Esercizi: Funzioni di variabile reale. Tipi di funzioni

Sergio deve determinare il dominio della funzione composta $(f \circ g)(x)$, dove $f(x) = x^2$ e $g(x) = \sqrt{2x - 6}$. Nel suo compito scrive quanto segue:

«Calcolo prima l'espressione analitica:

Poiché il risultato è un polinomio di primo grado e i polinomi esistono per qualsiasi numero reale, il dominio di $(f \circ g)$ è $\mathbb{R}$.»

1. a) Indica qual è l'errore concettuale commesso da Sergio nell'applicare la definizione di funzione composta.
2. b) Spiega perché il dominio della composizione non può essere $\mathbb{R}$ e calcola il dominio corretto di $(f \circ g)$.
3. c) Se rappresentassi in un sistema di assi cartesiani la retta completa $y = 2x - 6$ e il grafico reale di $(f \circ g)(x)$, in che cosa si differenzierebbero visivamente?

Un parcheggio pubblico nel centro di Napoli applica una tariffa a rotazione che dipende dal tempo di sosta $t$ (in minuti) secondo le seguenti condizioni durante le prime 3 ore ($0 \le t \le 180$):

• Durante i primi 20 minuti ($0 \le t \le 20$), si paga una tariffa fissa di ingresso di $0,80$ €, indipendentemente dai minuti esatti utilizzati in quella frazione.

• Dal minuto 20 fino a 120 minuti ($20 < t \le 120$), si fattura al ritmo di $0,03$ € per ogni minuto trascorso a partire dal minuto 20, che si sommano ai $0,80$ € iniziali.

• A partire dalle due ore ($120 < t \le 180$), si paga una tariffa forfettaria fissa di $4,50$ €.

1. a) Scrivi l'espressione della funzione prezzo $P(t)$ (in euro) come funzione definita a tratti per $t \in [0, 180]$.
2. b) Verifica analiticamente se la funzione è continua negli istanti di cambio di tratto ($t = 20$ e $t = 120$) calcolando i corrispondenti limiti laterali.
3. c) Interpreta economicamente il risultato: l'utente subisce un salto brusco nel pagamento in uno di questi due momenti o il costo evolve in modo continuo?

Progetta la formula algebrica di un'unica funzione $f(x)$ (non definita a tratti) che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Il suo dominio di definizione esatto è l'insieme $\operatorname{Dom}(f) = [-6, -2) \cup (2, 6]$.

2. È una funzione pari, cioè il suo grafico presenta simmetria rispetto all'asse delle ordinate ($f(-x) = f(x)$).

3. La sua formula è costruita mediante operazioni (quoziente o prodotto) combinando una radice quadrata e un'altra espressione algebrica.

Descrivi passo per passo come deduci l'espressione del numeratore e del denominatore per generare esattamente le parentesi quadre in $\pm 6$ e le parentesi tonde in $\pm 2$. Infine, dimostra analiticamente che la funzione che hai costruito è pari verificando che $f(-x) = f(x)$.

Considera la funzione $f(x) = \ln\left(\dfrac{8 - x}{x + 3}\right)$.

1. Stima ed esplora:

a) Prima di risolvere formalmente qualsiasi disequazione, valuta mentalmente il segno del quoziente per i valori di prova $x = -5$, $x = 0$ e $x = 10$. Per quali di essi $f(x)$ è ben definita e per quali no?

b) A partire da questa esplorazione, stima se il dominio sarà un intervallo aperto e limitato $(a, b)$ o una semiretta illimitata verso l'infinito. Quali valori intuisci che saranno i suoi estremi?

1. Calcola: Determina con rigore analitico il dominio di $f(x)$ impostando la disequazione richiesta dal logaritmo e studiando il segno del numeratore e del denominatore.

2. Verifica e rifletti: Confronta il dominio ottenuto con la tua stima. Successivamente, ragiona su che cosa accade al valore di $f(x)$ quando $x$ si avvicina a $8$ da sinistra ($x \to 8^-$) e quando si avvicina a $-3$ da destra ($x \to -3^+$).

Determina il dominio di definizione più ampio possibile per la seguente funzione reale di variabile reale, esprimendo il risultato mediante l'unione di intervalli:

Per risolverlo, dovrai considerare contemporaneamente le restrizioni imposte dalla radice quadrata, dal logaritmo naturale e dal denominatore della frazione.

Un'azienda di ingegneria aerospaziale sta progettando la traiettoria di salita di una sonda. L'altezza $h$ in chilometri, misurata rispetto a un livello di riferimento (negativa al di sotto di esso), rispetto al tempo $t$ in minuti è data da una funzione composta. Si sa che la funzione esterna è $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ e la funzione interna è $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.

Calcola l'espressione analitica della funzione di altezza totale $H(t) = (f \circ g)(t)$ e determina con argomentazioni il suo dominio e il suo codominio nel contesto fisico del problema, sapendo che la sonda inizia la sua missione in $t = 1$.

