Teorema fondamentale del calcolo integrale e formula di Newton-Leibniz
Nel XVII secolo Torricelli e Barrow si accorsero di una cosa sorprendente: l'area sotto una curva e la pendenza della tangente sono due facce della stessa medaglia. Finora hai calcolato aree sommando rettangoli o confrontando con figure note, ma per una funzione qualsiasi è un metodo impraticabile. Come si calcola l'area sotto $f(x)=3x^2+2$ tra $0$ e $2$ senza sommare nulla? La risposta è in questa pagina.
La funzione integrale
Fissa l'estremo inferiore $a$ e lascia variare quello superiore: per ogni $x$, $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ è l'area accumulata da $a$ fino a $x$. Ottieni così una nuova funzione, un valore per ogni $x$.
Data una funzione $f(x)$ continua nell'intervallo $[1, 8]$, sono noti i valori dei seguenti integrali definiti: $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$ $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$…
Data una funzione $f(x)$ continua nell'intervallo $[1, 8]$, sono noti i valori dei seguenti integrali definiti:
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$\int_1^5 f(x) \, dx = 7$
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$\int_5^8 f(x) \, dx = -3$
Utilizza le proprietà dell'integrale definito per calcolare il valore di $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Ecco il collegamento tra area e pendenza: la derivata dell'«area accumulata» è semplicemente la funzione di partenza.
Se l'estremo superiore non è $x$ ma una funzione di $x$, entra in gioco la derivata della funzione composta.
Determina il valore della derivata della seguente funzione integrale nel punto $x = 2$: $$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$ Spiega quale teorema matematico stai…
Determina il valore della derivata della seguente funzione integrale nel punto $x = 2$:
$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$Spiega quale teorema matematico stai utilizzando per risolvere il problema senza dover calcolare la primitiva.
Un programmatore di videogiochi sta progettando la traiettoria di un proiettile. La velocità dell'oggetto in funzione del tempo $t$ è data dall'espressione…
Un programmatore di videogiochi sta progettando la traiettoria di un proiettile. La velocità dell'oggetto in funzione del tempo $t$ è data dall'espressione $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.
Applica il teorema fondamentale del calcolo integrale per trovare l'espressione dell'accelerazione istantanea $a(t)$, sapendo che l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo ($a(t) = v'(t)$).
Calcola la funzione derivata $F'(x)$ della seguente funzione integrale utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola della catena: $$F(x) =…
Calcola la funzione derivata $F'(x)$ della seguente funzione integrale utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola della catena:
$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$Indica il dominio di definizione della funzione $F(x)$ affinché l'integrale sia ben definito.
Studiare una funzione integrale
Spesso una funzione integrale non ha una primitiva elementare, ma si può studiare lo stesso: la sua derivata è nota grazie al teorema fondamentale.
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$F'(x)=f(x)$: il segno dell'integranda dice dove $F$ cresce o decresce.
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I punti in cui $f$ cambia segno sono estremi relativi di $F$.
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$F''(x)=f'(x)$: il segno di $f'$ dà la concavità e i flessi di $F$.
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Il valore $F(a)=0$ ti ancora il grafico; per la tangente in $x_0$ servono $F(x_0)$ e $F'(x_0)=f(x_0)$.
Data la funzione integrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$: a) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza di $H(x)$. b) Determina le coordinate…
Data la funzione integrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:
- a) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza di $H(x)$.
- b) Determina le coordinate degli estremi relativi (massimi o minimi) di $H(x)$ e classificali.
Un gruppo di ingegneri sta progettando la traiettoria di un drone da corsa. La velocità verticale del drone nell'intervallo di tempo $[0, 4]$ secondi è data dalla…
Un gruppo di ingegneri sta progettando la traiettoria di un drone da corsa. La velocità verticale del drone nell'intervallo di tempo $[0, 4]$ secondi è data dalla funzione $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.
- a) Senza calcolare esplicitamente l'integrale, giustifica perché il drone sale sempre o si mantiene alla stessa altezza.
- b) Calcola l'accelerazione verticale del drone all'istante $t = 1$ secondo.
- c) In quale istante l'accelerazione verticale è massima? Giustifica la tua risposta studiando la derivata seconda della posizione.
La formula di Newton-Leibniz
Il teorema fondamentale ci dice che una primitiva c'è sempre e che l'integrale definito si ottiene con una qualunque primitiva: la valuti agli estremi e fai la differenza. Niente più somme di rettangoli.
Un pannello solare termico ha un progetto la cui sezione trasversale superiore è delimitata dalla funzione $f(x) = 3x^2 + 2$, dove $x$ si misura in metri. Calcola il…
Un pannello solare termico ha un progetto la cui sezione trasversale superiore è delimitata dalla funzione $f(x) = 3x^2 + 2$, dove $x$ si misura in metri. Calcola il valore dell'integrale definito nell'intervallo $[0, 2]$ utilizzando la regola di Barrow.
Il consumo elettrico di un'abitazione durante la prima ora del mattino è modellizzato dalla funzione $f(x) = e^x + x$, dove $x$ è il tempo in ore. Calcola il consumo…
Il consumo elettrico di un'abitazione durante la prima ora del mattino è modellizzato dalla funzione $f(x) = e^x + x$, dove $x$ è il tempo in ore. Calcola il consumo totale accumulato, rappresentato dall'integrale definito:
$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$Determina il valore del parametro reale positivo $a$ sapendo che l'area delimitata dalla curva $f(x) = 3x^2$, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = a$ è…
Determina il valore del parametro reale positivo $a$ sapendo che l'area delimitata dalla curva $f(x) = 3x^2$, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = a$ è esattamente uguale a 27 unità di area. Utilizza a tal fine la formula di Newton-Leibniz.
Aree, valore medio e funzioni a tratti
La formula di Newton-Leibniz dà un integrale con segno. Per l'area geometrica devi controllare il segno della funzione.
Calcola l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x) = \sin(x)$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = \pi$.…
Calcola l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x) = \sin(x)$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = \pi$. Disegna la regione prima di applicare la regola di Barrow.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcola il valore dell'integrale definito nell'intervallo $[0, 3]$ utilizzando la formula di Newton-Leibniz: $$\int_0^3 |x^2 - 2x|…
Data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcola il valore dell'integrale definito nell'intervallo $[0, 3]$ utilizzando la formula di Newton-Leibniz:
$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$Spiega brevemente perché è necessario dividere l'intervallo di integrazione per risolvere questo esercizio.
Il logo di un nuovo marchio di abbigliamento urbano è delimitato dai grafici delle funzioni $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ e $g(x) = ax$, con $a > 0$, nel primo…
Il logo di un nuovo marchio di abbigliamento urbano è delimitato dai grafici delle funzioni $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ e $g(x) = ax$, con $a > 0$, nel primo quadrante.
- a) Determina il valore di $a$ affinché la retta $y = ax$ passi per il massimo relativo della funzione $f(x)$ nell'intervallo $[0, 1]$.
- b) Per il valore di $a$ trovato, calcola mediante la formula di Newton-Leibniz l'area della regione racchiusa tra i due grafici.
In sintesi
Rispondiamo ora alla domanda iniziale: $\int_0^2(3x^2+2)\,dx=\bigl[x^3+2x\bigr]_0^2=12$, senza sommare un solo rettangolo.