Funzioni di variabile reale. Tipi di funzioni

Determina il dominio di definizione delle seguenti funzioni di variabile reale in base alle restrizioni delle operazioni che le compongono:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

Classifica le seguenti funzioni in base al loro tipo (polinomiale, razionale, irrazionale, esponenziale o logaritmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Considera la funzione $f(x) = \ln\left(\dfrac{8 - x}{x + 3}\right)$.

1. Stima ed esplora:

a) Prima di risolvere formalmente qualsiasi disequazione, valuta mentalmente il segno del quoziente per i valori di prova $x = -5$, $x = 0$ e $x = 10$. Per quali di essi $f(x)$ è ben definita e per quali no?

b) A partire da questa esplorazione, stima se il dominio sarà un intervallo aperto e limitato $(a, b)$ o una semiretta illimitata verso l'infinito. Quali valori intuisci che saranno i suoi estremi?

1. Calcola: Determina con rigore analitico il dominio di $f(x)$ impostando la disequazione richiesta dal logaritmo e studiando il segno del numeratore e del denominatore.

2. Verifica e rifletti: Confronta il dominio ottenuto con la tua stima. Successivamente, ragiona su che cosa accade al valore di $f(x)$ quando $x$ si avvicina a $8$ da sinistra ($x \to 8^-$) e quando si avvicina a $-3$ da destra ($x \to -3^+$).

Determina il dominio di definizione più ampio possibile per la seguente funzione reale di variabile reale, esprimendo il risultato mediante l'unione di intervalli:

Per risolverlo, dovrai considerare contemporaneamente le restrizioni imposte dalla radice quadrata, dal logaritmo naturale e dal denominatore della frazione.

Data la funzione con valore assoluto $f(x) = |x - 3|$, rappresentala come funzione definita a tratti e calcola il suo valore per $x = 0$ e $x = 5$.

Un'azienda di telefonia offre un piano dati in cui i primi $10$ GB costano $15$ € fissi. Da lì in poi, ogni GB extra costa $2$ €. La funzione che rappresenta il costo totale $C(x)$ in funzione dei GB consumati $x$ è:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Studia se la funzione è continua nel punto critico $x = 10$.

Un parcheggio pubblico nel centro di Napoli applica una tariffa a rotazione che dipende dal tempo di sosta $t$ (in minuti) secondo le seguenti condizioni durante le prime 3 ore ($0 \le t \le 180$):

• Durante i primi 20 minuti ($0 \le t \le 20$), si paga una tariffa fissa di ingresso di $0,80$ €, indipendentemente dai minuti esatti utilizzati in quella frazione.

• Dal minuto 20 fino a 120 minuti ($20 < t \le 120$), si fattura al ritmo di $0,03$ € per ogni minuto trascorso a partire dal minuto 20, che si sommano ai $0,80$ € iniziali.

• A partire dalle due ore ($120 < t \le 180$), si paga una tariffa forfettaria fissa di $4,50$ €.

1. a) Scrivi l'espressione della funzione prezzo $P(t)$ (in euro) come funzione definita a tratti per $t \in [0, 180]$.
2. b) Verifica analiticamente se la funzione è continua negli istanti di cambio di tratto ($t = 20$ e $t = 120$) calcolando i corrispondenti limiti laterali.
3. c) Interpreta economicamente il risultato: l'utente subisce un salto brusco nel pagamento in uno di questi due momenti o il costo evolve in modo continuo?

Un nuovo servizio di streaming di videogiochi applica una tariffa mensile basata sul consumo di dati ad alta velocità. I primi $20$ GB sono inclusi in una quota fissa di $15$ €. Da lì in poi, il prezzo per ogni GB aggiuntivo aumenta in modo lineare secondo la funzione $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, dove $x$ è il numero totale di GB consumati.

Tuttavia, se l'utente supera i $100$ GB, l'azienda applica una penale per eccesso di traffico e la funzione diventa $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Scrivi l'espressione analitica della funzione costo totale $C(x)$ come funzione definita a tratti e verifica se il prezzo "salta" o è continuo proprio nel momento in cui si consumano $100$ GB.

Sergio deve determinare il dominio della funzione composta $(f \circ g)(x)$, dove $f(x) = x^2$ e $g(x) = \sqrt{2x - 6}$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Calcolo prima l'espressione analitica:

Poiché il risultato è un polinomio di primo grado e i polinomi esistono per qualsiasi numero reale, il dominio di $(f \circ g)$ è $\mathbb{R}$.»

1. a) Indica qual è l'errore concettuale commesso da Sergio nell'applicare la definizione di funzione composta.
2. b) Spiega perché il dominio della composizione non può essere $\mathbb{R}$ e calcola il dominio corretto di $(f \circ g)$.
3. c) Se rappresentassi in un sistema di assi cartesiani la retta completa $y = 2x - 6$ e il grafico reale di $(f \circ g)(x)$, in che cosa si differenzierebbero visivamente?

Date le funzioni $f(x) = x + 3$ e $g(x) = x^2 - 1$, esegui le seguenti operazioni e determina il dominio della funzione risultante:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Considera le funzioni $f(x) = \sqrt{x + 2}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Determina l'espressione della funzione composta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina il dominio di $(g \circ f)(x)$.

3. Questo dominio coincide con quello della funzione $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Giustifica la risposta.

Determina la funzione inversa $f^{-1}(x)$ della funzione $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica il dominio e il codominio di entrambe le funzioni e verifica graficamente la loro simmetria rispetto alla bisettrice del primo quadrante.

Studia la simmetria (pari, dispari o priva di simmetria) delle seguenti funzioni giustificando i passaggi mediante il calcolo di $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Funzione coseno iperbolico)

Si considera la famiglia di funzioni $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ dove $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Dimostra che per qualsiasi valore di $k$ la funzione è pari.

2. Determina i punti di intersezione con gli assi in funzione di $k$.

3. Trova il valore di $k$ affinché la funzione assuma il valore $y = 1/2$ quando $x = 3$.

4. Discuti se esiste qualche valore di $k$ per il quale la funzione abbia asintoti verticali.

Ogni funzione $f(x)$ può essere scomposta in modo unico, nei punti $x$ in cui esistono sia $f(x)$ sia $f(-x)$, come somma di una funzione pari $g(x)$ e di una funzione dispari $h(x)$, in modo tale che:

Data la funzione $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, determina le sue componenti pari e dispari. Verifica analiticamente che effettivamente $g(x)$ è una funzione pari e $h(x)$ è una funzione dispari. Quali sono i domini di ciascuna di queste tre funzioni?