Esercizi: Concetti: tasso di variazione e derivata di una funzione in un punto

Calcola il tasso di variazione medio (TVM) della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 5$ nell'intervallo $[1, 4]$. Spiega graficamente che cosa rappresenta il valore ottenuto in relazione alla retta secante che passa per i punti $A$ e $B$ della curva corrispondenti agli estremi di tale intervallo (sono indicati nella figura).

Un'atleta di quinto liceo si allena per i 100 metri piani. La distanza percorsa (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è data dall'espressione $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.

Calcola la velocità media dell'atleta tra gli istanti $t = 2$ s e $t = 6$ s. Con quale concetto matematico coincide questo valore?

Data la funzione $f(x) = 3x^2 - 1$, utilizza la definizione di derivata in un punto mediante il limite:

per trovare il valore della derivata nel punto di ascissa $x = 2$.

Determina il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione $f(x) = \sqrt{x+1}$ nel punto in cui $x = 3$, applicando il limite del tasso di variazione istantaneo:

Il numero di iscritti a un nuovo canale YouTube evolve secondo la funzione $S(t) = t^2 + 10t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione.

1. a) Calcola il tasso di variazione medio degli iscritti tra il giorno $t = 0$ e il giorno $t = 10$.
2. b) Qual è la crescita istantanea degli iscritti esattamente nel giorno $t = 5$? (Calcola $S'(5)$ usando la definizione).

Considera la funzione razionale $f(x) = \frac{2}{x}$.

Dimostra, applicando la definizione di derivata come limite, che il valore del tasso di variazione istantaneo in $x = 1$ è $f'(1) = -2$. Interpreta il segno del risultato ottenuto.

Osserva il seguente grafico di una funzione $f(x)$. Senza eseguire calcoli, ordina dal minore al maggiore i seguenti valori, giustificando la tua risposta in base all'inclinazione delle rette:

• Il tasso di variazione medio nell'intervallo $[1, 3]$.

• La derivata della funzione nel punto $x = 1$.

• La derivata della funzione nel punto $x = 3$.

La temperatura di una piastra metallica (in gradi Celsius) varia con il tempo $t$ (in minuti) secondo il modello $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$.

Calcola il tasso di variazione istantaneo della temperatura all'istante $t = 10$ minuti. Indica le unità di misura del risultato e spiega se in quel momento la piastra si sta riscaldando o raffreddando.

In un compito in classe di quinto liceo, Marco deve analizzare la derivabilità in $x = 1$ della seguente funzione definita a tratti:

Marco scrive nella sua risoluzione:

«Derivo direttamente ogni ramo: $f'(x) = 2x + 2$ per $x \le 1$, e $f'(x) = 4$ per $x > 1$.

Calcolo le derivate laterali sostituendo $x = 1$:

$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$

$f'(1^+) = 4$

Poiché le derivate laterali esistono e coincidono ($4 = 4$), concludo che la funzione è derivabile in $x = 1$ e che la retta tangente in tale punto ha coefficiente angolare $m = 4$».

1. a) Individua e spiega in dettaglio il grave errore concettuale che commette Marco nel suo ragionamento.
2. b) Utilizzando la definizione formale di derivata mediante il limite del rapporto incrementale destro, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcola il valore reale di tale limite e dimostra che cosa accade veramente a $f$ in $x = 1$.
3. c) Correggi la conclusione di Marco indicando se la funzione è continua, se è derivabile e se ha senso parlare di retta tangente in $x = 1$.

Si lancia verticalmente un razzo giocattolo. La sua altezza dal suolo in metri è descritta dalla funzione $h(t) = 24t - 4t^2$, dove $t$ è il tempo trascorso in secondi dal lancio ($t \in [0, 6]$).

1. a) Senza eseguire calcoli algebrici, stima in modo motivato il segno che avrà il tasso di variazione medio ($\text{TVM}$) nell'intervallo $[2, 4]$. Per farlo, considera la forma parabolica della traiettoria e individua l'istante in cui il razzo raggiunge la sua altezza massima. Ti aspetti che il $\text{TVM}[2, 4]$ sia positivo, negativo o nullo?
2. b) Calcola analiticamente il $\text{TVM}[2, 4]$ mediante la sua formula e verifica se la tua stima iniziale era corretta. Alla luce del risultato, è corretto dedurre che il razzo sia rimasto fermo durante quei due secondi? Spiega il significato fisico e geometrico del valore ottenuto in relazione alla retta secante.
3. c) Mediante la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, calcola la velocità istantanea $h'(2)$. Verifica se il segno e il valore ottenuti sono coerenti con la posizione del razzo in quell'istante.

La crescita dei follower di un nuovo account di un noto social network segue la funzione $S(t) = t^2 + 4t + 100$, dove $t$ è il tempo in giorni dalla sua creazione e $S(t)$ è il numero di follower. La figura mostra il grafico di $S$ e le rette che uniscono i punti della curva corrispondenti a $t=0$, $t=5$ e $t=10$.

