Esercizi: Numeri reali

Classifica i seguenti numeri reali indicando a quali insiemi numerici appartengono: naturali ($\mathbb{N}$), interi ($\mathbb{Z}$), razionali ($\mathbb{Q}$) o irrazionali ($\mathbb{I}$). Motiva brevemente la risposta per i numeri decimali e le radici:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Rappresenta sulla retta reale i seguenti intervalli e semirette, ed esprimili usando la notazione insiemistica (con le disuguaglianze). Per $I_3$, che compare già con disuguaglianze, scrivilo anche in notazione di intervallo.

• $I_1 = (-3, 2]$

• $I_2 = [0, +\infty)$

• $I_3 = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 4\}$

Calcola la distanza tra le seguenti coppie di punti della retta reale utilizzando il concetto di valore assoluto:

• $a)$ $x = 5$ e $y = -2$

• $b)$ $x = -8$ e $y = -3$

• $c)$ $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{3}{4}$

Esprimi i seguenti intorni in forma di intervallo aperto e rappresentali graficamente sulla retta reale:

1. a) $E(2; 3)$ (intorno di centro 2 e raggio 3)

1. b) $E(-1; 0,5)$ (intorno di centro $-1$ e raggio $0,5$)

1. c) $E^*(0; 4)$ (intorno ridotto di centro 0 e raggio 4)

Trova i valori di $x$ che soddisfano le seguenti uguaglianze e disuguaglianze con valore assoluto. Esprimi il risultato come intervallo:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

Un sensore di temperatura in un server di dati indica che la CPU è a $42,6^{\circ}C$. Se il valore reale misurato con un termometro di precisione è $42,45^{\circ}C$, calcola:

• $a)$ L'errore assoluto della misurazione del sensore.

• $b)$ L'errore relativo commesso, espresso in percentuale.

Semplifica le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze e delle radici, lasciando il risultato in forma di potenza con esponente frazionario:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

In un negozio di componenti elettronici, il prezzo di un modello di drone da corsa varia in base all'offerta del mercato. Si sa che il prezzo $p$, in euro, soddisfa la condizione $|p - 150| \leq 20$.

1. a) Determina l'intervallo dei prezzi possibili per questo drone.

1. b) Qual è il prezzo minimo e il prezzo massimo che potrebbe pagare un utente?

Matteo afferma in classe di quinto liceo quanto segue:

«Dato che $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, possiamo assicurare che $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3$ per qualsiasi valore di $x \in \mathbb{R}$. Per esempio, se valutiamo in $x = 1$, abbiamo $\sqrt{1 - 6 + 9} = 1 - 3$, il che dimostra che $\sqrt{4} = -2$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio i due errori concettuali commessi da Matteo (uno relativo alla definizione aritmetica della radice quadrata in $\mathbb{R}$ e l'altro sulla semplificazione algebrica di $\sqrt{A^2}$).
2. b) Correggi l'uguaglianza esprimendo il risultato corretto di $\sqrt{x^2 - 6x + 9}$ mediante valore assoluto, e sviluppalo come funzione definita a tratti in base al segno del radicando.
3. c) Verifica la tua correzione valutando l'espressione in $x = 1$ e in $x = 5$, controllando che non sorga alcuna contraddizione.

A partire dai seguenti insiemi di numeri reali, esegui il processo inverso per costruire le loro espressioni analitiche:

1. a) Scrivi l'insieme dei numeri la cui distanza dal punto centrale $-1,5$ sulla retta reale è strettamente minore di $2,5$ utilizzando:

1. Una disuguaglianza con valore assoluto.

2. La notazione di intorno simmetrico $E(a, r)$.

3. Un intervallo limitato in $\mathbb{R}$.

1. b) Data l'unione di semirette $(-\infty; -2] \cup [8; +\infty)$, determina il suo centro di simmetria e il suo raggio di esclusione. A partire da essi, scrivi un'unica disequazione con valore assoluto la cui soluzione sia esattamente tale insieme.
2. c) Dato l'insieme $(-3; 5) \setminus \{1\}$, esprimilo nella notazione di intorno ridotto $E^*(a, r)$ e indica che significato ha escludere il centro ai fini della definizione formale di limite in un punto.