Sia la funzione $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Dimostra analiticamente che la funzione è iniettiva in tutto il suo dominio. Quindi, ottieni l'espressione della sua funzione inversa $f^{-1}(x)$ e specifica chiaramente il dominio e il codominio di tale inversa.

Data la funzione definita a tratti:

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione passa per il punto $(-2, 0)$ e che è continua nel punto di ascissa $x = 1$. Una volta trovati, studia la simmetria della funzione nell'intervallo $[1, +\infty)$.

Nello studio dei segnali sonori, si utilizza la funzione $s(t) = \ln(t)$ per rappresentare l'intensità di un segnale primario. A causa di un'interferenza, il segnale risultante si trasforma secondo la regola $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.

Rappresenta graficamente la funzione finale $g(t)$ partendo dalla funzione elementare $\ln(t)$ e spiegando dettagliatamente ciascuna delle trasformazioni geometriche (traslazioni, simmetrie e valori assoluti) che hanno luogo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Si considera la famiglia di funzioni $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ dove $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Dimostra che per qualsiasi valore di $k$ la funzione è pari.

2. Determina i punti di intersezione con gli assi in funzione di $k$.

3. Trova il valore di $k$ affinché la funzione assuma il valore $y = 1/2$ quando $x = 3$.

4. Discuti se esiste qualche valore di $k$ per il quale la funzione abbia asintoti verticali.

Un algoritmo di intelligenza artificiale elabora dati di ingresso $x$ mediante una funzione di attivazione logistica modificata:

La figura mostra il grafico di $A(x)$ per $x$ tra $-10$ e $10$.

Si vuole trovare la funzione inversa $A^{-1}(x)$ affinché il sistema possa effettuare il processo inverso (decodifica).

1. a) Determina l'espressione dell'inversa $A^{-1}(x)$.

1. b) Determina per quali valori dell'uscita $y$ è possibile effettuare la decodifica (codominio della funzione originale) e giustifica la risposta.

Ogni funzione $f(x)$ può essere scomposta in modo unico, nei punti $x$ in cui esistono sia $f(x)$ sia $f(-x)$, come somma di una funzione pari $g(x)$ e di una funzione dispari $h(x)$, in modo tale che:

Data la funzione $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, determina le sue componenti pari e dispari. Verifica analiticamente che effettivamente $g(x)$ è una funzione pari e $h(x)$ è una funzione dispari. Quali sono i domini di ciascuna di queste tre funzioni?

Un nuovo servizio di streaming di videogiochi applica una tariffa mensile basata sul consumo di dati ad alta velocità. I primi $20$ GB sono inclusi in una quota fissa di $15$ €. Da lì in poi, il prezzo per ogni GB aggiuntivo aumenta in modo lineare secondo la funzione $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, dove $x$ è il numero totale di GB consumati.

Tuttavia, se l'utente supera i $100$ GB, l'azienda applica una penale per eccesso di traffico e la funzione diventa $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Scrivi l'espressione analitica della funzione costo totale $C(x)$ come funzione definita a tratti e verifica se il prezzo "salta" o è continuo proprio nel momento in cui si consumano $100$ GB.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Calcola il suo dominio.

2. Individua se esiste qualche punto in cui la funzione presenta una "discontinuità eliminabile" (un punto in cui numeratore e denominatore si annullano contemporaneamente).

3. Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati.

Considera le funzioni $f(x) = \sqrt{x + 2}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Determina l'espressione della funzione composta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina il dominio di $(g \circ f)(x)$.

3. Questo dominio coincide con quello della funzione $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Giustifica la risposta.

Un drone di sorveglianza effettua un volo di prova seguendo una traiettoria la cui altezza in metri rispetto al tempo in secondi è data dalla funzione:

Il grafico della traiettoria è il seguente:

1. a) Da quale altezza decolla il drone?

1. b) Qual è l'altezza massima che raggiunge e in quale secondo avviene?

1. c) Se il drone deve atterrare quando la sua batteria arriva al $5\,\%$ (cosa che avviene a $21$ secondi), a quale altezza si troverà in quel momento? Spiega se il risultato ha senso fisico.

Determina la funzione inversa $f^{-1}(x)$ della funzione $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica il dominio e il codominio di entrambe le funzioni e verifica graficamente la loro simmetria rispetto alla bisettrice del primo quadrante.

Studia la simmetria (pari, dispari o priva di simmetria) delle seguenti funzioni giustificando i passaggi mediante il calcolo di $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Funzione coseno iperbolico)

Determina il dominio di definizione delle seguenti funzioni di variabile reale in base alle restrizioni delle operazioni che le compongono:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

A partire dal seguente grafico della funzione $f(x)$, individua i valori dei limiti laterali e l'immagine della funzione nel punto di discontinuità $x = 1$. Nel grafico, il cerchio vuoto indica un punto che non appartiene al grafico e il cerchio pieno indica un punto che vi appartiene.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $f(1)$

Classifica le seguenti funzioni in base al loro tipo (polinomiale, razionale, irrazionale, esponenziale o logaritmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Calcola i seguenti limiti direttamente per sostituzione, verificando se il valore ottenuto è finito:

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$

1. c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$

Un'azienda di telefonia offre un piano dati in cui i primi $10$ GB costano $15$ € fissi. Da lì in poi, ogni GB extra costa $2$ €. La funzione che rappresenta il costo totale $C(x)$ in funzione dei GB consumati $x$ è:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Studia se la funzione è continua nel punto critico $x = 10$.

