Esercizi: Continuità di una funzione in un intervallo. Classificazione delle discontinuità. Teoremi di Bolzano e Weierstrass

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito e individua i punti di discontinuità. Per ciascuno di essi, indica di che tipo si tratta (eliminabile, a salto finito o a salto infinito).

Calcola il valore del parametro $k$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua in tutto l'insieme dei numeri reali:

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, studia la sua continuità nei punti $x = 3$ e $x = -3$. Se esistono discontinuità, classificale motivando e calcolando i relativi limiti laterali.

Considera la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Dimostra che la funzione non è continua in $x = 2$.

2. Quale valore dovrebbe assumere $f(2)$ affinché la discontinuità fosse eliminabile e la funzione risultasse continua in quel punto?

Verifica se la funzione $f(x) = x^3 - 3x + 1$ soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano nell'intervallo $[0, 1]$. Puoi assicurare che esiste almeno una radice dell'equazione $x^3 - 3x + 1 = 0$ in tale intervallo? Giustifica la risposta.

Un escursionista inizia un percorso da un rifugio a 1200 metri di altitudine ($t=0$). Dopo 4 ore di cammino, si trova a un belvedere a 1800 metri di altitudine. Supponendo che la funzione che descrive la sua altitudine rispetto al tempo, $A(t)$, sia continua:

1. Spiega, utilizzando il teorema dei valori intermedi (di Darboux), se l'escursionista è passato in qualche momento per la quota di 1500 metri.

2. Possiamo assicurare che sia passato per i 2000 metri?

Stabilisci se la funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ raggiunge obbligatoriamente un massimo e un minimo assoluti nei seguenti intervalli, basandoti sul teorema di Weierstrass:

1. Nell'intervallo chiuso $[1, 5]$.

2. Nell'intervallo aperto $(0, 1)$.

Studia la continuità laterale della seguente funzione agli estremi dell'intervallo $[0, 4]$:

Indica se la funzione è continua in $x=1$ confrontando i suoi limiti laterali.

Per studiare se la funzione $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ si annulla nell'intervallo $[1, 4]$, Alessandro scrive quanto segue nel suo compito in classe:

«Calcoliamo i valori agli estremi dell'intervallo: $f(1) = \frac{1+1}{1-2} = -2 < 0$ e $f(4) = \frac{4+1}{4-2} = \frac{5}{2} > 0$. Poiché hanno segni opposti, per il teorema di Bolzano (teorema degli zeri) esiste almeno un valore $c \in (1, 4)$ tale che $f(c) = 0$. Inoltre, in $x = 2$ la funzione presenta una discontinuità eliminabile perché si interrompe solo in un punto isolato del denominatore».

1. a) Spiega in modo ragionato quale grave errore commette Alessandro nell'applicare il teorema di Bolzano e verifica analiticamente se l'equazione $f(x) = 0$ ha realmente qualche soluzione all'interno dell'intervallo $(1, 4)$.
2. b) Classifica con rigore la discontinuità di $f(x)$ in $x = 2$ calcolando i limiti laterali opportuni e indica quale ipotesi non soddisfatta impediva di applicare il teorema.

Costruisci l'espressione analitica di una funzione definita a tratti $g(x)$, con dominio tutto $\mathbb{R}$, che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1) Presenta una discontinuità eliminabile in $x = -2$, con $\lim_{x \to -2} g(x) = 3$.

2) Presenta una discontinuità a salto finito in $x = 1$, in modo che l'ampiezza del salto tra i suoi limiti laterali sia esattamente di 4 unità.

3) È continua in ogni altro punto di $\mathbb{R}$.

Giustifica analiticamente che la funzione che hai progettato soddisfa ciascuna delle condizioni, calcolando i limiti laterali corrispondenti e i valori della funzione in tali punti.

Sia data la funzione $f(x)$ definita a tratti come:

La figura mostra i tre tratti di definizione (che cambiano in $x=2$ e in $x=4$) e l'intervallo $[1, 5]$.

1. a) Calcola i valori di $a$, $b$ e $k$ affinché la funzione sia continua in tutto il suo dominio $\mathbb{R}$.

