Esercizi: Continuità di una funzione in un punto

Osserva il seguente grafico della funzione $f(x)$ e analizza il suo comportamento nel punto di ascissa $x = 2$. Indica se la funzione è continua in quel punto verificando le tre condizioni di continuità: esistenza di $f(2)$, esistenza del $\lim_{x \to 2} f(x)$ e coincidenza dei due valori.

Studia la continuità della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ nel punto $x = 1$. Se presenta una discontinuità, indica di quale tipo è (eliminabile, a salto finito o a salto infinito) e stabilisci se esiste un modo di ridefinire la funzione in modo che sia continua in quel punto.

Data la seguente funzione definita a tratti, calcola i limiti laterali nel punto di rottura $x = 3$ e determina se la funzione è continua in quel punto:

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un drone di sorveglianza segue una traiettoria la cui altezza è definita dalla funzione $h(t)$ (in metri) rispetto al tempo $t$ (in secondi). A causa di un cambiamento nel sistema di controllo, la funzione cambia in $t = 5$:

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Verifica se la transizione di altezza è continua all'istante $t = 5$, per evitare che il drone subisca un movimento brusco.

Determina il valore del parametro $k$ affinché la funzione $g(x)$ sia continua su tutta la retta reale $\mathbb{R}$:

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Analizza visivamente la continuità della funzione rappresentata nel seguente grafico. Individua il valore di $x$ in cui la funzione presenta una discontinuità e classificala in base al comportamento dei suoi rami laterali.

Data la funzione $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, giustifica perché non è continua nel punto $x = -4$. A tal fine, calcola i limiti laterali $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ e $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ e descrivi il tipo di discontinuità che presenta.

Verifica se la funzione $f(x) = e^{x-1}$ è continua nel punto $x = 1$. Perché la risposta sia completa, devi verificare se il valore della funzione nel punto coincide con il limite della funzione quando $x$ tende a 1.

In una verifica di quinto anno di liceo si chiede di studiare la continuità nel punto $x = 1$ della funzione:

Marco scrive la seguente risposta nel suo esercizio:

«Poiché sostituendo $x = 1$ nel primo ramo otteniamo $\frac{0}{0}$, scompongo il numeratore come $(x - 1)(x + 1)$. Semplifico il fattore $(x - 1)$ con il denominatore $|x - 1|$, per cui l'espressione semplificata è $x + 1$. Calcolando il limite per $x \to 1$, ottengo $1 + 1 = 2$. Dato che questo limite coincide con $f(1) = 2$, la funzione è continua in $x = 1$».

Il tuo compito è:

1. a) Individuare e spiegare i due errori concettuali commessi da Marco (uno algebrico relativo alla semplificazione del valore assoluto e uno relativo alla definizione formale di limite).
2. b) Correggere l'esercizio: scrivi la funzione a tratti eliminando le barre del valore assoluto in un intorno di $x = 1$, calcola rigorosamente i limiti laterali $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, e concludi in modo giustificato se $f$ è continua in $x = 1$, indicando il tipo di discontinuità in caso contrario.

Considera la funzione reale definita da:

1. a) Stima: Prima di svolgere qualsiasi calcolo algebrico formale, approssima il comportamento del rapporto incrementale vicino all'origine. A tal fine, valuta numericamente l'espressione $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ in valori vicini a zero da entrambi i lati (ad esempio, con $x = 0,1$, $x = 0,01$, $x = -0,1$ e $x = -0,01$). A partire da questi risultati, formula un'ipotesi motivata: pensi che la funzione sia continua in $x = 0$?
2. b) Verifica: Dimostra analiticamente la tua congettura risolvendo la forma indeterminata $\lim_{x \to 0} f(x)$ moltiplicando per l'espressione coniugata. Verifica in modo ordinato se sono soddisfatte le tre condizioni richieste dalla definizione di continuità in $x = 0$.
3. c) Valuta: Confronta il risultato algebrico esatto con le approssimazioni numeriche calcolate all'inizio e rifletti sul rischio di confermare la continuità di una funzione basandosi esclusivamente su una tabella finita di valori.

Data la funzione dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$:

Calcola il valore di $k$ affinché la funzione presenti una discontinuità di salto finito in $x = 3$. Esiste qualche valore di $k$ che la renda continua in quel punto? Motiva la tua risposta mediante il calcolo dei limiti laterali.

Studia la continuità della seguente funzione in tutto il suo dominio, classificando i punti di discontinuità che trovi:

Accompagna la tua analisi analitica con uno schema dei limiti laterali nei punti critici.

