Esercizi: Asintoti di una funzione

Osserva il seguente grafico che rappresenta il consumo di memoria RAM (in GB) di un server di processi in funzione del tempo $t$ (in secondi). Determina, in modo intuitivo, il valore dei limiti laterali nell'istante $t = 4$ e stabilisci, motivando, se esiste il limite globale in quel punto.

Un drone per ispezioni tecniche segue una traiettoria di avvicinamento a un'antenna la cui altezza è data dalla funzione $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dal centro di controllo. Calcola il limite dell'altezza quando il drone si trova molto vicino a $x = 3$ metri.

(Nota: anche se la funzione non è definita in $x=3$, studia il limite semplificando l'espressione).

Calcola i seguenti limiti diretti per sostituzione, che rappresentano la velocità di una particella in metri al secondo in diversi istanti $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, che descrive l'intensità di un campo magnetico in relazione alla distanza $x$ da un filo conduttore:

1. a) Determina il dominio della funzione.
2. b) Calcola i limiti laterali $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica l'equazione del suo asintoto verticale.

In uno studio biologico, il numero di individui di una popolazione di batteri (in migliaia) segue il modello $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, dove $t$ è il tempo in ore.

1. a) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ per conoscere la popolazione a lungo termine.
2. b) Che tipo di asintoto rappresenta questo risultato? Scrivi la sua equazione.

Trova tutti gli asintoti (verticali e orizzontali) della funzione $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. A tale scopo:

1. Individua il valore di $x$ che annulla il denominatore.

2. Calcola il limite della funzione per $x \to \infty$.

Determina il comportamento all'infinito delle seguenti funzioni polinomiali, indicando se tendono a $+\infty$ o $-\infty$:

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ per $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ per $x \to -\infty$

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, che modella l'efficienza di un pannello fotovoltaico in funzione della radiazione ricevuta $x$, giustifica mediante il calcolo di limiti se la funzione ha qualche asintoto orizzontale e rappresentalo graficamente in modo schematico.

In una verifica di Matematica si chiede di analizzare gli asintoti della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Luca consegna il seguente svolgimento:

«Poiché il denominatore si annulla in $x = 2$ e in $x = -2$, la funzione ha necessariamente due asintoti verticali: le rette $x = 2$ e $x = -2$. Inoltre, poiché $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, la retta $y = 1$ è asintoto orizzontale e, quindi, il grafico della funzione non potrà mai intersecare tale retta $y = 1$».

1. a) Individua e spiega i due errori concettuali commessi da Luca nel suo ragionamento.
2. b) Correggi l'esercizio: calcola i limiti laterali pertinenti in $x = -2$ per caratterizzare il vero asintoto verticale, spiega che cosa accade esattamente in $x = 2$ e verifica algebricamente se la curva interseca o no la retta $y = 1$.

Considera la funzione razionale $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 + 1}$.

1. a) Stima: Prima di applicare qualsiasi regola formale sui limiti, osserva i termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore. Prevedi in modo motivato verso quale valore numerico tenderà la funzione quando $x$ assume valori positivi molto grandi (ad esempio $x = 1000$). Deduci anche in modo intuitivo se la curva si avvicinerà a tale valore da sopra o da sotto, analizzando l'effetto del termine $-5x$.
2. b) Verifica: Calcola formalmente l'equazione dell'asintoto orizzontale mediante i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$. Successivamente, studia analiticamente la posizione relativa del grafico rispetto all'asintoto calcolando il segno della differenza $f(x) - y_{\text{asintoto}}$. Valuta se i risultati confermano o correggono la tua stima iniziale.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina il valore del parametro reale $a$ sapendo che la funzione ha un asintoto orizzontale nella retta $y = 3$. Una volta trovato il valore di $a$, calcola i limiti laterali della funzione in corrispondenza dei suoi asintoti verticali e spiega il comportamento del grafico in quei punti.

