Esercizi: Distribuzione di Poisson e limite della binomiale

Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson di parametro $\lambda = 2$. Calcola $P(X = 0)$ e $P(X = 3)$.

Una variabile aleatoria $X$ segue una distribuzione di Poisson con $\lambda = 1,5$. Calcola $P(X \le 1)$.

Una variabile aleatoria di Poisson ha parametro $\lambda = 4$. Indica valore atteso, varianza e deviazione standard.

A uno sportello postale di Torino arrivano in media 3 clienti ogni 10 minuti. Assumendo un modello di Poisson, calcola la probabilità che in 10 minuti arrivino:

1. a) esattamente 2 clienti;

1. b) almeno 1 cliente;

1. c) più di 3 clienti.

Una fabbrica produce viti con probabilità di difetto $p = 0,004$. Una scatola contiene 500 viti.

1. a) Calcola il valore atteso del numero di viti difettose.

1. b) Approssima con la distribuzione di Poisson la probabilità che ci siano al massimo 2 viti difettose.

Un centralino riceve in media 6 chiamate all'ora. Calcola la probabilità che in 30 minuti non arrivi nessuna chiamata e la probabilità che ne arrivino almeno 2, supponendo valido il modello di Poisson.

Sia $X \sim B(n, p)$ con $np = \lambda$ fissato. Dimostra che, per $n \to +\infty$,

utilizzando $\binom{n}{k}$, $p = \lambda/n$ e il limite notevole $\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}$.

Sia $X$ di Poisson di parametro $\lambda$.

1. a) Dimostra che $\sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = 1$.

1. b) Dimostra che $E(X) = \lambda$.

1. c) Dimostra che $\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)} = \dfrac{\lambda}{k+1}$ e deduci per quale $k$ la probabilità è massima quando $\lambda = 4,7$.

Un'azienda di Napoli riceve in media 2 reclami al giorno (modello di Poisson). Calcola la probabilità che in una settimana di 5 giorni lavorativi i reclami siano al più 8, giustificando perché il numero totale è ancora di Poisson. Determina poi il numero minimo $m$ tale che $P(X \le m) \ge 0,95$ nella settimana.