Esercizi: Limiti all'infinito x → ±∞

Calcola il limite della seguente funzione polinomiale quando la variabile indipendente cresce indefinitamente:

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Spiega su quale termine ti sei basato per determinare il risultato e perché gli altri termini non influiscono sul valore del limite.

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ e determina, in modo visivo, il valore dei limiti all'infinito. Indica anche l'equazione dell'asintoto orizzontale, se esiste.

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Un'azienda di riciclaggio di componenti elettronici stima che il costo totale (in migliaia di euro) per trattare $x$ tonnellate di materiale sia dato dalla funzione:

$$C(x) = \frac{12x + 45}{3x + 2}$$

A quale valore tende il costo per tonnellata quando la quantità di materiale trattato è estremamente grande? Interpreta il risultato in termini di «economia di scala».

Determina il valore dei seguenti limiti basandoti sul confronto dei gradi dei polinomi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

Il numero di follower di un nuovo «influencer» su un social network, misurato in migliaia, evolve secondo la funzione:

$$S(t) = \frac{100t^2}{2t^2 + 50}$$

dove $t$ è il tempo trascorso in mesi da quando ha aperto il suo account. Disegna uno schema della situazione e calcola quanti follower avrà a lungo termine (quando $t \to +\infty$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Calcola il limite della seguente funzione razionale che contiene radicali, semplificando l'espressione mediante l'uso delle potenze effettive:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Date le funzioni $f(x) = 2^x$ e $g(x) = x^{10} + 500x^2$, stabilisci quale delle due funzioni cresce più rapidamente quando $x \to +\infty$ utilizzando la scala degli infiniti. A partire dalla tua risposta, deduci il valore del seguente limite:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Completa la seguente tabella di valori per la funzione $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ e utilizza i risultati ottenuti per congetturare a quale famoso numero tende la funzione quando $x$ diventa molto grande.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Scrivi il risultato utilizzando la notazione dei limiti:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

Marco sta risolvendo il seguente limite all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2^x}{4x^3 + \ln(x)}$$

Nel compito scrive la seguente giustificazione: «Poiché il grado polinomiale maggiore che compare sia al numeratore sia al denominatore è 3, guardiamo i coefficienti direttori di $x^3$; quindi il limite è $\frac{5}{4}$».

1. a) Spiega in dettaglio perché il ragionamento di Marco è concettualmente errato, indicando quali famiglie di funzioni intervengono nell'espressione e qual è la gerarchia degli infiniti tra di esse quando $x \to +\infty$.
2. b) Risolvi correttamente il limite giustificando quale termine impone il proprio ritmo di crescita al numeratore e quale al denominatore.

Considera la funzione $f(x) = \left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$. Si vuole studiare il suo comportamento asintotico quando $x \to +\infty$.

1. a) Esegui una stima qualitativa motivata prima di applicare formule: osserva che per valori grandi di $x$ la base $\frac{x+3}{x+1}$ è strettamente maggiore di 1 ma molto prossima a 1 (per esempio, per $x = 100$ vale $\frac{103}{101} \approx 1{,}0198$), mentre l'esponente $2x$ cresce indefinitamente. Ti aspetti intuitivamente che il limite sia 1, minore di 1 o maggiore di 1? Giustifica la risposta.
2. b) Risolvi formalmente il limite $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ individuando il tipo di forma indeterminata e applicando la formula $\lim g(x)^{h(x)} = e^{\lim h(x)\cdot(g(x)-1)}$.
3. c) Esprimi il valore esatto ottenuto in funzione del numero $e$ e verifica se la tua stima iniziale era corretta, tenendo conto che $e \approx 2{,}718$.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcola i valori dei parametri reali $a$ e $k$ sapendo che la funzione ha un asintoto orizzontale in $y = 3$ e che il suo grafico passa per il punto $(1, -2)$. Una volta trovati, verifica se il limite per $x \to -\infty$ coincide con il limite per $x \to +\infty$.

Calcola il limite della seguente funzione quando la variabile $x$ tende a $+\infty$. Per risolverlo, individua prima il termine dominante sia al numeratore sia al denominatore:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Un server di videogiochi ha stimato che il numero di utenti connessi contemporaneamente durante il primo anno segua la funzione $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, dove $t$ è il tempo in mesi.

1. a) Che cosa succede al numero di utenti se il tempo cresce indefinitamente?
2. b) Interpreta il risultato in termini di asintoti orizzontali.

