Esercizi: Calcolo dei limiti

Dato il grafico della funzione $f(x)$ riportato di seguito, individua visivamente il valore dei seguenti limiti:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcola il limite all'infinito della seguente funzione polinomiale, che rappresenta l'evoluzione dei profitti di una startup tecnologica (in migliaia di euro) nel tempo $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -2x^3 + 50x^2 - 100 )$$

Indica qual è il termine dominante e giustifica perché il segno del coefficiente principale determina il comportamento finale della funzione.

Un server di videogiochi gestisce il numero di giocatori connessi mediante la funzione $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, dove $x$ è il tempo in ore dal lancio di un evento. Calcola il limite dei giocatori quando il tempo tende a infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

In un laboratorio di chimica, la concentrazione di un reagente in una miscela (in mg/l) segue la funzione $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, dove $t$ è il tempo in minuti. Determina a quale valore tende la concentrazione a lungo termine calcolando:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Calcola i limiti laterali della funzione $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ nel punto in cui si annulla il denominatore. A tal fine, studia la tendenza di $f(x)$ avvicinandoti da sinistra e da destra, osservando il segno del numeratore e del denominatore:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

Lo schema mostra gli assi, l'asintoto verticale $x=5$ e il verso in cui ci avviciniamo ad esso da ciascun lato:

Risolvi la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ semplificando la frazione mediante la scomposizione in fattori dei polinomi (puoi usare i prodotti notevoli o la regola di Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Basandoti sul confronto degli ordini di infinito, determina il valore dei seguenti limiti senza eseguire operazioni complesse:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

La quota di un drone da ricognizione (in metri) rispetto alla distanza orizzontale $x$ percorsa è data dalla funzione $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Sebbene il drone non possa trovarsi fisicamente nella posizione $x = 3$ a causa di una restrizione del software, calcola il limite della quota quando si avvicina a tale punto:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Matteo sta risolvendo alla lavagna il seguente limite con forma indeterminata del tipo $1^\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} \right)^{3x}$$

Per risolverlo, esegue il seguente procedimento:

1. Verifica che $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = 1$ e che l'esponente tende a $+\infty$.

2. Applica la formula dell'esponente ausiliario:

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{2x + 5}{2x + 1} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} 3x \cdot \left( \frac{4}{2x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{12x}{2x + 1} = 6$$

1. Conclude: «Poiché il risultato del calcolo è $6$, il limite originale vale $6$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Matteo nella sua conclusione finale. Giustifica che cosa rappresenta in realtà il valore $L = 6$ ricorrendo alla definizione e alla deduzione del numero $e$.
2. b) Scrivi il valore corretto del limite.

Si vuole analizzare il comportamento asintotico del seguente quoziente all'infinito:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500 \cdot x^2}{1,02^x}$$

1. a) Stima: Prima di applicare qualsiasi regola algebrica, rifletti sul numeratore e sul denominatore. Il numeratore contiene una potenza di grado elevato ($x^{10}$), mentre il denominatore ha una base esponenziale molto prossima a $1$ ($1,02$). Ragiona in modo intuitivo se ritieni che la frazione tenderà a $0$, a un numero reale positivo o a $+\infty$ quando $x$ raggiunge valori dell'ordine di $x = 10\,000$.
2. b) Verifica: Applica formalmente la gerarchia degli infiniti ($\ln x \ll x^k \ll a^x$ con $a > 1$) per dedurre il valore esatto di $L$. Valuta se la tua stima precedente era corretta e giustifica perché il ritmo moltiplicativo costante di un'esponenziale prevale sempre su qualsiasi polinomio, per quanto grande sia il suo grado.

Un sensore di precisione in un laboratorio di nanotecnologia misura la forza di attrazione tra due particelle. L'intensità del segnale $S$ in funzione della distanza $x$ (in nanometri) è espressa dalla seguente funzione:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

La figura mostra il grafico di $S(x)$: per $x=4$ la funzione non è definita (punto con il cerchio vuoto).