Nel processo di fabbricazione di microchip per satelliti, la lunghezza di una pista di rame deve essere di $12,5$ micron. Per ragioni termiche, si ammette un margine di errore (tolleranza) tale che la differenza tra la lunghezza reale $x$ e quella teorica sia, al massimo, di $0,05$ micron.

a) Esprimi questa condizione mediante una disuguaglianza con valore assoluto.

b) Determina l'intervallo dei valori accettabili per la lunghezza della pista usando la notazione degli intervalli.

c) Rappresenta graficamente tale intervallo sulla retta reale.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un laboratorio di biotecnologie mantiene un campione di enzimi in una camera climatica. Affinché gli enzimi non si denaturino, la temperatura $T$ (in gradi Celsius) deve soddisfare la seguente condizione:

Risolvi la disequazione e determina l'intervallo di temperature in cui i ricercatori possono lavorare senza danneggiare il campione.

Per determinare il dominio di una funzione futura, dobbiamo risolvere la seguente disequazione di secondo grado:

a) Trova le radici del polinomio associato.

b) Determina l'insieme delle soluzioni in forma di intervallo.

c) Giustifica il risultato analizzando il segno del polinomio in ciascun tratto della retta reale.

In astrofisica, la distanza tra due corpi celesti si misura spesso in unità astronomiche (UA). Supponiamo che siano state effettuate due misurazioni della distanza da un esopianeta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ km e $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ km.

a) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi se prendiamo la prima misura come approssimazione della seconda.

b) Esprimi il risultato dell'errore relativo in percentuale e commenta se l'approssimazione è accettabile in ambito scientifico.

Semplifica la seguente espressione con radicali e potenze, esprimendo il risultato finale come un'unica potenza di base $a$ con esponente razionale:

Dato: Supponi che $a > 0$.

La progettazione di un pezzo metallico triangolare richiede che i suoi lati misurino $\sqrt{18}$ cm, $\sqrt{50}$ cm e $\sqrt{98}$ cm.

a) Semplifica ciascuno dei radicali portando fuori i fattori.

b) Calcola il perimetro esatto del pezzo esprimendolo come un unico radicale.

c) Se il materiale utilizzato ha un costo di $2,5$ € per ogni centimetro di perimetro, calcola il costo totale approssimando a due cifre decimali.

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, sviluppa la seguente espressione in termini di $\log x$, $\log y$ e $\log z$:

Successivamente, se sappiamo che $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ e $\log z = 0,8$, calcola il valore numerico di $L$.

Dati i seguenti sottoinsiemi della retta reale:

$A = \{ x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 3 \}$

$B = [ -1, 4 ]$

a) Esprimi l'insieme $A$ mediante un intervallo.

b) Calcola ed esprimi mediante intervalli l'insieme risultante dall'intersezione $A \cap B$.

c) Calcola ed esprimi mediante intervalli l'insieme risultante dall'unione $A \cup B$.

Un servizio meteorologico nazionale monitora le condizioni estreme in due osservatori italiani molto diversi. Nella stazione di alta montagna del Passo del Tonale, il termometro registra una temperatura minima di $-4,0\text{ }^\circ\text{C}$ con una cota di errore assoluto del sensore di $0,2\text{ }^\circ\text{C}$. Dal canto suo, la stazione di Napoli-Capodichino registra in estate una temperatura massima di $40,0\text{ }^\circ\text{C}$ con una cota di errore assoluto di $0,8\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Modellizza l'intervallo delle temperature reali ammissibili per ciascun osservatorio mediante una disequazione con valore assoluto e mediante la notazione di intorno simmetrico $E(a, r)$.
2. b) Calcola la cota di errore relativo percentuale per ciascuna delle due misurazioni.
3. c) Interpreta i risultati: sebbene il sensore del Tonale abbia una cota di errore assoluto quattro volte minore di quello di Napoli ($0,2\text{ }^\circ\text{C}$ contro $0,8\text{ }^\circ\text{C}$), quale delle due misurazioni è di migliore qualità relativa? Giustifica perché l'errore relativo è il criterio oggettivo per confrontare la precisione tra grandezze di scala diversa.

