Successioni; limite di una successione

Data la successione il cui termine generale è $a_n = \frac{1}{n^2}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$

1. a) Scrivi i primi quattro termini della successione.

1. b) Ragiona, in modo intuitivo, su quale sia il valore del suo limite quando $n$ tende a infinito:

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

Si stima che il valore di un computer portatile dopo $n$ anni sia dato dalla successione $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcola il limite di questa successione e interpreta che cosa significa il risultato nel contesto della svalutazione dell'apparecchio.

$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$

Data la successione $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, dimostra mediante la definizione formale di limite ($\varepsilon$ e $N$) che il suo limite è $L = 3$.

A tal fine, per un valore di $\varepsilon = 0,001$, determina da quale termine $N$ della successione risulta che $|a_n - L| < \varepsilon$.

Calcola il limite della seguente successione razionale confrontando i gradi del numeratore e del denominatore:

$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$

In un social network, il numero di "mi piace" di un post nelle prime ore segue la progressione $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, dove $n$ è il numero di ore dalla pubblicazione. Che cosa accade alla quantità di "mi piace" a lunghissimo termine? Calcola:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$

Calcola il limite della seguente successione analizzando i gradi dei polinomi e giustificando il risultato mediante il confronto dei termini di grado maggiore:

$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$

Trova i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché valga la seguente uguaglianza tra il limite della successione e il valore indicato:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$

Calcola il limite della seguente successione che coinvolge una radice quadrata, analizzando il termine di grado maggiore:

$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$

Il grafico mostra alcuni dei suoi primi termini (a partire da $n=3$).

Risolvi il limite della successione $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$.

Per visualizzarne il comportamento, nella figura sono rappresentati i primi otto termini $a_1, a_2, \dots, a_8$. Osserva verso quale valore sembrano avvicinarsi e poi giustifica il risultato con il calcolo del limite (per esempio, moltiplicando e dividendo per il coniugato).

Calcola il limite della seguente successione, che presenta una sottrazione di frazioni con denominatore diverso:

$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$

Indica se la successione è divergente o convergente dopo aver risolto la forma indeterminata $\infty - \infty$.

Utilizzando il confronto degli ordini di infinito (esponenziale rispetto a polinomiale), trova il limite della successione:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

In un compito di Matematica, Marco deve calcolare il limite della seguente successione:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + n!}{2\cdot n! - 3^n}$$

Per risolverlo, Marco scrive il seguente svolgimento:

«Al numeratore, $5^n$ è una funzione esponenziale di base 5, quindi domina su $n!$. Al denominatore accade lo stesso con $3^n$, che domina su $2\cdot n!$. Pertanto, il limite equivale a $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{-3^n} = -\lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^n = -\infty$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale che commette Marco in relazione alla gerarchia degli infiniti ($\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n$).
2. b) Correggi la sua risoluzione: raccogli a fattor comune, al numeratore e al denominatore, il termine che domina davvero all'infinito e calcola il valore corretto del limite.

Date le seguenti successioni, utilizza la gerarchia degli infiniti per determinare, senza eseguire lunghe operazioni algebriche, quale sia il valore del loro limite quando $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Nello studio degli algoritmi di calcolo, è fondamentale conoscere la velocità con cui crescono certe funzioni. Calcola il limite della seguente successione confrontando gli ordini di infinito dei diversi termini (fattoriali, esponenziali e potenze):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Spiega in modo motivato quale termine domina al numeratore e quale al denominatore per giustificare il tuo risultato.

Data la successione di termine generale:

$$a_n = \frac{6n^2 + \cos(n)\cdot \sqrt{n}}{2n^2 + 5}$$

1. a) Stima: Analizza quali termini crescono più rapidamente al numeratore e al denominatore quando $n$ tende a infinito. Tenendo conto che i valori della funzione coseno oscillano limitati nell'intervallo $[-1, 1]$, fai una stima intuitiva e motivata del valore a cui deve convergere la successione prima di eseguire i calcoli formali.
2. b) Verifica: Dimostra formalmente la tua stima applicando il teorema del confronto (dei due carabinieri). Per farlo, costruisci due semplici successioni $b_n$ e $c_n$ che verifichino la disuguaglianza $b_n \le a_n \le c_n$ per ogni $n \ge 1$, calcola $\lim_{n \to \infty} b_n$ e $\lim_{n \to \infty} c_n$, e conferma se il risultato ottenuto coincide con il valore stimato.

