Esercizi: Integrazione di funzioni trigonometriche

Per iniziare a esercitarti con il calcolo delle primitive, trova la primitiva generale della seguente funzione che include una modifica lineare nell'argomento del coseno:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione, osservando che si tratta di una funzione composta in cui compare la derivata dell'argomento:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

Molto spesso le identità trigonometriche ci permettono di trasformare un'espressione difficile in una immediata. Utilizza la relazione $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ per calcolare la seguente primitiva:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Determina la famiglia di funzioni primitive dell'espressione data. Tieni presente che la derivata del seno è il coseno:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Trova la primitiva della funzione $f(x) = \sec^2(3x)$ sapendo che il suo grafico passa per il punto $P(0, 2)$. Ricorda che devi calcolare la costante di integrazione $C$.

Un oscillatore armonico semplice si muove in modo tale che la sua velocità in funzione del tempo $t$ (in secondi) è data da $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Se nell'istante iniziale $t=0$ l'oggetto si trova nella posizione $s=0$, ricava l'espressione della sua posizione $s(t)$ calcolando la primitiva corrispondente.

Calcola il seguente integrale indefinito utilizzando il logaritmo naturale come risultato, riconoscendo che il numeratore è (quasi) la derivata del denominatore:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Determina l'insieme di tutte le primitive della seguente funzione composta, che combina una radice quadrata con una funzione trigonometrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

Elena sta calcolando la primitiva della funzione $f(x) = \sin^2(x)$ e scrive nel suo compito:

sostenendo di aver applicato la regola delle potenze $\int u^n\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ prendendo $u = \sin(x)$ e $n = 2$.

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale commesso da Elena. Quale fattore fondamentale manca all'integrando perché la sua deduzione a partire dalla regola della catena fosse matematicamente valida?
2. b) Correggi l'esercizio trovando la corretta famiglia di primitive mediante l'identità trigonometrica dell'angolo doppio.

Si sa che una funzione continua $f(x)$ ammette come primitiva generale una funzione della forma:

dove $a$ è una costante reale non nulla.

1. a) Sapendo che nel punto $x = \frac{\pi}{4}$ la funzione originale assume il valore $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8$, deduci il valore esatto del parametro $a$ applicando la regola di derivazione della funzione composta su $F(x)$.
2. b) Una volta trovato il valore di $a$, scrivi l'espressione algebrica di $f(x)$ espressa unicamente in termini di potenze di $\tan(x)$ e $\cos(x)$.

Calcola la primitiva della seguente funzione trigonometrica utilizzando le identità fondamentali per semplificare l'espressione prima di integrare:

Trova l'integrale indefinito della funzione $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Ricorda di osservare se l'espressione si adatta a un integrale di tipo potenza in cui una funzione è elevata a un esponente e moltiplicata per la sua derivata.

Uno studio di architettura sta progettando il profilo di una rampa per un parco di sport estremi. Il coefficiente angolare della rampa in ogni punto $x$ è dato dalla funzione $g(x) = \sin^2(x)$. Se la rampa inizia nel punto $(0, 0)$, determina la funzione $G(x)$ che descrive l'altezza della rampa in un punto qualsiasi.

Calcola la primitiva della funzione $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Suggerimento: Poiché la funzione è dispari in $\sin(x)$, effettua la sostituzione $t = \cos(x)$.

Determina l'integrale indefinito della funzione $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Aiuto: Puoi provare a sostituire il numero $1$ al numeratore con l'identità fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ per separare l'integrale in due addendi più semplici.

Trova la primitiva della funzione $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizzando il metodo di integrazione per parti. Dovrai applicare il metodo due volte per ridurre il grado del polinomio fino a ottenere un integrale immediato.

In un esperimento di fisica si analizza l'oscillazione smorzata di una molla la cui velocità di vibrazione in funzione del tempo $t$ si comporta secondo la funzione $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determina la funzione posizione $s(t)$ sapendo che questo integrale è di tipo ciclico.

Calcola la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ che soddisfa la condizione di passare per l'origine degli assi, cioè $F(0) = 0$.