Calcola il valore a cui tende il segnale quando la distanza $x$ si avvicina a $4$ nanometri. Spiega quale tecnica matematica hai utilizzato per risolvere la forma indeterminata.

Nello studio della diffusione di una notizia sui social network, si stima che il numero di utenti raggiunti $U$ (in migliaia) dopo $t$ ore segua l'espressione:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcola il limite degli utenti raggiunti quando il tempo cresce indefinitamente ($t \to +\infty$). La funzione presenta qualche asintoto orizzontale? Giustifica la risposta confrontando i gradi dei termini dominanti.

Calcola il seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\infty - \infty$ mediante l'uso dell'espressione coniugata:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Rappresenta graficamente in modo schematico che cosa significa questo risultato rispetto alla distanza tra la funzione radicale e la retta $y = x$.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione razionale che dipende da un parametro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Trova il valore di $k$ affinché il limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sia finito. Una volta trovato tale valore, calcola il valore del limite.

La crescita di una popolazione di uccelli in una riserva naturale protetta segue la seguente legge di capitalizzazione composta continua idealizzata:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcola il limite della popolazione quando il tempo $t$ tende a infinito. Esprimi il risultato in funzione del numero $e$.

Calcola il valore dei seguenti limiti confrontando gli ordini di infinito delle funzioni coinvolte (esponenziali, potenze e logaritmi):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^{10} + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Si consideri la funzione $f(x)$ definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcola il valore del parametro $a$ affinché esista il limite della funzione nel punto $x = 3$. Qual è il valore di tale limite?

Calcola il limite nel punto $x = 0$ della seguente espressione trigonometrica, utilizzando infinitesimi equivalenti o identità trigonometriche note:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) proietta l'evoluzione demografica di un territorio rurale della provincia di Cuneo colpito dallo spopolamento. Il numero di abitanti, $P(t)$ (in migliaia di persone), trascorsi $t$ anni dal 2024, è modellizzato dalla funzione:

$$P(t) = \frac{15t + 8}{\sqrt{4t^2 + 7t + 1} + t}$$

1. a) Calcola la popolazione stimata nell'istante iniziale $t = 0$ e interpreta la cifra esatta di abitanti.
2. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Per risolvere la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$, dividi numeratore e denominatore in modo esplicito per la massima potenza di $t$, giustificando algebricamente come tale fattore viene introdotto all'interno della radice quadrata.
3. c) A partire dal limite trovato, interpreta se il territorio tende a rimanere deserto a lungo termine o se la sua popolazione si stabilizza su un valore limite finito. Esprimi tale valore come numero concreto di abitanti.

Si sa che il seguente limite esiste ed è un numero reale finito e non nullo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + ax} - (1 + 2x)}{b \cdot x^2} = -\frac{3}{2}$$

dove $a$ e $b$ sono parametri reali costanti con $b \neq 0$.

1. a) Moltiplica e dividi il quoziente per l'espressione coniugata $\sqrt{1 + ax} + (1 + 2x)$ e sviluppa il numeratore raggruppando i termini secondo le potenze decrescenti di $x$.
2. b) Tenendo conto che il denominatore ha un fattore quadratico $x^2$, spiega perché è indispensabile che il termine lineare in $x$ del numeratore si annulli affinché il limite non diverga a infinito. Determina da tale deduzione il valore obbligato di $a$.
3. c) Con il valore di $a$ ormai fissato, semplifica la frazione eliminando la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ e trova il valore di $b$ necessario affinché il limite valga esattamente $-\frac{3}{2}$.

Un server di videogiochi multigiocatore ha rilevato che il numero di utenti attivi, $N(t)$, in migliaia, segue un modello di crescita di tipo esponenziale in funzione del tempo $t$ (in mesi) definito dall'espressione:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcola il limite degli utenti attivi quando il tempo tende a infinito ($t \to +\infty$). La popolazione di giocatori si stabilizza su un valore finito o cresce indefinitamente?