Date le funzioni $f(x) = x + 3$ e $g(x) = x^2 - 1$, esegui le seguenti operazioni e determina il dominio della funzione risultante:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Osserva il seguente grafico e individua visivamente le equazioni dei suoi asintoti verticali e orizzontali:

Data la funzione con valore assoluto $f(x) = |x - 3|$, rappresentala come funzione definita a tratti e calcola il suo valore per $x = 0$ e $x = 5$.

Date le funzioni razionali $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ e $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$, si chiede di trovare il dominio della funzione composta $(f \circ g)(x)$. Due studenti sostengono strategie diverse:

• Metodo di Marco: Semplifica prima l'espressione analitica:

Osservando la frazione finale, conclude che l'unico valore problematico è quello che annulla il suo denominatore: $-2x + 13 = 0 \implies x = 6,5$. Pertanto, afferma che $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{6,5\}$.

• Metodo di Laura: Applica la definizione teorica del dominio della composizione:

Richiede prima che $x \in \operatorname{Dom}(g)$ ($x \ne 3$) e, successivamente, che $g(x) \ne 4$, risolvendo $\dfrac{2x + 1}{x - 3} \ne 4 \implies x \ne 6,5$. Conclude che $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{3; 6,5\}$.

1. Determina quale dei due metodi è matematicamente corretto. Spiega con precisione quale passaggio algebrico di Marco ha causato la perdita di una restrizione del dominio.

2. Se una calcolatrice valutasse $(f \circ g)(3)$ seguendo l'ordine naturale delle operazioni composte (prima calcolare $g(3)$ e poi applicare $f$ al risultato), che cosa accadrebbe? Questo coincide con ciò che prevede la formula finale di Marco?

3. Formula una conclusione metodologica: perché semplificare l'espressione algebrica di una funzione prima di calcolarne il dominio può indurre a errori gravi?

Si considera una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita a tratti mediante:

dove $k$ è una costante reale e $g(x)$ è una funzione che devi determinare in ciascun caso.

1. Caso pari: Trova l'espressione algebrica che deve avere $g(x)$ affinché $f$ sia una funzione pari su tutto $\mathbb{R}$. Una volta trovata, analizza se la continuità di $f$ in $x = 0$ dipende o no dal valore assunto dal parametro $k$, giustificandolo mediante il calcolo dei limiti laterali.

2. Caso dispari e dimostrazione:

a) Dimostra algebricamente che qualsiasi funzione $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dispari e definita nell'origine soddisfa necessariamente $h(0) = 0$.

b) Trova l'espressione algebrica di $g(x)$ affinché $f$ soddisfi la condizione di disparità $f(-x) = -f(x)$ per ogni $x \ne 0$.

c) Basandoti sulla dimostrazione del punto (a), deduci quale valore deve necessariamente avere la costante $k$ affinché la funzione $f$ sia dispari su tutto $\mathbb{R}$ e, allo stesso tempo, continua nel punto di raccordo $x = 0$.

Sfida del tema. Analizza la dinamica termica del tuo comune per ottimizzare la spesa energetica di climatizzazione in casa.

1. Dati e numeri reali: Accedi al sito dell'Aeronautica Militare (o di un servizio meteorologico) e scarica le temperature delle ultime $24$ ore nella stazione più vicina a te. Esprimi l'intervallo giornaliero mediante un intervallo limitato $[T_{\min}, T_{\max}] \subset \mathbb{R}$, arrotonda ai decimi e determina il limite dell'errore assoluto commesso.

2. Probabilità: Con la serie degli ultimi $10$ giorni, calcola la probabilità frequentista che la temperatura superi i $21,5\text{ }^\circ\text{C}$. Giustifica perché non è applicabile la definizione classica di probabilità in questo contesto e rifletti sull'assegnazione di probabilità a fenomeni meteorologici.

3. Modellizzazione e derivata: In GeoGebra o in un foglio di calcolo, rappresenta la nuvola di punti ed esegui una regressione polinomiale $T(t)$. Trova analiticamente la funzione derivata $T'(t)$, determina le ore di massimo tasso di riscaldamento e di raffreddamento (estremi della derivata) e confronta il tasso di variazione istantaneo $T'(10)$ con il tasso di variazione medio nell'intervallo $[8, 12]$.

4. Prodotto: Progetta un report sintetico di una pagina con i grafici e una raccomandazione oraria motivata per l'aerazione.

Verranno valutati:

• Uso rigoroso di numeri reali, intervalli e stima degli errori.

• Comprensione critica dell'interpretazione frequentista rispetto a quella classica.

• Calcolo corretto della funzione derivata e interpretazione del suo significato fisico.