazione al calcolo dei limiti. Regola di de l'Hôpital
Quanto vale $\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{\sin x}$? Sostituendo si trova $\frac00$, ma qui non c'è nulla da scomporre né da razionalizzare: i trucchi algebrici dei limiti non bastano più. La regola di de l'Hôpital sostituisce il quoziente delle funzioni con il quoziente delle loro derivate, e in molti casi il calcolo diventa immediato.
La regola: quoziente delle derivate
Calcola il seguente limite utilizzando la regola di de l'Hôpital, verificando prima che si presenti la forma indeterminata necessaria: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x +…
Calcola il seguente limite utilizzando la regola di de l'Hôpital, verificando prima che si presenti la forma indeterminata necessaria:
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$Nello studio della propagazione di un segnale elettromagnetico compare la seguente espressione per calcolare l'intensità in un punto critico. Trova il valore del limite…
Nello studio della propagazione di un segnale elettromagnetico compare la seguente espressione per calcolare l'intensità in un punto critico. Trova il valore del limite quando il tempo $t$ tende a $0$:
$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$Determina il valore del seguente limite di una funzione logaritmica. Ricorda di derivare correttamente numeratore e denominatore separatamente: $$\lim_{x \to 1}…
Determina il valore del seguente limite di una funzione logaritmica. Ricorda di derivare correttamente numeratore e denominatore separatamente:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$Forme $\infty/\infty$ e applicazione ripetuta
La regola funziona allo stesso modo quando numeratore e denominatore tendono a infinito. Se dopo la prima derivazione la forma è ancora indeterminata, si deriva di nuovo.
Calcola il limite della seguente funzione razionale all'infinito. Anche se potresti risolverlo confrontando i gradi, utilizza la regola di de l'Hôpital per dimostrare il…
Calcola il limite della seguente funzione razionale all'infinito. Anche se potresti risolverlo confrontando i gradi, utilizza la regola di de l'Hôpital per dimostrare il risultato:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$Nello studio della propagazione di un segnale wifi in un ambiente con interferenze, la perdita di intensità è stata modellizzata mediante la seguente funzione della…
Nello studio della propagazione di un segnale wifi in un ambiente con interferenze, la perdita di intensità è stata modellizzata mediante la seguente funzione della distanza $x$ (in metri):
$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$Calcola il limite di questa funzione quando la distanza $x$ tende a $0$, cioè $\lim_{x \to 0} f(x)$, per determinare il comportamento del segnale nel punto di emissione.
Si vuole studiare la convergenza di un algoritmo di intelligenza artificiale. Il tasso di errore in funzione del numero di iterazioni $x$ è definito come: $$E(x) =…
Si vuole studiare la convergenza di un algoritmo di intelligenza artificiale. Il tasso di errore in funzione del numero di iterazioni $x$ è definito come:
$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$Dimostra, utilizzando la regola di de l'Hôpital, che quando il numero di iterazioni tende a infinito ($x \to \infty$), il tasso di errore tende a $0$. Che cosa ci dice questo sull'efficienza dell'algoritmo a lungo termine?
Parametri incogniti e valore del limite
Nei problemi della seconda prova capita spesso che la funzione contenga parametri $a$, $b$, e che sia dato il valore (o solo l'esistenza) del limite. Si deriva trattando i parametri come numeri e si impone, a ogni passo, che il numeratore si annulli.
Un gruppo di ingegneri del suono sta analizzando la risposta di un filtro audio. Il guadagno del filtro in funzione della frequenza $x$ è dato dall'espressione: $$G(x) =…
Un gruppo di ingegneri del suono sta analizzando la risposta di un filtro audio. Il guadagno del filtro in funzione della frequenza $x$ è dato dall'espressione:
$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$Sapendo che il limite del guadagno quando la frequenza tende a zero è uguale a $-1$, cioè $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcola, motivando, i valori dei parametri $a$ e $b$.
Data la funzione dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$: $$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$ Calcola il valore di $k$ affinché il limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ sia…
Data la funzione dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$:
$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$Calcola il valore di $k$ affinché il limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ sia un numero reale finito e determina tale valore. Spiega perché è necessario che l'espressione del numeratore si annulli in $x=0$ per poter applicare la regola.
Nella progettazione di una nuova montagna russa, la curvatura di un tratto iniziale è determinata dall'esistenza del limite di una funzione di transizione. Perché il…
Nella progettazione di una nuova montagna russa, la curvatura di un tratto iniziale è determinata dall'esistenza del limite di una funzione di transizione. Perché il progetto sia fattibile, si richiede che il seguente limite sia un numero reale finito:
$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 3 + x}{x^2}$$Calcola, motivando, i valori dei parametri $a, b \in \mathbb{R}$ affinché tale limite esista e sia finito. Una volta ottenuti, calcola il valore di tale limite.
Altre forme indeterminate: ricondurle a $0/0$ o $\infty/\infty$
Le forme $+\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$ non si derivano direttamente: prima vanno trasformate in un quoziente.
Calcola il valore del seguente limite trasformando prima la forma indeterminata di tipo $\infty - \infty$ in un quoziente, in modo da poter applicare la regola di de…
Calcola il valore del seguente limite trasformando prima la forma indeterminata di tipo $\infty - \infty$ in un quoziente, in modo da poter applicare la regola di de l'Hôpital:
$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$Determina il valore del seguente limite, che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Per risolverlo, utilizza le proprietà dei logaritmi e la regola di de…
Determina il valore del seguente limite, che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Per risolverlo, utilizza le proprietà dei logaritmi e la regola di de l'Hôpital:
$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$In un laboratorio di biotecnologie, la crescita di una popolazione di batteri in un ambiente controllato segue una legge il cui tasso di accumulo cumulato si esprime…
In un laboratorio di biotecnologie, la crescita di una popolazione di batteri in un ambiente controllato segue una legge il cui tasso di accumulo cumulato si esprime mediante un integrale. Si vuole studiare il comportamento della densità della popolazione nell'istante iniziale calcolando il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$Utilizza la regola di de l'Hôpital e il teorema fondamentale del calcolo integrale per determinare il valore di questo limite.