Un gruppo di ingegneri sta monitorando la temperatura $T$ (in gradi Celsius) di una nuova scheda grafica in funzione del tempo $t$ (in minuti) dall'accensione. La funzione è data da:

Calcola la temperatura iniziale del processore e determina, mediante il calcolo di limiti, se la temperatura si stabilizza a lungo termine. Che tipo di asintoto rappresenta questo valore di stabilizzazione?

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$ (ogni tacca degli assi corrisponde a un'unità). Supponi che i due rami continuino fuori dal riquadro con l'andamento mostrato. A partire dall'informazione visiva, determina il valore dei seguenti limiti e le equazioni di tutti i suoi asintoti:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ e $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Trova l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Per completare lo studio, indica la posizione relativa della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Calcola il valore del seguente limite che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$ utilizzando la relazione con il numero $e$:

Si considera la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcola $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Verifica se esiste un asintoto orizzontale quando $x$ tende a $+\infty$.
3. c) Indaga che cosa accade al limite della funzione quando $x \to -\infty$. Esiste qualche asintoto in quel ramo?

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Determina se esiste qualche valore di $k$ affinché la funzione abbia una discontinuità eliminabile in $x = 2$.
2. b) Se $k = 9$, studia l'esistenza di asintoti verticali e descrivi il comportamento della funzione nelle loro vicinanze mediante i limiti laterali.

Calcola i seguenti limiti risolvendo le relative forme indeterminate:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Per trovare l'asintoto obliquo della funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$ e studiare la posizione della curva rispetto a esso, due compagne di classe propongono strategie diverse:

• Strategia A (Divisione algebrica): Eseguire la divisione euclidea del numeratore per il denominatore per esprimere la funzione come $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

• Strategia B (Limiti analitici): Calcolare i coefficienti mediante le formule $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

1. a) Applica la Strategia A: ottieni il quoziente e il resto semplificato, e indica direttamente l'equazione della retta asintoto e la posizione relativa della curva in $+\infty$ e in $-\infty$.
2. b) Applica la Strategia B: calcola dettagliatamente i due limiti fino ad arrivare alla stessa equazione.
3. c) Confronta i due percorsi: giustifica quale delle due strategie è più efficiente in questo caso particolare per determinare la posizione relativa della curva e spiega in quale tipo di funzioni la Strategia A risulta totalmente inutilizzabile, rendendo indispensabile ricorrere alla Strategia B.

Progetta l'espressione analitica di una funzione razionale $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi simultaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Ha un unico asintoto verticale nella retta $x = 3$, con $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ e $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.

2. Presenta una discontinuità eliminabile nel punto di ascissa $x = -1$.

3. Possiede un asintoto obliquo di equazione $y = 2x - 1$.

4. Interseca l'asse delle ordinate nel punto $(0, -2)$.

1. a) Deduci in modo motivato quali devono essere i gradi minimi dei polinomi $P(x)$ e $Q(x)$.
2. b) Costruisci passo dopo passo i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$, giustificando come garantisci ciascuna delle condizioni fissate.

Si sta progettando un nuovo algoritmo di compressione dei dati per una piattaforma di streaming. Il tempo di risposta del sistema, in millisecondi, è modellizzato dalla funzione $T(x)$, dove $x$ rappresenta il carico di lavoro in terabyte:

Sapendo che, affinché il sistema sia stabile in condizioni di carico estremo, il limite del tempo di risposta quando il carico tende a infinito deve essere esattamente $e^4$, determina motivando il valore del parametro $a$.

Considera la funzione $f(x)$, definita mediante un valore assoluto, che modellizza la traiettoria di un drone di sorveglianza:

Studia l'esistenza di asintoti obliqui per questa funzione. Se esistono, calcola le loro equazioni e analizza la posizione della curva rispetto a tali asintoti sia per $+\infty$ sia per $-\infty$.