Nella progettazione di una nuova rampa per uno skate park, gli ingegneri devono assicurare che la transizione tra due tratti della pista sia liscia (continua). L'altezza della rampa $h(x)$ in metri è data dalla seguente funzione:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina i valori dei parametri $k$ e $a$ affinché esista $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ e questo sia uguale all'altezza iniziale della rampa, che è $2$ metri.

Calcola il valore del seguente limite applicando il confronto tra infiniti o la regola di de l'Hôpital, analizzando in dettaglio l'ordine di grandezza di ciascun termine:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

Quale termine domina la crescita della funzione al numeratore e quale al denominatore?

Un satellite descrive una traiettoria la cui distanza radiale dal centro di un pianeta, in migliaia di chilometri, è data da $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, dove $x$ rappresenta il tempo di missione. Sapendo che dopo molto tempo ($x \to +\infty$) la distanza si stabilizza a $4$ mila chilometri, determina il valore della costante orbitale $a$.

Determina, motivando, il valore dei parametri $a$ e $b$ (con $a, b \in \mathbb{R}$) affinché sia verificata la seguente uguaglianza di limiti:

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$

Studia il comportamento della funzione $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ quando $x$ si avvicina a zero. Per farlo, calcola:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Spiega perché questo limite dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$ e risolvilo utilizzando i logaritmi naturali o la formula specifica per questo tipo di limiti.

Sia data la funzione $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$.

1. a) Calcola il valore di $k$ affinché il limite della funzione quando $x \to 2$ sia finito.

1. b) Una volta trovato $k$, calcola tale limite.

1. c) Classifica il tipo di discontinuità che presenta la funzione in $x = 2$ e in $x = -2$.

Calcola il valore del limite della seguente successione, che compare spesso nei problemi di interesse composto continuo e di probabilità:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Nota: Questo esercizio richiede un'attenta trattazione della forma indeterminata interna prima di valutare la potenza complessiva.

Per calcolare il limite indeterminato $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 6x} - 1}{\tan(2x)}$, si propongono due strade teoriche:

• Via A (Coniugato cubico e infinitesimi equivalenti): Usare l'identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ per razionalizzare il numeratore e applicare l'equivalenza trigonometrica adeguata al denominatore.

• Via B (Regola di de L'Hôpital): Verificare che siano soddisfatte le condizioni di derivabilità e di indeterminazione e derivare numeratore e denominatore.

1. a) Sviluppa per intero la risoluzione mediante la Via A. Spiega perché è lecito sostituire $\tan(2x)$ con il suo infinitesimo equivalente in questo caso concreto e perché non lo sarebbe se fosse all'interno di una sottrazione.
2. b) Sviluppa la risoluzione mediante la Via B, calcolando in dettaglio la derivata della radice cubica e valutando il limite risultante.
3. c) Valuta i due metodi: quale presenta il minor rischio di errore algebrico in un compito in classe? Spiega inoltre perché un cambio di variabile del tipo $t = \sqrt[3]{1 + 6x}$ risulterebbe notevolmente più laborioso a causa della presenza della funzione trigonometrica.

In una verifica, Irene deve risolvere il limite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \sin x - 2(1 - \cos x)}{x^4}$$

Irene scrive la seguente risposta:

«Poiché $x \to 0$, applico gli infinitesimi noti: $\sin x \sim x$ e $(1 - \cos x) \sim \frac{x^2}{2}$. Sostituendo nel numeratore ottengo:

$$x \cdot (x) - 2 \cdot \left(\frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x^2 = 0$$

Dato che il numeratore si annulla, il limite è uguale a $0$».

1. a) Spiega in modo rigoroso l'errore concettuale di Irene. Perché la sostituzione di infinitesimi equivalenti in somme o differenze può portare a un'ingannevole cancellazione dei termini principali?
2. b) Dimostra che il limite non è zero calcolandone il valore esatto mediante l'applicazione ripetuta della regola di de L'Hôpital (giustificando a ogni passaggio perché sono soddisfatte le ipotesi del teorema).
3. c) A partire dal risultato corretto, spiega quale fosse realmente il primo termine non nullo del numeratore e perché l'approssimazione di Irene ha eliminato l'informazione rilevante del limite.