Esercizi: Equazione di Newton e moti
Un corpo di massa $m = 2$ kg è sottoposto a una forza costante $F = 10$ N lungo una retta. Scrivi l'equazione differenziale $m x'' = F$ del moto e determina…
Un corpo di massa $m = 2$ kg è sottoposto a una forza costante $F = 10$ N lungo una retta. Scrivi l'equazione differenziale $m x'' = F$ del moto e determina l'accelerazione.
Un corpo si muove con accelerazione costante $a = 3$ m/s², posizione iniziale $x(0) = 0$ e velocità iniziale $v(0) = 2$ m/s. Risolvi l'equazione $x'' = 3$ e scrivi…
Un corpo si muove con accelerazione costante $a = 3$ m/s², posizione iniziale $x(0) = 0$ e velocità iniziale $v(0) = 2$ m/s. Risolvi l'equazione $x'' = 3$ e scrivi $x(t)$.
Un sasso cade da fermo da un ponte, con $g = 9,8$ m/s² e resistenza dell'aria trascurabile. Scrivi la legge oraria $y(t)$ dello spazio percorso verso il basso e calcola…
Un sasso cade da fermo da un ponte, con $g = 9,8$ m/s² e resistenza dell'aria trascurabile. Scrivi la legge oraria $y(t)$ dello spazio percorso verso il basso e calcola la velocità dopo 3 s.
Una palla è lanciata verso l'alto dalla Torre degli Asinelli di Bologna, a un'altezza di 97 m, con velocità iniziale $v_0 = 12$ m/s. Usando $y'' = -9,8$ m/s²: a)…
Una palla è lanciata verso l'alto dalla Torre degli Asinelli di Bologna, a un'altezza di 97 m, con velocità iniziale $v_0 = 12$ m/s. Usando $y'' = -9,8$ m/s²:
- a) Determina $y(t)$.
- b) Calcola la massima altezza raggiunta.
- c) Calcola dopo quanti secondi tocca il suolo (arrotonda ai centesimi).
Un corpo di massa $m = 0,5$ kg è attaccato a una molla di costante elastica $k = 18$ N/m e si muove senza attrito: $m x'' = -kx$. Verifica che $x(t) = A\cos(\omega t)$ è…
Un corpo di massa $m = 0,5$ kg è attaccato a una molla di costante elastica $k = 18$ N/m e si muove senza attrito: $m x'' = -kx$. Verifica che $x(t) = A\cos(\omega t)$ è soluzione per un opportuno $\omega$, calcola $\omega$ e il periodo del moto.
Un'auto di massa 1.000 kg viaggia a 20 m/s e frena con una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F = -50v$ (in N). Scrivi l'equazione $m v' = -50 v$, risolvila…
Un'auto di massa 1.000 kg viaggia a 20 m/s e frena con una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F = -50v$ (in N). Scrivi l'equazione $m v' = -50 v$, risolvila con $v(0) = 20$ e calcola dopo quanti secondi la velocità scende a 5 m/s.
Un paracadutista di massa $m = 80$ kg cade con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità: $m v' = mg - bv$, con $b = 16$ kg/s, $g = 9,8$ m/s² e $v(0) = 0$. a)…
Un paracadutista di massa $m = 80$ kg cade con resistenza dell'aria proporzionale alla velocità: $m v' = mg - bv$, con $b = 16$ kg/s, $g = 9,8$ m/s² e $v(0) = 0$.
- a) Risolvi il problema di Cauchy per $v(t)$.
- b) Calcola la velocità limite e giustifica che $v$ è crescente e limitata.
- c) Determina dopo quanto tempo la velocità raggiunge il 90% di quella limite.
Si consideri l'equazione $x'' + 4x = 0$. a) Dimostra che $x(t) = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ è soluzione per ogni $c_1, c_2$. b) Determina la soluzione con $x(0) = 1$ e…
Si consideri l'equazione $x'' + 4x = 0$.
- a) Dimostra che $x(t) = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ è soluzione per ogni $c_1, c_2$.
- b) Determina la soluzione con $x(0) = 1$ e $x'(0) = 4$.
- c) Scrivila nella forma $x(t) = R\cos(2t - \varphi)$ e indica ampiezza e periodo.
Secondo la legge di Newton del raffreddamento, la temperatura $T(t)$ di un caffè soddisfa $T' = -k(T - T_a)$, con $T_a = 20\,°C$ temperatura dell'ambiente. Il caffè è…
Secondo la legge di Newton del raffreddamento, la temperatura $T(t)$ di un caffè soddisfa $T' = -k(T - T_a)$, con $T_a = 20\,°C$ temperatura dell'ambiente. Il caffè è servito a 80 °C e dopo 5 minuti è a 50 °C.
- a) Determina $T(t)$ e la costante $k$.
- b) Dopo quanti minuti il caffè raggiunge 30 °C?
- c) Dimostra che la differenza $T - T_a$ si dimezza in intervalli di tempo uguali e calcola tale intervallo.