Si consideri il numero reale $K = \log_3(80) - \sqrt{17} + \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$.

1. a) Stima: Senza ricorrere alla calcolatrice:

1. Limita $\log_3(80)$ tra due interi consecutivi giustificando la risposta mediante le potenze di base $3$.

2. Limita $\sqrt{17}$ tra due interi consecutivi confrontando con quadrati perfetti.

3. Limita $\log_2\left(\frac{1}{10}\right)$ tra due interi consecutivi sapendo che $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ e utilizzando potenze di base $2$.

A partire da queste tre limitazioni, ricava un intervallo per il valore di $K$ e prevedi con ragionamento se il suo segno deve essere positivo o negativo.

1. b) Verifica e affina: Sapendo che $80$ è estremamente vicino a $81$ e che $17$ è estremamente vicino a $16$, approssima mentalmente il valore della differenza $\log_3(80) - \sqrt{17}$. Successivamente, tenendo conto che $2^3 = 8$ e $2^{3,5} = \sqrt{128} \approx 11,31 > 10$, verifica se il valore complessivo di $K$ si trova più vicino a $-3$ o a $-4$. Giustifica se questa verifica conferma o smentisce la previsione della tua stima iniziale.

Determina con ragionamento l'insieme dei valori di $x \in \mathbb{R}$ che soddisfano la seguente disuguaglianza simultanea, esprimendo il risultato finale come unione di intervalli:

Tieni conto delle restrizioni del dominio e analizza i diversi casi in base al segno dell'argomento del valore assoluto.

Nella progettazione di un componente di alta precisione per un motore aerospaziale, il raggio di un cilindro, indicato con $x$, deve soddisfare la condizione che la sua differenza dal raggio nominale $5\text{ cm}$ sia così piccola che l'errore nell'area della sua sezione trasversale, $A(x) = \pi x^2$, non superi $0,01\text{ cm}^2$.

Utilizzando la definizione formale di intorno ridotto $E^*(a, \delta)$, trova il valore massimo della tolleranza $\delta$ che può avere il raggio $x$ per assicurare che l'area rimanga nell'intorno $E(25\pi, 0,01)$. Esprimi il risultato di $\delta$ in funzione di $\pi$ in forma esatta.

Dimostra, utilizzando esclusivamente la definizione metrica di limite ($\varepsilon - \delta$), che:

A tal fine, dato un $\varepsilon > 0$, trova un'espressione per $\delta$ in funzione di $\varepsilon$ (puoi supporre una limitazione iniziale per $\delta$, per esempio $\delta \leq 1$).

Considera la successione definita dal termine generale $a_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 2n}$.

1. a) Calcola il limite $L$ della successione per $n \to \infty$.
2. b) Determina da quale valore dell'indice $n_0 \in \mathbb{N}$ tutti i termini della successione si trovano a una distanza da $L$ minore di un millesimo ($\varepsilon = 10^{-3}$).

Determina l'insieme dei valori reali che soddisfano la seguente disequazione con doppio valore assoluto:

Rappresenta la soluzione sulla retta reale ed esprimila mediante un unico intervallo aperto.

Si definisce la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$. Determina l'insieme dei valori del parametro reale $k$ per i quali il dominio della funzione è tutta la retta reale $\mathbb{R}$.

Per il valore più grande di tale insieme, studia se esiste qualche asintoto orizzontale od obliquo per $x \to +\infty$.

Un investitore analizza la crescita di un'attività finanziaria il cui valore, in migliaia di euro, è dato dalla funzione $V(t) = \frac{4t^2 + k}{t^2 + 1}$, dove $t \geq 0$ è il tempo in anni.