Per risolvere l'integrale indefinito $\int \sin(x) \cdot \cos(x)\, dx$, tre studenti di quinto liceo propongono strade diverse:

• Lucia effettua la sostituzione diretta ponendo $u = \sin(x)$ e ottiene $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin^2(x) + C_1$.

• Marco pone $u = \cos(x)$ e ottiene $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C_2$.

• Sergio applica prima l'identità dell'angolo doppio $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ e ottiene $F_3(x) = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C_3$.

1. a) Dimostra algebricamente che le tre risposte sono corrette e che descrivono esattamente la stessa famiglia di funzioni primitive, determinando la relazione numerica esatta che esiste tra le costanti $C_1$, $C_2$ e $C_3$.
2. b) Se ora dovessi risolvere $\int \sin^5(x) \cdot \cos(x)\, dx$, confronta i tre metodi precedenti e giustifica quale di essi è l'unico immediato e generalizzabile senza ricorrere a calcoli laboriosi. Ottieni il risultato finale con tale metodo.

Durante una giornata estiva in una centrale termosolare della Puglia, la potenza elettrica istantanea immessa in rete (in megawatt, MW) tra le 10:00 ($t = 0$) e le 16:00 ($t = 6$ ore) è modellizzata dalla funzione:

L'energia accumulata $E(t)$ (in MW·h) a partire dalle 10:00 è una primitiva di $P(t)$ che soddisfa la condizione iniziale $E(0) = 0$.

1. a) Utilizza la formula dell'angolo doppio per trasformare l'espressione di $P(t)$ e integra passo dopo passo per ottenere la funzione $E(t)$, prestando attenzione alla costante introdotta dalla derivata dell'argomento lineare.
2. b) Trova l'energia totale accumulata al termine del periodo, $E(6)$, lasciando il risultato in funzione di $\pi$ e calcolandone il valore approssimato con due cifre decimali. A partire da questo dato, determina e interpreta la potenza media fornita dalla centrale durante l'intervallo di 6 ore.

Nella progettazione dei circuiti in corrente alternata, la potenza istantanea è spesso data dal prodotto di funzioni esponenziali e trigonometriche. Calcola la famiglia delle primitive della seguente espressione, che rappresenta il tasso di variazione dell'energia in un componente specifico:

Suggerimento: Utilizza prima un'identità trigonometrica per ridurre l'esponente del coseno prima di applicare il metodo di integrazione per parti.

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione razionale trigonometrica. Questo tipo di integrali compare frequentemente nel calcolo dei campi gravitazionali in astrofisica:

Nota: Considera una sostituzione che metta in relazione le funzioni trigonometriche presenti e ricorda l'identità fondamentale della trigonometria.

Determina la primitiva della funzione $f(x)$ sapendo che il suo grafico passa per il punto $P\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ e che la sua derivata è:

$f'(x) = \frac{1}{\sin^4(x) \cdot \cos^2(x)}$

Suggerimento: Prova a esprimere il numeratore utilizzando in modo iterativo l'identità fondamentale $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ oppure cerca una sostituzione basata sulla tangente.

La «sostituzione universale» è uno strumento potente per risolvere integrali di funzioni razionali di seno e coseno. Utilizza la sostituzione $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ per trovare la seguente primitiva:

Trova la primitiva della funzione $f(x)$ descritta di seguito, impiegando le formule di prostaferesi (trasformazione di prodotti in somme):

Una volta ottenuta la famiglia delle primitive, determina quella il cui grafico ha un punto di flesso a tangente orizzontale nel punto di ascissa $x = \frac{\pi}{2}$ con ordinata $y = 2$.

Nello studio delle oscillazioni di un ponte sospeso, l'accelerazione di un punto della struttura è data dalla funzione $a(t)$. Trova la funzione velocità $v(t)$ sapendo che la velocità iniziale è $v(0) = 0$ e che l'accelerazione è:

$a(t) = \frac{\sec^2(t)}{\sqrt{4 - \tan^2(t)}}$

Aiuto: Fai attenzione ai domini delle funzioni risultanti.