Risolvi il seguente limite che coinvolge una differenza di funzioni irrazionali. Ricorda di utilizzare la tecnica del coniugato per risolvere la forma indeterminata di tipo $[\infty - \infty]$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Determina il valore del seguente limite utilizzando la relazione con il numero $e$. Devi trasformare l'espressione in modo che compaia la forma della definizione di tale costante:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Date le funzioni $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ e $h(x) = \ln(x)$, ordina i seguenti limiti dal valore minore al maggiore in base all'ordine di grandezza degli infiniti coinvolti quando $x \to +\infty$:

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Calcola il limite per $x \to -\infty$ della seguente funzione. Presta particolare attenzione al trattamento dei segni quando la variabile negativa esce o entra in una radice di indice pari:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Trova il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché valga la seguente uguaglianza:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0$$

Questo tipo di limite è fondamentale per il calcolo degli asintoti obliqui che studierai nei temi successivi.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), nei suoi rapporti sulla digitalizzazione territoriale, analizza la copertura della banda ultralarga nei comuni rurali con meno di 5.000 abitanti in Italia. La percentuale stimata di famiglie rurali con accesso a questa rete in funzione del tempo è modellizzata dalla funzione:

$$P(t) = \frac{88t^2 + 120t}{t^2 + 2t + 5}$$

dove $t$ è il tempo trascorso in anni dall'avvio della strategia nazionale ($t = 0$, corrispondente all'anno 2018).

1. a) Calcola la percentuale di famiglie rurali che disponeva di connessione all'inizio del piano ($t = 0$) e interpreta il risultato.
2. b) Determina e motiva matematicamente il valore di $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ confrontando i gradi del numeratore e del denominatore, e spiega quale significato pratico ha tale limite per la coesione territoriale.
3. c) Un operatore ha affermato sulla stampa che questo modello garantisce che, con il passare degli anni, si raggiungerà la copertura universale ($100\,\%$) in tali zone rurali. Sulla base dei risultati analitici ottenuti, confuta o conferma tale affermazione con argomenti matematici.

Per calcolare il limite all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^4 + 6x^2} - x^2 \right)$$

due studenti propongono strategie diverse:

• Metodo A (Marta): Raccogliere a fattor comune la massima potenza all'interno della radice: $\sqrt{x^4\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)} - x^2 = x^2\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - x^2 = x^2\left(\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - 1\right)$. Poiché $\frac{6}{x^2} \to 0$, sostituisce $\sqrt{1+0}-1 = 0$ e conclude che il risultato è $\infty \cdot 0 = 0$.

• Metodo B (Sergio): Individuare una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$ tra termini dello stesso ordine e moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata $\sqrt{x^4 + 6x^2} + x^2$.

1. a) Analizza criticamente il Metodo A: spiega perché non è matematicamente valido sostituire solo una parte dell'espressione con il suo limite parziale mantenendo variabile un'altra parte, e ricorda quale natura ha l'espressione $\infty \cdot 0$.
2. b) Sviluppa dettagliatamente il Metodo B e ottieni il valore corretto del limite.
3. c) A partire dal confronto dei due metodi, stabilisci un criterio generale: in quali condizioni è indispensabile ricorrere al coniugato anziché limitarsi a confrontare i termini dominanti di ciascun addendo?

Calcola i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché valga la seguente uguaglianza all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + b} \right) = \frac{5}{4}$$

Per risolverlo, considera l'uso dell'espressione coniugata e l'analisi dei termini dominanti al numeratore e al denominatore che ne risultano.

Si sta analizzando la diffusione di una notizia falsa su un social network. Il numero di utenti coinvolti $N(t)$ dopo $t$ ore è dato dalla funzione:

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Determina il comportamento della funzione a lungo termine, cioè calcola $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Giustifica la risposta basandoti sul confronto degli ordini di infinito (esponenziale rispetto a polinomiale e logaritmica).

Trova il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché il seguente limite di tipo $1^\infty$ sia uguale a $\sqrt[3]{e^2}$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Assicurati di applicare correttamente la formula per risolvere la forma indeterminata del tipo numero $e$.

Studia il limite a meno infinito della seguente funzione razionale che contiene un valore assoluto e una radice quadrata:

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

Cioè, calcola $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Fai particolare attenzione al segno della variabile $x$ quando porti dentro o fuori fattori dalla radice quadrata e quando elimini il valore assoluto.