1. a) Se si sa che il valore iniziale dell'attività era di $1000$ euro, determina il valore della costante $k$.
2. b) Quale sarà il valore dell'attività a «lunghissimo termine»? Giustifica la risposta usando il concetto di limite all'infinito.
3. c) In qualche momento il valore dell'attività supererà i $4000$ euro? Dimostralo analiticamente mediante una disequazione.

Data la funzione $f(x) = \ln(|x^2 - 4| - 5)$, determina in forma esatta il suo dominio di definizione. Esprimi il risultato come unione di intervalli, prestando particolare attenzione ai valori in cui l'argomento del logaritmo si annulla o è negativo. Analizza la simmetria di tale dominio.

Per risolvere in $\mathbb{R}$ la disequazione $|x + 2| + |x - 4| \le 8$, tre studenti di quinto liceo propongono strategie diverse:

• Alberto propone di elevare al quadrato direttamente entrambi i membri per eliminare le barre del valore assoluto.

• Berta propone di studiare il segno di ciascun binomio negli intervalli determinati dalle radici $x = -2$ e $x = 4$, risolvendo la disequazione senza valore assoluto in ciascuno dei tre tratti.

• Clara propone di interpretare geometricamente l'espressione come la somma delle distanze da un punto $x$ ai punti $-2$ e $4$ sulla retta reale, ragionando sulle distanze minime e sul margine residuo.

1. a) Analizza la proposta di Alberto: spiega algebricamente quale doppio prodotto compare elevando al quadrato il membro di sinistra e perché questo metodo non semplifica il problema, ma lo complica.
2. b) Applica in modo completo e ordinato il metodo di Berta (studio per tratti), specificando le soluzioni parziali di ciascun caso e la soluzione globale in forma di intervallo.
3. c) Risolvi la disequazione applicando il metodo di Clara mediante un ragionamento puramente geometrico: qual è la distanza minima tra $-2$ e $4$? Come si distribuisce la distanza restante di $8$ a sinistra e a destra?
4. d) Giustifica quale dei due metodi validi (B o C) è più efficiente in questo esercizio e proponi una piccola modifica della disequazione che obbligherebbe ad abbandonare il metodo geometrico di Clara e a ricorrere necessariamente al metodo per tratti di Berta.

Nella progettazione di un sensore ottico per il Large Binocular Telescope, la risposta luminosa è modellizzata dalla funzione $f(x) = \dfrac{8}{x + 1}$, dove $x > 0$ rappresenta lo spessore in millimetri di un filtro di calibrazione. Il valore nominale di riferimento dello spessore è $a = 3\text{ mm}$, al quale corrisponde un'uscita nominale $L = f(3) = 2$.

Il gruppo di ingegneri richiede che la risposta luminosa non si discosti da $2$ per più di $\varepsilon = 0,1$, cioè si richiede che $f(x) \in E(2; 0,1)$.

1. a) Problema inverso: Risolvi la doppia disuguaglianza $1,9 < \dfrac{8}{x + 1} < 2,1$ per determinare l'intervallo esatto $(x_1, x_2)$ in cui deve mantenersi lo spessore $x$.
2. b) Verifica che l'intervallo $(x_1, x_2)$ ottenuto non è centrato esattamente sul valore nominale $a = 3$. Calcola le distanze $d_1 = |3 - x_1|$ e $d_2 = |x_2 - 3|$.
3. c) Determina il massimo valore del raggio $\delta > 0$ di un intorno simmetrico centrato in $3$, $E(3, \delta)$, in modo da garantire rigorosamente l'implicazione:

Perché devi scegliere obbligatoriamente $\delta = \min(d_1, d_2)$ e non il maggiore dei due raggi?

1. d) Traduci tutta la condizione precedente nella formulazione formale con valore assoluto: $|x - 3| < \delta \implies |f(x) - 2| < 0,1$. Spiega con ragionamento il legame diretto tra questo risultato e la definizione formale del limite $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$ mediante intorni $\varepsilon$-$\delta$.