1. a) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) del numero di follower negli intervalli $[0, 5]$ e $[5, 10]$.
2. b) Spiega il significato dei risultati ottenuti nel contesto della crescita dell'account. In quale intervallo la crescita è stata più rapida?

Calcola la derivata della funzione $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ nel punto di ascissa $x = 2$ utilizzando rigorosamente la definizione di derivata mediante il limite:

Si considera la funzione $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina il punto del grafico in cui la retta tangente ha coefficiente angolare $m = 2$. Una volta trovato il punto, scrivi l'equazione completa di tale retta tangente in forma punto-coefficiente angolare.

Data la funzione definita a tratti:

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 1$. Ricorda che, perché una funzione sia derivabile, deve prima essere continua.

Un pattinatore si muove su una pista la cui posizione (in metri) rispetto all'inizio è data dall'espressione $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, dove $t$ è il tempo in secondi.

1. a) Calcola la velocità media del pattinatore tra gli istanti $t = 0$ e $t = 4$ secondi.
2. b) Trova la velocità istantanea nel momento $t = 4$ secondi utilizzando la definizione di derivata.

Trova l'equazione della retta tangente e della retta normale alla curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ nel punto in cui il grafico interseca l'asse delle ordinate ($OY$).

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, si chiede:

1. a) Calcolare il tasso di variazione medio nell'intervallo $[2, 4]$.
2. b) Determinare se esiste qualche punto $c$ all'interno dell'intervallo $(2, 4)$ tale che la derivata istantanea $f'(c)$ coincida con il TVM calcolato nel punto precedente.

La temperatura di un componente elettronico durante le prime ore di funzionamento segue la funzione $T(t) = 20 + t \cdot e^{-t}$, dove $T$ è la temperatura in gradi Celsius e $t$ è il tempo in ore.

Calcola il tasso di variazione istantaneo della temperatura quando è trascorsa esattamente 1 ora ($t = 1$). In quell'istante la temperatura sta aumentando, diminuendo o nessuna delle due cose? Giustifica la tua risposta basandoti sul segno della derivata.

Durante un episodio di caldo estremo a Napoli, l'agenzia meteorologica registra che la temperatura $T$ (in gradi Celsius) durante le ore diurne è modellizzata con grande precisione dalla funzione:

dove $t$ rappresenta l'ora solare del giorno, con $t \in [10, 18]$ (dalle 10:00 alle 18:00).

1. a) Calcola il tasso di variazione medio della temperatura nell'intervallo $[10, 14]$. Esprimi il risultato con le unità corrispondenti e interpreta quale informazione fornisce sull'evoluzione termica complessiva durante quelle quattro ore.
2. b) Applicando rigorosamente la definizione di derivata mediante il limite del rapporto incrementale, calcola il tasso di variazione istantaneo della temperatura esattamente alle 14:00 ($t = 14$).
3. c) Confronta numericamente $\text{TVM}[10, 14]$ con $T'(14)$. Spiega in modo motivato perché il tasso istantaneo alle 14:00 è inferiore alla media delle quattro ore precedenti, mettendo in relazione questa variazione con la vicinanza al punto di temperatura massima del pomeriggio.

Determina i coefficienti reali $a$, $b$ e $c$ di una funzione polinomiale di secondo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ a partire dalle seguenti informazioni sperimentali sul suo grafico:

1. Il suo grafico interseca l'asse delle ordinate nel punto $P(0, 2)$.

2. Il tasso di variazione medio nell'intervallo $[0, 3]$ è $\text{TVM}[0, 3] = 5$.

3. La retta normale al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 1$ è la retta di equazione $x + 3y - 10 = 0$.

1. a) A partire dall'equazione della retta normale, deduci in modo motivato il valore dell'ordinata $f(1)$ e il valore del coefficiente angolare della retta tangente $f'(1)$.
2. b) Ottieni l'espressione della derivata $f'(1)$ in funzione dei parametri applicando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$, e imposta il sistema di equazioni che permette di determinare univocamente $a$, $b$ e $c$.
3. c) Scrivi l'equazione esplicita della retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 1$.

Si considera la funzione definita a tratti:

Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ affinché la funzione sia derivabile nel punto $x = 2$. Per farlo, dovrai assicurare prima la continuità e, successivamente, l'esistenza delle derivate laterali finite e uguali in tale punto utilizzando la definizione di derivata.

Calcola, usando esclusivamente la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, il valore del seguente limite:

Suggerimento: identifica questo limite con la derivata di una funzione nota in un punto determinato e risolvi mediante le usuali regole di derivazione per verificare il tuo risultato.

Un drone per la sorveglianza forestale segue una traiettoria di avvicinamento la cui altezza $h$ (in metri) rispetto al tempo $t$ (in secondi) è data dalla funzione:

Si chiede:

1. Calcola il tasso di variazione medio (TVM) dell'altezza nell'intervallo $[0, 5]$. Spiega il suo significato fisico.

2. Utilizzando la definizione di derivata in un punto, ricava la velocità istantanea di salita all'istante $t = 5$ secondi.