In un laboratorio di biotecnologie, il numero di batteri di un ceppo (in milioni) dopo $n$ ore è modellizzato dalla successione:

$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$

Determina la popolazione di batteri quando il tempo tende a infinito. Ragiona su che cosa accade al termine $\text{sen}(n)$ nel calcolo del limite.

Utilizza il teorema del confronto (o dei due carabinieri) per trovare il valore del limite della successione $a_n$ definita dalla seguente somma di frazioni:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Si vuole trovare il limite della successione formata dalla seguente somma di $n$ addendi:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$$

Per risolverlo, due studenti di quinto liceo propongono strade diverse:

• Proposta di Saverio: «Poiché il limite di una somma è la somma dei limiti, calcolo il limite di ciascun addendo quando $n \to \infty$. Poiché $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 0$ per qualsiasi $k$, la somma di tutti i limiti dà $0 + 0 + \dots + 0 = 0$. Quindi, $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$».

• Proposta di Elena: «Il metodo di Saverio non è valido perché il numero di addendi non è fisso, ma dipende da $n$ e tende a infinito. Dobbiamo limitare la somma completa sostituendo tutti i denominatori con il maggiore e con il minore per applicare poi il teorema del confronto».

1. a) Analizza la proposta di Saverio: spiega perché la proprietà algebrica del limite di una somma non può essere applicata in questo caso e proponi un semplice controesempio in cui una somma di $n$ termini che tendono singolarmente a zero converga a un valore diverso da zero.
2. b) Applica la proposta di Elena: determina in modo motivato due successioni $b_n$ e $c_n$ tali che $b_n \le S_n \le c_n$, calcola i rispettivi limiti quando $n \to \infty$ e deduci il vero valore di $\lim_{n \to \infty} S_n$.

Nella figura sono rappresentati, per $n=1,2,\dots,10$, i termini di due successioni: i punti blu corrispondono a $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ e i punti verdi a

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$

1. a) Individua quale delle due successioni della figura (blu o verde) corrisponde alla definizione del numero $e$ e scrivine il limite.

1. b) Calcola $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ (i punti verdi), ragionando a partire dalla definizione di $e$, e verifica che il risultato sia coerente con l'andamento che si osserva nella figura.

Un investitore analizza la crescita di una criptovaluta la cui evoluzione giornaliera segue la legge di una successione di tipo esponenziale. Il valore relativo dopo $n$ giorni è dato da:

$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$

Calcola il valore a cui tende la moneta a lungo termine utilizzando la relazione con il numero $e$.

Trova il valore dei parametri reali $k$ e $t$ affinché sia verificata la seguente uguaglianza:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$

Sapendo che il limite della base è $1$ e che il risultato finale è $e^2$.

Considera la successione data da:

$$a_n = \left(\frac{3n + a}{3n - 1}\right)^{b\cdot n + 2}$$

dove $a$ e $b$ sono costanti reali fissate, con $b > 0$.

1. a) Giustifica che la base della potenza tende a $1$ e l'esponente a $+\infty$ quando $n \to \infty$, individuando il tipo di forma indeterminata che la successione presenta.
2. b) Problema inverso: Determina i valori esatti dei parametri $a$ e $b$ sapendo che la successione converge al numero reale $e^4$ e che entrambi soddisfano la relazione lineare $a - 2b = 1$. Mostra tutto il procedimento applicando l'equivalenza $\lim_{n \to \infty} (u_n)^{v_n} = e^L$, con $L = \lim_{n \to \infty} v_n \cdot (u_n - 1)$.
3. c) Con i valori trovati, calcola in modo motivato il limite della successione ausiliaria $s_n = \ln(a_n)$ giustificando la proprietà dei limiti e della continuità che utilizzi.

