Esercizi: Integrale indefinito. Scomposizione elementare e integrali immediati

Uno skater professionista sta analizzando la traiettoria del suo ultimo salto su una rampa. La funzione che descrive la variazione della sua altezza rispetto al tempo (velocità verticale) è data dall'espressione $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, il cui grafico compare in figura. Trova la famiglia di funzioni $H(t)$ che rappresentano l'altezza dello skater, calcolando l'integrale indefinito:

Nello studio della diffusione di una notizia su un social network, si è determinato che il ritmo di crescita delle "condivisioni" segue una legge di potenza. Per trovare il totale accumulato, un programmatore deve risolvere il seguente integrale di una funzione irrazionale. Calcolalo trasformando prima la radice in esponente frazionario:

Determina se la funzione $F(x) = x \cdot e^x$ è una primitiva della funzione $f(x) = (x+1)e^x$. Per giustificare la risposta, ricorda di utilizzare la relazione fondamentale tra una funzione e la sua primitiva mediante la derivazione.

Uno studio sull'udito degli adolescenti analizza l'intensità di un segnale sonoro. La funzione che descrive la pressione acustica istantanea è $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Trova la primitiva generale di tale funzione eseguendo l'integrazione:

Calcola l'integrale indefinito della seguente combinazione di funzioni trigonometriche e costanti, applicando le proprietà di linearità (portare fuori le costanti e separare le somme):

Trova tutte le primitive della funzione $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Nella progettazione di una lente per la fotocamera di uno smartphone, serve conoscere la funzione di curvatura. La derivata di tale funzione è $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Ottieni l'espressione della funzione $g(x)$ calcolando il suo integrale indefinito:

Trova la primitiva della funzione $f(x) = 2x - 6$ il cui grafico passa per il punto $P(3, 4)$.

Nota: Calcola prima l'integrale indefinito per ottenere la famiglia di funzioni con la costante $C$, e poi utilizza il punto $P$ per trovare il valore specifico di tale costante.

Marco deve calcolare in un compito l'integrale indefinito $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. Sul suo foglio scrive quanto segue:

1. a) Spiega in dettaglio qual è l'errore concettuale che Marco commette applicando la proprietà di linearità dell'integrale.
2. b) Dimostra che il risultato di Marco è errato derivando la funzione ottenuta e verificando che non coincide con l'integrando $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Risolvi l'integrale correttamente eseguendo prima la moltiplicazione algebrica e applicando poi le regole degli integrali immediati.

Considera la funzione continua $f(x) = 6 - 2x$ e la primitiva specifica $F(x)$ che soddisfa la condizione iniziale $F(0) = 2$.

1. a) Stima: Senza calcolare l'espressione analitica di $F(x)$, analizza con ragionamento il segno di $f(x)$ nell'intervallo $[0, 3]$ e nell'intervallo $[3, 4]$. A partire dalla crescenza e decrescenza di $F(x)$, e tenendo conto che $f(x)$ è simmetrica rispetto alla sua radice $x = 3$, stima se il valore di $F(4)$ sarà maggiore, minore o uguale a $F(0)$.
2. b) Calcola: Ottieni la famiglia generale di primitive di $f(x)$ mediante scomposizione elementare e individua la primitiva particolare $F(x)$ che passa per $(0, 2)$.
3. c) Verifica: Calcola il valore esatto di $F(4)$ sostituendo nella funzione trovata e conferma se la tua stima qualitativa era corretta.

Calcola la famiglia di primitive della seguente funzione, semplificando il risultato eliminando gli esponenti negativi e utilizzando i radicali:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Trova l'integrale indefinito della funzione $g(x)$, eseguendo gli aggiustamenti di costanti necessari per ottenere una struttura di tipo logaritmico:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Un drone di sorveglianza si sposta in modo che la sua velocità sull'asse orizzontale (in m/s) è data dalla funzione $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sapendo che all'istante iniziale $t=0$ il drone si trova nella posizione $s=0$, determina l'espressione della funzione posizione $s(t)$.

Calcola la primitiva della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ il cui grafico passa per il punto $P(3, 5)$.

Nota: Esegui prima la divisione dei polinomi.

Determina l'integrale indefinito della seguente funzione composta, individuando la derivata della funzione interna:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Trova la primitiva $F(x)$ della funzione $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sapendo che $F(0) = 1$.

Calcola l'integrale indefinito della seguente funzione utilizzando la scomposizione per linearità e l'aggiustamento della derivata dell'esponente:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcola la sua primitiva generale. Verifica il risultato derivando la funzione ottenuta.

Determina i coefficienti reali $a$ e $b$ della funzione $f(x) = a\cdot x + \dfrac{b}{x^2}$ (definita per $x > 0$) sapendo che la sua famiglia di primitive soddisfa le due condizioni seguenti:

1. La retta tangente al grafico di una qualsiasi delle sue primitive nel punto di ascissa $x = 1$ è orizzontale (coefficiente angolare nullo).

2. La primitiva specifica $F_0(x)$ che passa per il punto $(1, 7)$ verifica inoltre che $F_0(2) = 11$.

1. a) Imposta il sistema di equazioni che permette di trovare i valori di $a$ e $b$, interpretando geometricamente la relazione tra la derivata di una primitiva e la funzione integranda.
2. b) Trova la funzione $f(x)$ e l'espressione analitica completa della primitiva particolare $F_0(x)$.

