Esercizi: Rette e piani nello spazio

Sono dati i punti $A(1, 2, -1)$ e $B(4, -2, 11)$ nello spazio cartesiano.

1. a) Calcola la distanza tra $A$ e $B$.

1. b) Determina le coordinate del punto medio del segmento $AB$.

Scrivi l'equazione cartesiana del piano passante per il punto $P(2, -1, 3)$ e perpendicolare al vettore $\vec{n} = (3, 1, -2)$.

Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per $A(1, 0, 2)$ e $B(3, -1, 5)$.

Sono dati il piano $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$ e il punto $P(3, 1, 4)$.

1. a) Calcola la distanza di $P$ dal piano $\pi$.

1. b) Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per $P$ e perpendicolare a $\pi$.

1. c) Determina le coordinate della proiezione ortogonale di $P$ su $\pi$.

Sono date la retta $r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ e il piano $\pi: x + 2y - z + 1 = 0$.

1. a) Stabilisci se $r$ e $\pi$ sono incidenti, paralleli o se $r$ è contenuta in $\pi$.

1. b) Se sono incidenti, determina le coordinate del punto di intersezione.

Un drone parte dal punto $A(0, 0, 10)$ di una piazza di Bologna (coordinate in metri, $z$ è la quota) e si muove in linea retta con vettore velocità $\vec{v} = (3, 4, -1)$ m/s.

1. a) Scrivi la legge oraria del drone in forma parametrica.

1. b) Il suolo ha equazione $z = 0$. Dopo quanti secondi il drone tocca il suolo e in quale punto?

1. c) Quale distanza ha percorso fino a quel momento?

Sono date le rette

1. a) Dimostra che $r$ e $s$ sono sghembe.

1. b) Determina l'equazione del piano passante per $r$ e parallelo a $s$.

1. c) Calcola la distanza tra $r$ e $s$.

Determina il valore del parametro $k$ per cui i piani $\pi_1: x + ky - z = 1$ e $\pi_2: 2x - y + kz = 3$ sono perpendicolari. Per tale valore di $k$, scrivi le equazioni parametriche della retta intersezione dei due piani e calcola l'angolo che essa forma con il piano $\pi_3: z = 0$.

Sono dati i punti $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ e $C(0, 0, 3)$.

1. a) Scrivi l'equazione del piano $\pi$ passante per $A$, $B$, $C$.

1. b) Calcola l'area del triangolo $ABC$ e il volume del tetraedro $OABC$, con $O$ origine.

1. c) Usando i risultati precedenti, ricava la distanza di $O$ dal piano $\pi$ e verificala con la formula della distanza punto-piano.