Esercizi: Equazioni differenziali del primo ordine

Verifica che la funzione $y(x) = 3e^{2x}$ è soluzione dell'equazione differenziale $y' = 2y$ e determina la soluzione che soddisfa $y(0) = 5$.

Risolvi l'equazione differenziale $y' = 6x^2 - 4x$ e determina la soluzione particolare tale che $y(1) = 2$.

Risolvi l'equazione a variabili separabili $y' = \dfrac{x}{y}$, con $y > 0$, e scrivi la soluzione per cui $y(0) = 2$.

Risolvi il problema di Cauchy:

Una popolazione di batteri in un laboratorio dell'Università di Padova cresce con velocità proporzionale al numero $N(t)$ di individui presenti: $N'(t) = kN(t)$. All'istante $t = 0$ ci sono 2.000 batteri e dopo 3 ore ce ne sono 6.000.

1. a) Determina $N(t)$ e il valore di $k$.

1. b) Dopo quante ore la popolazione raggiunge 50.000 batteri?

Risolvi l'equazione lineare $y' + 2y = 4x$ e determina la soluzione con $y(0) = 1$, cercando una soluzione particolare del tipo $y = ax + b$.

Si considera il problema di Cauchy $y' = y(4 - y)$, $y(0) = 1$.

1. a) Individua le soluzioni costanti.

1. b) Risolvi l'equazione per separazione di variabili e scrivi la soluzione.

1. c) Calcola $\lim_{x \to +\infty} y(x)$ e giustifica perché $y$ è crescente per ogni $x$.

Dimostra che, se $y_1$ e $y_2$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $y' + p(x)y = 0$, allora lo è anche $c_1y_1 + c_2y_2$ per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$. Mostra con un controesempio che la proprietà non vale per l'equazione $y' = y^2$.

Risolvi il problema di Cauchy $x y' - 2y = x^3$, con $x > 0$ e $y(1) = 0$. Determina poi il punto di minimo relativo della soluzione trovata, se esiste.