Un prototipo di motore a propulsione ionica per satelliti ha un consumo di energia $E(x)$ in joule che dipende dalla velocità $x$ (in km/s) secondo l'espressione:

$$E(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 2} - x$$

La figura mostra il grafico di $E(x)$ per $0 \le x \le 20$.

Calcola l'energia limite che consuma il motore quando la velocità tende a infinito. Interpreta graficamente se il consumo si stabilizza o se continua a crescere indefinitamente, calcolando l'asintoto orizzontale, se esiste.

Calcola il valore della seguente espressione limite, risolvendo la forma indeterminata $\infty - \infty$ mediante la riduzione a un'unica frazione e lo studio dei gradi dei polinomi:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x^2 + 5}{x - 1} - \frac{2x^3 - 3x}{x^2 + 1} \right]$$

Una volta ottenuta la forma razionale semplice, indica se la funzione presenta un asintoto orizzontale o obliquo in base al risultato del limite.

Calcola il limite della funzione data dalla seguente radice annidata:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Questo esercizio richiede un uso preciso della tecnica del coniugato e un'analisi attenta della potenza dominante all'interno dei radicali.

Data la funzione $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + 1}{2x^2 - 4}$, determina i valori dei coefficienti reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione ha un asintoto obliquo il cui coefficiente angolare è $m = 3$ e che il limite della funzione per $x$ che tende a $+\infty$, dopo averne sottratto la componente angolare (cioè il termine $n$ dell'asintoto $y=mx+n$), è $4$.

In altre parole, risolvi per $a$ e $b$ sapendo che:

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 3$

2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 3x] = 4$

Trova i valori dei parametri reali $a$, $b$ e $c$ affinché la funzione:

$$f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} - (bx + c)$$

verifichi contemporaneamente le due seguenti condizioni asintotiche:

1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2) $\lim_{x \to -\infty} \left( f(x) + 4x \right) = 3$

Per risolvere il problema in modo ordinato:

1. a) Analizza la condizione (1) per $x \to +\infty$: deduci motivando quale valore costante deve assumere $b$ affinché il limite non sia infinito e, applicando la tecnica del coniugato, ottieni una relazione lineare tra $a$ e $c$.
2. b) Analizza la condizione (2) per $x \to -\infty$: esegui il cambio di variabile formale $x = -t$ (con $t \to +\infty$), tenendo conto che $\sqrt{x^2} = |x| = -x = t$, applica la tecnica corrispondente e ottieni una seconda equazione con $a$ e $c$.
3. c) Risolvi il sistema ottenuto, scrivi l'espressione analitica definitiva della funzione $f(x)$ e verifica la coerenza dei risultati.

Carlo deve calcolare il seguente limite a meno infinito:

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 4x} + x \right)$$

Sul suo quaderno svolge i seguenti passaggi:

1. Applica il cambio di variabile $x = -t$ con $t \to +\infty$: $\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{(-t)^2 - 4(-t)} + (-t) \right) = \lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{t^2 + 4t} - t \right)$.

2. Ragiona: «Quando $t \to +\infty$, il termine $4t$ è trascurabile rispetto a $t^2$, quindi $\sqrt{t^2 + 4t} \approx \sqrt{t^2} = t$».

3. Conclude: «Pertanto, il limite è $\lim_{t \to +\infty} (t - t) = 0$».

La sua insegnante gli fa notare che il passaggio 1 è corretto, ma che la conclusione finale è falsa e che il limite reale è 2.

1. a) Indica l'errore concettuale commesso nel passaggio 2: spiega perché approssimare la radice quadrata soltanto con il suo termine di grado maggiore produce una perdita critica di informazione quando si sottraggono infiniti dello stesso ordine.
2. b) Correggi il calcolo risolvendo il limite ottenuto nel passaggio 1 con il procedimento rigoroso del coniugato fino a giustificare il valore 2.
3. c) Carlo chiede: «Perché in un rapporto come $\lim_{t \to +\infty} \frac{\sqrt{t^2 + 4t}}{3t}$ è perfettamente lecito trascurare il $4t$ e approssimare la radice con $t$ per ottenere $\frac{1}{3}$, mentre nella differenza non è permesso?». Rispondi a Carlo distinguendo con rigore matematico il comportamento delle approssimazioni asintotiche nei rapporti rispetto a somme o differenze con cancellazione.