Calcola l'integrale indefinito della funzione $f(x)$, che combina potenze di funzioni trigonometriche inverse e funzioni dirette:

Trova la famiglia delle primitive della seguente funzione utilizzando una sostituzione adeguata per funzioni trigonometriche pari in seno e coseno:

Suggerimento: Dividi numeratore e denominatore per $\cos^2(x)$ per esprimere la funzione in termini di $\tan(x)$ e della sua derivata $\sec^2(x)$.

Si considera la funzione $f(x) = \frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$, definita nell'intervallo aperto $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi primitiva, effettua una stima motivata del comportamento di una qualsiasi primitiva $F(x) = \int f(x)\, dx$ quando $x \to 0^+$. Per farlo, tieni conto che per valori molto vicini a zero valgono le approssimazioni $\cos(x) \approx 1$ e $\sin(x) \approx x$; sulla base di ciò, deduci se ci si può aspettare che $F(x)$ tenda a un valore finito oppure diverga all'infinito avvicinandosi all'origine.
2. b) Utilizza l'identità fondamentale $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ per scomporre l'integrale in una somma di integrali immediati di tipo potenza $u^n \cdot u'$, e calcola l'espressione algebrica della famiglia generale delle primitive $F(x)$.
3. c) Calcola il limite $\lim_{x \to 0^+} F(x)$ a partire dall'espressione ottenuta e verifica se la tua stima qualitativa iniziale era corretta, motivando la coerenza tra l'analisi locale della funzione integranda e il risultato dell'integrazione.

Si cerca di determinare una funzione $f(x)$ derivabile nell'intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ il cui grafico passi per l'origine degli assi, $f(0) = 0$, e la cui funzione derivata sia data dall'espressione:

1. a) Uno studente tenta di integrare separatamente ciascun addendo cercando formule per le potenze quarte, incontrando serie difficoltà. Dimostra che, applicando la scomposizione di una differenza di quadrati e l'identità fondamentale $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$, la derivata si riduce immediatamente a $f'(x) = 2\sec^2(x) - 1$. Giustifica perché trasformare la funzione integranda prima di operare semplifica radicalmente il problema.
2. b) Integra l'espressione semplificata e trova la formula esplicita della funzione $f(x)$ che soddisfa la condizione $f(0) = 0$.
3. c) Senza calcolare la derivata seconda $f''(x)$, deduci gli intervalli di concavità e convessità di $f(x)$ in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, nonché l'esistenza di punti di flesso, analizzando esclusivamente la crescita e gli estremi relativi di $f'(x)$ a partire dalle proprietà della funzione coseno.

Sfida del tema. Come modellizzeresti il flusso giornaliero di energia nel nostro paese?

1. Raccolta dei dati: Entra nel sito di Terna e scarica i dati della domanda di energia elettrica nazionale per fasce orarie di un giorno recente.

2. Modellizzazione: In GeoGebra o in un foglio di calcolo, rappresenta la serie temporale $t \in [0, 24]$. Progetta un modello continuo $f(t) = k \left( \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + \frac{1}{t^2 + 4} + 1,1 \right)$ e determina la costante $k$ in modo che soddisfi le condizioni di funzione di densità di una variabile aleatoria continua.

3. Integrazione analitica: Ottieni la funzione di distribuzione $F(t) = \int_{0}^{t} f(u)\,du$ applicando la scomposizione elementare, le primitive trigonometriche e quelle di funzioni razionali. A partire da $F(t)$, calcola la probabilità che il consumo giornaliero si concentri nelle ore di punta, tra le $19,0$ e le $22,0$ ore.

4. Relazione finale: Redigi una breve relazione con i grafici di $f(t)$ e $F(t)$, lo svolgimento algebrico degli integrali e una riflessione motivata sull'adattamento ai dati reali.

Verranno valutati:

• Padronanza analitica nel calcolo di integrali immediati, razionali e trigonometrici.

• Rigore nella determinazione dei parametri e nella verifica delle proprietà della variabile aleatoria continua ($f$ e $F$).

• Abilità tecnica in GeoGebra o nel foglio di calcolo e confronto critico con la serie reale di Terna.