1. b) Una volta trovati, stabilisci se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo $[1, 5]$.

Studia la continuità della seguente funzione e classifica, motivando, tutti i suoi punti di discontinuità:

Indica se qualcuna delle discontinuità è eliminabile e, in tal caso, ridefinisci la funzione in quel punto in modo che risulti continua.

Un grafico sta tracciando la traiettoria di un oggetto in un'animazione. L'altezza $h$ in metri rispetto al tempo $t$ (in secondi) è data da:

1. a) Indica il dominio della traiettoria.
2. b) Studia la continuità in $t = 3$. Che tipo di discontinuità presenta? Interpreta il risultato nel contesto dell'animazione (c'è un salto, l'oggetto scompare o va all'infinito?).
3. c) È possibile che l'oggetto raggiunga un'altezza di $0$ metri in qualche istante dell'intervallo $[0, 2]$? Giustifica la risposta usando il teorema di Bolzano.

Dimostra, utilizzando il teorema di Bolzano, che i grafici delle funzioni $f(x) = e^x - 2$ e $g(x) = \cos(x)$ si intersecano in almeno un punto all'interno dell'intervallo $[0, \pi]$. Spiega in dettaglio i passaggi e le ipotesi necessarie per applicare il teorema.

Data la funzione $f(x) = x^3 + x - 5$, giustifica se esiste un valore $c \in [1, 2]$ tale che $f(c) = -1$. Quale teorema garantisce questo risultato? Enuncia tale teorema e verifica che le sue ipotesi siano soddisfatte.

Si sa che una funzione $f(x)$ è continua nell'intervallo chiuso $[0, 4]$. Se $f(0) = 1$ e $f(4) = 1$, si può assicurare che esiste un punto $c \in (0, 4)$ tale che $f(c) = 0$? Fai un esempio grafico di una funzione che soddisfi le condizioni ma non abbia radici in quell'intervallo e spiega perché ciò non contraddice il teorema di Bolzano.

Data la funzione $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ per $x \neq 0$:

1. a) Trova il valore di $k$ sapendo che $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Con questo valore di $k$, definisci $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in $x = 0$.
3. c) Giustifica se la funzione ottenuta è continua nell'intervallo $[0, 2\pi]$. Possiamo assicurare che raggiunge un valore massimo assoluto in tale intervallo?

Un drone decolla dal suolo ($y=0$) e segue una traiettoria data dalla funzione altezza $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, dove $t$ è il tempo in minuti.

Dimostra che in qualche istante tra il minuto $1$ e il minuto $6$ di volo il drone si trova esattamente a un'altezza di $2$ metri. Utilizza a tal fine il teorema dei valori intermedi (di Darboux).

La temperatura $T$ (in gradi Celsius) registrata da una stazione meteorologica in una zona di montagna durante una giornata invernale di 12 ore è modellizzata dalla funzione:

dove $t$ rappresenta il tempo trascorso in ore dalle $08:00$ del mattino ($t = 0$).

1. a) Senza bisogno di calcolare derivate, giustifica se si può assicurare che in qualche istante tra le $08:00$ e le $20:00$ ($t = 12$) i termometri hanno segnato esattamente $0^\circ\text{C}$. Enuncia il teorema su cui ti basi e verifica in dettaglio il rispetto di tutte le sue ipotesi.
2. b) I teoremi sulla continuità permettono di garantire che nel corso di quelle 12 ore sia esistito almeno un istante di temperatura massima assoluta e uno di temperatura minima assoluta? Cita il teorema corrispondente, verifica le sue ipotesi e interpreta il suo significato pratico.

Considera la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + 5x - 3$ definita nell'intervallo chiuso $[0, 1]$.