In un parco eolico situato in Sardegna, i tecnici di esercizio modellizzano la potenza netta generata, cioè la velocità di variazione istantanea dell'energia accumulata, $P'(t)$ (in $\text{MW}$), durante un intervallo di monitoraggio di 9 ore ($t \in [1, 9]$) mediante la funzione:

dove $t$ è il tempo trascorso in ore.

1. a) Scomponi algebricamente il quoziente in una somma di potenze elementari della forma $k\cdot t^n$ e indica quale regola di integrazione immediata si applica a ciascun termine.
2. b) Trova la famiglia completa di primitive $P(t)$ che descrivono l'energia accumulata in funzione del tempo.
3. c) Se alla prima ora di misurazione ($t = 1$) i contatori registravano un'energia accumulata di $15\text{ MWh}$, trova la costante di integrazione $C$ e determina l'energia accumulata quando sono trascorse $4$ ore ($t = 4$).

Un ingegnere del suono sta analizzando il segnale di un nuovo sintetizzatore. La velocità di variazione dell'intensità dell'onda rispetto al tempo, $t$, è data dalla funzione $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.

Sapendo che al tempo $t = 0$ l'intensità dell'onda è di $10$ unità, determina l'espressione analitica dell'intensità $f(t)$ eseguendo le manipolazioni algebriche necessarie per risolvere l'integrale.

Calcola la famiglia di primitive della seguente funzione trigonometrica utilizzando le identità fondamentali per trasformare l'integrando in una somma di integrali immediati:

Determina la funzione $f(x)$ la cui derivata seconda è $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.

Si sa che il grafico di $f(x)$ ha un punto di flesso di ascissa positiva in cui la retta tangente è orizzontale, e che il grafico di $f(x)$ passa per il punto $(0, 5)$.

Nota: Questo esercizio richiede una padronanza esperta della regola della catena in senso inverso per le funzioni razionali.

Un'azienda di logistica studia l'usura degli pneumatici della sua flotta. La velocità di usura $V(x)$ (in mm ogni 1000 km) dipende dal carico $x$ (in tonnellate) secondo la funzione:

$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$

Trova la funzione di usura cumulata $D(x)$, sapendo che per un carico di $3$ tonnellate ($x = 3$) l'usura è nulla.

Trova l'integrale indefinito della seguente funzione razionale completando il quadrato al denominatore per individuare una struttura di arcotangente:

Data la funzione $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, trova la primitiva $F(x)$ che verifica $F(0) = 1$.

Ricorda che, affinché $F(x)$ sia una primitiva in tutto il suo dominio, deve essere una funzione continua, quindi dovrai aggiustare le costanti di integrazione nei diversi tratti.

Determina i valori dei parametri $A, B$ e $C$ affinché la funzione $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sia una primitiva di $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Imposta il sistema di equazioni derivando $F(x)$ e uguagliando i coefficienti.

Calcola l'integrale indefinito della funzione:

Questo esercizio valuta la capacità di riconoscere la struttura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ quando sono presenti più funzioni composte.

Due studenti di quinto liceo, Alba e Ugo, discutono su quale sia il metodo più adatto per risolvere l'integrale indefinito $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$:

• Alba sostiene che si debba sempre eseguire la divisione euclidea tra polinomi per esprimere la frazione impropria nella forma $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Ugo afferma che è più rapido usare l'artificio algebraico di sommare e sottrarre $1$ al numeratore: $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, per separare direttamente la frazione in due integrali immediati.

• Un terzo compagno, Daniele, propone di portare il denominatore al numeratore come $(x^2 + 1)^{-1}$ e applicare direttamente la regola della potenza: $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Giustifica rigorosamente perché la proposta di Daniele è un grave errore matematico, indicando quale elemento differenziale manca all'integrando per poter applicare una regola di tipo potenza o logaritmo.
2. b) Sviluppa in modo completo i procedimenti di Alba e di Ugo, dimostrando che entrambi conducono alla stessa scomposizione. Spiega quale dei due metodi è più efficiente e presenta minor rischio di errore in questo caso specifico.
3. c) Calcola la primitiva particolare $F(x)$ che soddisfa la condizione $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$.

Si vuole ricostruire analiticamente una funzione $f(x)$ e una sua primitiva, $F(x)$, a partire dalle seguenti proprietà geometriche osservate nella famiglia di curve:

1. La retta tangente a qualsiasi primitiva in un punto di ascissa $x$ ha coefficiente angolare strettamente positivo se $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ e strettamente negativo se $x \in (0, 2)$.

2. La derivata seconda di qualsiasi primitiva è una funzione lineare $F''(x) = \alpha x + \beta$ il cui grafico interseca l'asse delle ascisse in $x = 1$.

3. Esiste una primitiva specifica $F_1(x)$ il cui minimo relativo viene raggiunto all'altezza di $-3$ unità e che inoltre interseca l'asse $X$ nel punto $(3, 0)$.

1. a) Traduci con ragionamento le condizioni 1 e 2 per dimostrare che la funzione integranda deve essere un polinomio di secondo grado della forma $f(x) = k(x^2 - 2x)$ con $k > 0$.
2. b) Ottieni mediante scomposizione elementare la famiglia di primitive $F(x)$ in funzione dei parametri $k$ e della costante $C$.
3. c) Utilizza la condizione 3 per dedurre in modo univoco i valori di $k$ e di $C$, e scrivi le formule definitive di $f(x)$ e della primitiva particolare $F_1(x)$.