Calcola il valore del seguente limite di una successione che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$, prestando particolare attenzione alla manipolazione algebrica della base e dell'esponente:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Studia il comportamento della successione ricorsiva definita da:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$

Se supponiamo che la successione sia convergente e che il suo limite sia $L$ ($L > 0$), calcola tale valore risolvendo l'equazione $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. A quale famosa costante irrazionale corrisponde questo risultato?

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) studia l'evoluzione demografica di un comune rurale nella zona dell'Appennino. Il numero di abitanti all'inizio dell'anno $n+1$, indicato con $P_{n+1}$, è modellizzato a partire dalla popolazione dell'anno precedente $P_n$ mediante la seguente relazione di ricorrenza:

$$P_{n+1} = 0,95\cdot P_n + 30$$

Il coefficiente $0,95$ modellizza una perdita netta annua del $5\,\%$ dovuta al saldo naturale e migratorio, mentre la costante $30$ rappresenta i nuovi residenti che si iscrivono ogni anno all'anagrafe attratti da incentivi per il lavoro da remoto.

1. a) Se nell'anno iniziale il censimento è di $P_1 = 800$ abitanti, calcola in modo motivato la popolazione dei tre anni successivi ($P_2$, $P_3$ e $P_4$) arrotondando i risultati a numeri interi, e indica la tendenza immediata che osservi.
2. b) Sapendo che la successione è convergente e che il suo limite finito $L = \lim_{n \to \infty} P_n$ soddisfa l'equazione del punto fisso $L = f(L)$, calcola verso quale numero di abitanti tenderà la popolazione del comune a lungo termine.
3. c) Interpreta il valore di $L$ nel contesto socio-demografico del problema: la località finirà per spopolarsi completamente o raggiungerà un equilibrio demografico stabile? Giustifica la tua risposta.

Si definisce una successione in forma ricorsiva mediante la formula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Supponendo che la successione sia convergente (puoi visualizzarne il comportamento nel diagramma sottostante), calcola il valore esatto del suo limite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Un drone di sorveglianza è programmato per eseguire una serie di salti in linea retta. Nel primo secondo percorre $d$ metri. In ogni secondo successivo, percorre una distanza pari alla metà di quella percorsa nel secondo precedente più un metro extra per compensare il vento. Se $x_n$ è la distanza totale accumulata dopo $n$ secondi:

1. a) Trova l'espressione del termine generale della distanza percorsa in ciascun secondo $a_n$.
2. b) Determina la distanza che il drone percorrerà in un dato secondo quando $n$ tende a infinito (cioè $\lim_{n \to \infty} a_n$).

Determina il limite della seguente successione, che coinvolge una differenza di radici di indice diverso (cubica e quadrata). Per risolverlo, dovrai far comparire un fattore comune o utilizzare la tecnica di sommare e sottrarre un termine intermedio che permetta di separare l'espressione in due limiti trattabili:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

Considera la successione con radici di indice diverso:

$$a_n = \sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt[3]{n^3 + 3n^2}$$

1. a) Stima: Per valori molto grandi di $n$, approssima il comportamento di ciascun termine completando quadrati e cubi: osserva che $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9 \approx (n+3)^2$ e che $n^3 + 3n^2 = (n+1)^3 - (3n+1) \approx (n+1)^3$. A partire da questa approssimazione asintotica informale, proponi una stima motivata del limite della successione prima di operare.
2. b) Verifica: Dimostra rigorosamente il valore esatto del limite sommando e sottraendo il termine ausiliario $n$ per trasformare l'espressione nella differenza di due blocchi trattabili:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right) - \left(\sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - n\right) \right]$$

Moltiplica e dividi ciascun blocco per la sua espressione coniugata corrispondente (utilizzando nel blocco cubico l'identità $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$), calcola il limite di ciascuna parte e verifica se il risultato coincide con la tua stima.

1. c) Giustifica l'errore tipico: Spiega in modo motivato perché un procedimento che conservi unicamente il termine di grado maggiore all'interno di ciascun radicale (ponendo $\sqrt{n^2} - \sqrt[3]{n^3} = n - n = 0$) conduce a una conclusione errata, precisando perché in una sottrazione che genera una forma indeterminata $\infty - \infty$ non è consentito ignorare i termini di grado inferiore.