1. a) Stima: osservando i valori di $f(0)$ e $f(1)$, nonché il peso relativo del termine lineare $5x$ rispetto a quello cubico $x^3$ nell'intervallo $[0, 1]$, stabilisci intuitivamente in quale dei due sottointervalli, $[0;\, 0,5]$ o $[0,5;\, 1]$, è più probabile che si trovi la radice della funzione.
2. b) Verifica: applica rigorosamente il teorema di Bolzano per localizzare con certezza la radice in uno dei due sottointervalli precedenti. A tal fine, enuncia le sue ipotesi, valuta $f$ nel punto medio $x = 0,5$ e concludi in modo giustificato.
3. c) Valuta se la tua stima iniziale ha coinciso con il risultato ottenuto e stabilisci se è possibile che la funzione abbia più di una soluzione nell'intervallo complessivo $[0, 1]$, in base alla monotonia di $f(x)$.

Data la funzione $f(x)$ definita a tratti dalla seguente espressione:

1. a) Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione sia continua in tutto il suo dominio.

1. b) Nel caso in cui $b=1$, classifica il tipo di discontinuità che la funzione presenta in $x=0$ in funzione del valore di $a$.

Un gruppo di ingegneri sta testando due nuovi modelli di droni di sorveglianza, $D_1$ e $D_2$. L'altezza (in metri) del drone $D_1$ rispetto al suolo è data dalla funzione $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mentre l'altezza del drone $D_2$ segue la funzione $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, dove $t$ è il tempo in minuti dal decollo ($t \geq 0$).

Utilizza il teorema di Bolzano (degli zeri) per dimostrare che esiste un istante $t_0 \in [2, 5]$ in cui entrambi i droni si trovano esattamente alla stessa altezza. Giustifica in dettaglio se potresti assicurare, mediante il teorema di Weierstrass, che la differenza di altezza tra i due droni raggiunge un valore massimo in quell'intervallo di tempo.

Considera la famiglia di funzioni dipendenti dal parametro $k \in \mathbb{R}$:

Analizza e classifica tutte le discontinuità di $f(x)$ in funzione dei possibili valori di $k$. Indica in particolare per quali valori di $k$ una delle discontinuità è eliminabile e ridefinisci la funzione in quel punto in modo che sia continua.

Dimostra in modo motivato che l'equazione $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ ha almeno due soluzioni reali nell'intervallo $[-\pi, \pi]$. A tal fine, definisci una funzione ausiliaria adeguata e applica i teoremi di continuità necessari. È possibile affermare che esiste un valore massimo assoluto per la funzione $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ nell'intervallo $[0, \pi/4]$? Giustifica la risposta basandoti sul teorema di Weierstrass.

Studia la continuità della seguente funzione nel suo dominio di definizione:

Determina i punti in cui la funzione presenta discontinuità e classificali. Verifica se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Bolzano nell'intervallo $[0,5; 2]$ per assicurare l'esistenza di una radice.

Sia data la funzione $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figura mostra il suo grafico come supporto visivo.

1. a) Esprimi la funzione senza valori assoluti, cioè definita a tratti.

1. b) Studia la sua continuità nei punti in cui si annullano gli argomenti dei valori assoluti.

1. c) Utilizzando il teorema di Weierstrass, dimostra che la funzione raggiunge un massimo assoluto nell'intervallo chiuso $[-3, 3]$.

1. d) La funzione presenta qualche asintoto orizzontale? Collega questo fatto al comportamento della funzione a lungo termine.

Si consideri una funzione continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Cioè, il dominio è l'intervallo $[0, 1]$ e anche tutte le sue immagini sono contenute in $[0, 1]$.

Dimostra, utilizzando il teorema di Bolzano, che esiste almeno un punto $c \in [0, 1]$ tale che $f(c) = c$ (un punto fisso della funzione). Suggerimento: considera la funzione ausiliaria $g(x) = f(x) - x$. Spiega graficamente cosa significa questo risultato in termini di intersezione del grafico di $f(x)$ con la bisettrice del primo quadrante.

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, si chiede di:

1. Trovare il dominio della funzione.

2. Calcolare i limiti laterali nel punto in cui la funzione non è definita.

3. Classificare la discontinuità trovata.

4. È possibile applicare il teorema di Bolzano nell'intervallo $[-1, 1]$ per dimostrare che esiste un valore in cui $f(x) = 0,5$? Stabilisci se la mancanza di continuità in un punto invalida l'applicazione del teorema anche se i valori agli estremi suggeriscono che tale punto dovrebbe esistere.