Un satellite per telecomunicazioni segue un'orbita la cui perturbazione gravitazionale è descritta dalla funzione $g(x)$. Si richiede che il satellite non si allontani indefinitamente da una traiettoria lineare prevista. La funzione è:

Trova i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione abbia un asintoto orizzontale in $y = 2$ quando $x \to +\infty$.

Data la funzione dipendente dai parametri $k$ e $m$:

Calcola i valori di $k$ e $m$ affinché $f(x)$ abbia un asintoto obliquo che passi per il punto $(0, 2)$ e il cui coefficiente angolare sia $3$. Una volta trovati, verifica se la funzione possiede qualche asintoto verticale e giustifica se sia eliminabile o meno.

Nello studio della diffusione di un virus informatico in un social network, si è determinato che il numero di nodi infettati $N(t)$ dopo un tempo $t$ (in ore) segue la funzione:

Analizza il comportamento dell'infezione a lungo termine calcolando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. La funzione presenta qualche asintoto orizzontale? Giustifica la risposta applicando le corrispondenti gerarchie degli infiniti.

Studia il dominio e tutti gli asintoti della seguente funzione logaritmica:

Determina i limiti laterali in ciascuno dei punti in cui la funzione non è definita e traccia graficamente il comportamento della funzione in prossimità dei suoi asintoti verticali.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Calcola il valore del seguente limite utilizzando la regola di de L'Hôpital dopo aver eseguito le trasformazioni necessarie per risolvere la forma indeterminata:

A partire dal risultato ottenuto, indica se la funzione $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ possiede un asintoto verticale nell'origine.

Sia la funzione $f(x)$ definita a tratti:

1. Determina il valore di $k$ affinché la funzione presenti una discontinuità di salto finito in $x = 2$.

2. Per il valore di $k$ ottenuto nel punto precedente, determina il valore di $a$ affinché la funzione abbia un asintoto orizzontale $y = 3$ per $x \to +\infty$.

Nel quadro della transizione energetica in Italia, si modellizza il costo medio di generazione elettrica di due impianti in funzione dell'energia mensile prodotta $x$ (in migliaia di MWh, con $x > 0$):

• Una centrale termosolare con accumulo in Sicilia ha un costo medio unitario (in euro/MWh) modellizzato da: $$C_1(x) = \dfrac{35x + \sqrt{16x^2 + 20x + 9}}{x}$$

• Un parco eolico offshore flottante sperimentale presenta un costo medio unitario modellizzato da: $$C_2(x) = \dfrac{2x^2 + 15x + 8}{x + 1}$$

1. a) Studia in modo motivato il comportamento di $C_1(x)$ per livelli minimi di produzione ($x \to 0^+$) e determina il suo asintoto orizzontale quando la produzione cresce su larga scala ($x \to +\infty$). Interpreta il significato fisico e gestionale di entrambi gli asintoti.
2. b) Determina analiticamente l'asintoto di $C_2(x)$ per $x \to +\infty$ (orizzontale od obliquo), ottenendone l'equazione completa.
3. c) Spiega in modo motivato quale dei due modelli descrive una tecnologia con rendimenti di scala sostenibili a lungo termine e quale presenterà costi unitari crescenti all'espandersi della produzione, basandoti sul tipo dei loro asintoti.

Considera la famiglia di funzioni definita per ogni numero reale dall'espressione:

dove $a$ e $b$ sono parametri reali.

1. a) Determina in modo motivato i valori di $a$ e $b$ affinché il grafico di $f(x)$ presenti un asintoto orizzontale in $+\infty$ la cui equazione sia $y = 4$.
2. b) Con i valori di $a$ e $b$ fissati nel punto precedente, dimostra che la funzione non ha asintoto orizzontale in $-\infty$, ma un asintoto obliquo. Calcola rigorosamente la sua equazione $y = mx + n$, prestando particolare attenzione al trattamento algebrico del radicale quando $x \to -\infty$ nel raccoglimento a fattor comune.
3. c) Giustifica perché questa funzione non può avere alcun asintoto verticale nell'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.