Un sistema di refrigerazione industriale regola la sua potenza $P$ (in kilowatt) in base alla temperatura esterna $T$ (in gradi Celsius) mediante la seguente funzione:

Determina il valore della costante $a$ affinché la transizione di potenza sia continua quando la temperatura passa per i $0\,^\circ C$.

Considera la funzione $f(x)$ definita da:

Trova i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia continua nel suo dominio di definizione. Una volta trovati, indica se la funzione è continua in $x = -1$.

Classifica tutte le discontinuità della funzione $g(x)$ e determina i suoi asintoti verticali analizzando il comportamento della funzione in prossimità dei valori in cui non è definita:

Come definiresti la funzione nei punti di discontinuità eliminabile affinché risulti continua in essi?

Si sta collaudando un nuovo prototipo di motore la cui accelerazione $a$ (in $m/s^2$) dipende dal tempo $t$ (in secondi) secondo l'espressione:

Calcola il valore di $m$ affinché l'accelerazione non subisca salti bruschi (sia continua) nell'istante $t = 2$ s.

Data la funzione:

Studia la sua continuità nei punti $x = 1$ e $x = -1$. Se esistono discontinuità, indica di che tipo sono e se esiste un modo di ridefinire la funzione per eliminarle.

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione $f(x)$ sia continua in tutto $\mathbb{R}$:

Spiega dettagliatamente il procedimento seguito, verificando l'uguaglianza dei limiti laterali in ciascun punto di cambio di ramo.

Un'azienda di spedizioni urgenti che opera in Italia stabilisce il prezzo delle sue spedizioni nazionali in funzione del peso $x$ del pacco (in chilogrammi). La tariffa fatturata $P(x)$ (in euro) è data dalla seguente funzione definita a tratti:

Per rispettare la normativa a tutela dei consumatori ed evitare che un minimo aumento di peso penalizzi l'utente con un salto improvviso in fattura, l'azienda esige che la funzione dei prezzi non abbia discontinuità nel suo dominio.

1. a) Determina i valori reali dei parametri $a$ e $b$ che rendono la funzione $P(x)$ continua nei punti di cambio di tratto $x = 5$ e $x = 9$.
2. b) Giustifica analiticamente la continuità in entrambi i punti verificando il rispetto delle tre condizioni di continuità una volta trovati i parametri.
3. c) Interpreta il significato pratico del valore $P(5)$ e spiega che cosa accadrebbe commercialmente se in $x = 5$ esistesse una discontinuità di salto finito con $\lim_{x \to 5^+} P(x) = 15$ €. Chi ne sarebbe danneggiato se il pacco pesa $5,01\text{ kg}$?

Progetta e scrivi l'espressione algebrica di una funzione definita a tratti $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1. Presenta una discontinuità eliminabile nel punto di ascissa $x = -2$.

2. È continua nel punto di ascissa $x = 0$, dove deve cambiare espressione algebrica e deve contenere obbligatoriamente il valore assoluto $|x|$ in almeno uno dei suoi tratti.

3. Presenta una discontinuità a salto finito di ampiezza esattamente 3 unità nel punto di ascissa $x = 3$ (cioè $|\lim_{x \to 3^+} f(x) - \lim_{x \to 3^-} f(x)| = 3$).

Una volta proposta la tua funzione:

1. a) Scrivi la sua formula analitica completa, indicando gli intervalli di definizione di ciascun tratto.
2. b) Giustifica passo per passo, applicando le tre condizioni della definizione formale di continuità e calcolando i relativi limiti laterali, perché la tua funzione soddisfa rigorosamente ciascuna delle tre condizioni richieste.

Nella progettazione di un nuovo componente per un acceleratore di particelle, l'intensità di un campo magnetico in funzione della posizione $x$ (in millimetri) è definita dalla seguente funzione:

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché l'intensità del campo magnetico sia continua nel punto $x = 0$. Una volta trovati, la funzione sarebbe continua nel punto $x = 2$? Motiva analiticamente la tua risposta.

Studia la continuità della seguente funzione in tutto il suo dominio, classificando dettagliatamente ciascuno dei suoi punti di discontinuità:

$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Successivamente, se vi fosse qualche punto in cui la discontinuità è eliminabile, proponi una ridefinizione della funzione in tale punto per renderla continua in esso. Se non ce n'è nessuno, giustificalo.

Un'azienda di telecomunicazioni sta regolando la potenza di un'antenna 5G. La perdita di segnale $L$ (in decibel) dipende dalla distanza $d$ (in km) secondo l'espressione:

$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$

Si richiede che la transizione di potenza sia graduale e continua per non interrompere le chiamate al limite di 1 km. Calcola i valori di $k$ e $a$ sapendo che, quando la distanza tende a 0 km, la perdita di segnale tende a 2 dB.