Si vuole dimostrare che l'equazione $\cos(x) = x^2 - 2$ possiede almeno due soluzioni reali distinte nell'intervallo chiuso $[-\pi, \pi]$. Per affrontare la dimostrazione, si propongono due strategie:

• Metodo A: definire la funzione ausiliaria $h(x) = x^2 - 2 - \cos(x)$, analizzarne la simmetria (parità) e applicare il teorema di Bolzano in opportuni sottointervalli di $[0, \pi]$ per dedurre l'esistenza di entrambe le soluzioni.

• Metodo B: tentare di isolare algebricamente la variabile $x$ mediante trasformazioni trigonometriche dirette e la funzione inversa $\arccos(x)$ per calcolare i valori esatti dei punti di intersezione.

1. a) Confronta in modo motivato i due metodi. Giustifica perché il Metodo B risulta inattuabile in pratica per questa equazione trascendente e spiega i vantaggi del Metodo A.
2. b) Sviluppa in modo completo e rigoroso il Metodo A: verifica le ipotesi del teorema di Bolzano, scegli un sottointervallo adeguato all'interno di $[0, \pi]$ in cui si osservi il cambio di segno e concludi perché esistono necessariamente almeno due radici simmetriche in $[-\pi, \pi]$.

Per approfondire la necessità delle ipotesi dei teoremi fondamentali della continuità, risolvi i seguenti quesiti di costruzione analitica:

1. a) Progetta l'espressione analitica di una funzione $f:[0, 4] \to \mathbb{R}$ che verifichi contemporaneamente: $f(0) = -2$, $f(4) = 3$, $f(x) \neq 0$ per ogni $x \in [0, 4]$ (cioè non ha radici nell'intervallo) e presenti un'unica discontinuità in $x = 2$. Classifica tale discontinuità e spiega perché l'assenza di radici non contraddice il teorema di Bolzano.
2. b) È possibile definire una funzione $g:[0, 4] \to \mathbb{R}$ nello stesso intervallo chiuso e limitato che NON raggiunga né massimo assoluto né minimo assoluto? Se ritieni che sia impossibile, dimostra perché; se ritieni che sia possibile, costruisci un esempio analitico esplicito di tale funzione $g(x)$, calcola il suo insieme immagine e spiega quale ipotesi del teorema di Weierstrass è stata violata.

Sfida del tema. Verso dove converge l'incertezza? Indaga la legge dei grandi numeri e la saturazione dei processi modellizzando un fenomeno reale.

1. Raccolta dati e successione: Realizza con GeoGebra o con un foglio di calcolo una simulazione di $n=1000$ ripetizioni di un evento aleatorio con $p=0,5$ (oppure scarica le frequenze dei giorni di pioggia dal sito dell'Aeronautica Militare). Genera la successione delle frequenze relative $f_n$ e verifica sperimentalmente come $\lim_{n \to \infty} f_n = p$, collegando le successioni con l'interpretazione frequentista della probabilità.

2. Modello e asintoti: Progetta una funzione continua a tratti $P(t)$ che modelli tale stabilizzazione nel tempo. Studia formalmente la sua continuità nel punto di raccordo dei tratti e determina i suoi asintoti orizzontali e verticali, traendo conclusioni sul comportamento a lungo termine ($t \to +\infty$).

3. Forme indeterminate e de L'Hôpital: Imposta la velocità di convergenza calcolando la derivata o il tasso di variazione mediante un limite che presenti una forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$. Risolvilo applicando con rigore il teorema di de L'Hôpital per ottenere informazioni sulla crescita della funzione.

Consegna una breve relazione di una pagina con il link al tuo file digitale e gli sviluppi algebrici.

Verranno valutati:

• Correttezza nel calcolo dei limiti e delle forme indeterminate mediante il teorema di de L'Hôpital.

• Giustificazione analitica della continuità in un punto e deduzione degli asintoti.

• Connessione concettuale tra il limite della successione delle frequenze e la probabilità teorica.

• Rigore della relazione e uso adeguato di GeoGebra o del foglio di calcolo.