Superficie sferica

L'equazione della superficie sferica

Nello spazio la distanza tra due punti $P(x_1; y_1; z_1)$ e $Q(x_2; y_2; z_2)$ si calcola come nel piano, con una coordinata in più:

Questa formula nasce da due applicazioni del teorema di Pitagora, una nel piano $xy$ e una con la differenza di quota.

Se $C(a; b; c)$ e $P(x; y; z)$, la condizione $\overline{CP}=r$ diventa, elevando al quadrato, l'equazione in forma canonica:

Il quadrato serve a eliminare la radice. Il raggio compare come $r^2$ nel termine noto.

Per sapere se un punto $P$ è interno, esterno o sulla superficie, confronta $\overline{CP}^2$ con $r^2$:

• $\overline{CP}^2

• $\overline{CP}^2=r^2$: $P$ appartiene alla superficie;

• $\overline{CP}^2>r^2$: $P$ è esterno.

Forma generale e superficie sferica per un diametro

Sviluppando i quadrati della forma canonica si ottiene un'equazione del tipo

Il metodo pratico è il completamento del quadrato, lo stesso della circonferenza: per ogni variabile si raggruppano i termini e si completa.

Un caso frequente: la superficie sferica di cui conosci un diametro $AB$. Il centro è il punto medio di $AB$ e il raggio è la metà di $\overline{AB}$.

Superficie sferica e piano: posizione, tangenza, intersezione

Per studiare la posizione di un piano $\pi: ax+by+cz+d=0$ rispetto alla superficie sferica di centro $C$ e raggio $r$ serve la distanza del centro dal piano:

Confronta $d=d(C,\pi)$ con $r$:

• $d>r$: il piano è esterno, nessun punto in comune;

• $d=r$: il piano è tangente, un solo punto in comune;

• $dsecante e interseca la superficie in una circonferenza.

Nel caso secante il piano taglia la superficie in una circonferenza di centro $H$ (piede della perpendicolare da $C$ a $\pi$). Il suo raggio $\rho$ si ricava dal teorema di Pitagora nel triangolo $CHP$:

Piano tangente

Se $T$ è un punto della superficie sferica, il piano tangente in $T$ è perpendicolare al raggio $CT$. Quindi il vettore $\overrightarrow{CT}$ è un vettore normale al piano, e i suoi componenti sono i coefficienti $a,b,c$.

Centro su una retta e tangenza

Quando il centro dipende da un parametro (per esempio sta su una retta o su un asse), si scrive $C$ con le coordinate parametriche, si esprime il raggio con le condizioni date e si impone $d(C,\pi)=r$. Si ottiene un'equazione nel parametro, spesso con valore assoluto: il numero di soluzioni è il numero di superfici sferiche.

Retta e superficie sferica, due superfici sferiche

Retta e superficie sferica

Per sapere dove una retta incontra una superficie sferica si scrive la retta in forma parametrica $x=x_0+lt$, $y=y_0+mt$, $z=z_0+nt$ e si sostituisce nell'equazione della superficie. Si ottiene un'equazione di secondo grado in $t$:

• $\Delta>0$: due punti (la retta è secante), con $t_1,t_2$;

• $\Delta=0$: un punto (la retta è tangente);

• $\Delta<0$: nessun punto (la retta è esterna).

La corda staccata dalla superficie sulla retta ha lunghezza $|t_1-t_2|\cdot\sqrt{l^2+m^2+n^2}$, perché a una variazione $\Delta t$ del parametro corrisponde uno spostamento di $|\Delta t|$ volte il modulo del vettore direzione.

Per la tangenza di una retta dipendente da un parametro $k$ si impone $\Delta=0$ nell'equazione in $t$: si ottiene un'equazione nell'incognita $k$.

Due superfici sferiche

Due superfici sferiche di centri $C_1,C_2$ e raggi $r_1,r_2$ si intersecano in una circonferenza se

In sintesi

• Superficie sferica di centro $C(a; b; c)$ e raggio $r$: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$.

• Forma generale $x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$: centro $\left(-\frac\alpha2;-\frac\beta2;-\frac\gamma2\right)$, raggio $\sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{4}-\delta}$ (il radicando deve essere positivo).

• Punto interno, sulla superficie o esterno: confronta $\overline{CP}^2$ con $r^2$.

• Piano: calcola $d(C,\pi)$ e confrontala con $r$; se $d

• Piano tangente in $T$: normale $\overrightarrow{CT}$.

• Retta: sostituisci la forma parametrica e studia $\Delta$; la corda è $|t_1-t_2|\cdot|\vec v|$.

• Due superfici sferiche: se $|r₁-r₂|<\overline{C_1C_2}