Data la funzione $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$, si chiede di:

1. a) Trovare il valore del parametro $a \in \mathbb{R}$ affinché $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Con il valore di $a$ ottenuto nel punto precedente, definire una nuova funzione $g(x)$ tale che:

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Determinare $b$ e $c$ affinché $g(x)$ sia continua in $x = 1$.

Applica il teorema di esistenza degli zeri per dimostrare che i grafici delle funzioni $f(x) = \ln(x)$ e $g(x) = e^{-x}$ si intersecano in almeno un punto all'interno dell'intervallo $(1, e)$. Giustifica in modo motivato se tale punto di intersezione è unico in quell'intervallo basandoti sulla crescenza delle funzioni.

Studia la continuità della funzione $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ nel punto $x = 0$. A tale scopo, calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Che tipo di discontinuità presenta la funzione in quel punto?

Un gruppo di ingegneri robotici ha programmato il movimento di un braccio meccanico. La velocità dell'estremità del braccio (in m/s) segue la traiettoria:

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Determina i valori di $a$ e $b$ affinché il movimento del robot sia continuo (senza strappi bruschi) nell'istante $t = 4$ secondi.

Data la funzione dipendente dal parametro $k$:

$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - x}$

1. a) Trova il valore di $k$ affinché la funzione abbia una discontinuità eliminabile in $x = 1$.
2. b) Per tale valore di $k$, studia la continuità in $x = 0$ e determina se esiste qualche asintoto verticale.
3. c) Esiste qualche valore di $k$ che renda la funzione continua in tutto $\mathbb{R}$? Giustifica la tua risposta.

Si vuole studiare se esiste qualche valore del parametro $L \in \mathbb{R}$ per il quale la seguente funzione risulti continua nel punto $x = 1$:

Per calcolare il limite della funzione in $x = 1$, due studenti propongono due percorsi diversi:

• Metodo 1 (Scomposizione preliminare): Riscrivere la funzione eliminando i valori assoluti in base al segno di $(x - 1)$ per ottenere una funzione definita per casi in un intorno di $x = 1$, semplificare algebricamente ciascun ramo e valutare i limiti laterali.

• Metodo 2 (Sostituzione diretta del segno): Mantenere l'espressione compatta e calcolare direttamente i limiti laterali sostituendo $|x - 1|$ con $-(x - 1)$ avvicinandosi da sinistra ($x \to 1^-$) e con $+(x - 1)$ avvicinandosi da destra ($x \to 1^+$).

Un terzo studente suggerisce il Metodo 3: Applicare direttamente la regola di de L'Hôpital al quoziente complessivo usando la derivata del valore assoluto $|u|' = \frac{u}{|u|} \cdot u'$.

1. a) Scarta in modo motivato il Metodo 3 spiegando quale proprietà geometrica e analitica non vale in $x = 1$ per la funzione $|x - 1|$, invalidando l'uso della derivata in quel punto.
2. b) Applica sia il Metodo 1 sia il Metodo 2 per calcolare i limiti laterali $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x)$. Giustifica quale dei due metodi offre maggiori garanzie logiche per non commettere errori di segno con il denominatore.
3. c) A partire dai risultati ottenuti, deduci se è possibile trovare il valore di $L$ che renda continua la funzione in $x = 1$. Se non è possibile, classifica la discontinuità esistente indicandone il salto.

Si considera la funzione dipendente dalle costanti reali $a, b, c, k \in \mathbb{R}$:

1. a) Ragionamento sui limiti finiti: Osserva che il denominatore del primo tratto si annulla in $x = 2$. Motiva perché, affinché la funzione abbia qualche possibilità di essere continua in $x = 2$, è strettamente necessario che anche il numeratore si annulli in $x = 2$. Che tipo di comportamento presenterebbe la funzione se tale numeratore non fosse zero?
2. b) Deduzione dei parametri in base al tipo di discontinuità: Si sa che, all'interno dell'intervallo $(-\infty, 2)$, la funzione presenta una discontinuità eliminabile nel punto $x = -2$. Con questa informazione e la deduzione del punto precedente, determina in modo univoco i valori dei coefficienti $a$ e $b$.
3. c) Raccordo dei tratti: Con i valori di $a$ e $b$ già calcolati, trova il valore del limite laterale $\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Quindi calcola il limite laterale destro $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ utilizzando gli infinitesimi equivalenti o la regola di de L'Hôpital. Infine, deduci quali valori devono assumere $c$ e $k$ per garantire che $f$ sia continua in $x = 2$.