3. Verifica se esiste qualche istante $t > 0$ in cui la velocità istantanea coincide esattamente con il TVM calcolato nel primo punto.

Data la funzione $f(x) = x \cdot |x - 3|$, studia la sua derivabilità nel punto $x = 3$.

Per farlo:

1. Esprimi la funzione come funzione definita a tratti.

2. Calcola le derivate laterali $f'(3^-)$ e $f'(3^+)$ mediante il limite del rapporto incrementale.

3. Interpreta geometricamente il risultato ottenuto: il grafico presenta un punto angoloso o una tangente liscia in $x=3$? Giustifica la tua risposta.

Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva $y = x^2 - 4x + 5$ che passano per il punto esterno $A(0, 0)$ (la figura ne mostra solo una).

Nota: Tieni presente che il punto A non appartiene alla curva. Dovrai impostare il coefficiente angolare della tangente in un punto generico $(a, f(a))$ uguagliandolo al coefficiente angolare della retta che unisce tale punto con l'origine.

Sia la funzione $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Dimostra, applicando la definizione di derivata, che la sua funzione derivata è $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ per ogni valore di $x$ appartenente al suo dominio.

A partire da questo risultato, determina le coordinate dei punti del grafico in cui la retta tangente è parallela alla bisettrice del secondo quadrante ($y = -x$).

Considera la funzione $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Studia la continuità della funzione nell'origine ($x=0$).

2. Analizza la derivabilità in $x=0$ calcolando il limite del rapporto incrementale.

3. Se il limite tende a infinito, che tipo di retta tangente presenta la funzione in quel punto? Descrivi il comportamento visivo del grafico in prossimità dell'origine.

In un laboratorio di biotecnologie, la popolazione di una colonia di batteri (in milioni) è modellata dalla funzione:

dove $t$ è il tempo in ore. Si chiede:

1. Trovare il tasso di variazione istantaneo (TVI) della popolazione per $t = 1$ ora e per $t = 4$ ore.

2. Determinare in quale di questi due istanti la popolazione cresce più rapidamente.

3. Esiste qualche istante in cui la velocità di crescita sia nulla? In caso affermativo, calcola tale valore di $t$ e interpreta che cosa accade alla popolazione in quel momento.

Si considera la funzione continua $f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + 1$. Due studenti di quinto liceo discutono sull'esistenza della retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 2$:

• Lucia (metodo delle regole di derivazione): Applica la regola della potenza e della funzione composta, ottenendo $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}$. Sostituendo $x = 2$, osserva che il denominatore si annulla ($\frac{1}{0}$), per cui conclude: «Poiché non esiste un valore reale per $f'(2)$, il grafico non ha retta tangente in $x = 2$».

• Davide (metodo della definizione formale): Afferma che le regole meccaniche sono insufficienti di fronte alle singolarità e imposta il limite del rapporto incrementale:

1. a) Sviluppa il metodo di Davide calcolando tale limite per $h \to 0^+$ e per $h \to 0^-$. Quale comportamento manifestano i coefficienti angolari delle rette secanti avvicinandosi al punto $(2, 1)$?
2. b) Confronta i due metodi e valuta criticamente la conclusione di Lucia. È vero che non esiste la retta tangente, o esiste una tangente verticale? Scrivi in modo motivato l'equazione della retta tangente e quella della retta normale in tale punto.
3. c) Giustifica in quali tipi di funzioni o punti singolari è indispensabile ricorrere al metodo della definizione formale invece di limitarsi ad applicare le regole meccaniche di derivazione.

Nel progetto del tracciato di una linea ferroviaria ad alta velocità, gli ingegneri devono progettare una transizione liscia tra un tratto rettilineo e un tratto in curva parabolica per evitare accelerazioni brusche sul convoglio. Il profilo del tracciato è modellizzato dalla funzione:

Per garantire sicurezza e comfort, il capitolato tecnico richiede tre condizioni:

1. Che il raccordo in $x = 1$ sia continuo e derivabile (transizione senza spigoli).

2. Che nel tratto curvo il tasso di variazione medio tra $x = 1$ e $x = 3$ sia nullo: $\text{TVM}[1, 3] = 0$.

3. Che la retta tangente alla curva in $x = 3$ sia perpendicolare alla retta $y = \frac{1}{2}x$.

1. a) Modellizza formalmente le tre richieste del capitolato: esprimi la derivabilità in $x = 1$ mediante l'uguaglianza delle derivate laterali usando la definizione di rapporto incrementale, traduci la condizione del TVM e formula la condizione di tangenza perpendicolare in $x = 3$.
2. b) Risolvi il sistema impostato e determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.
3. c) Spiega geometricamente perché, in una funzione polinomiale di secondo grado, la condizione $\text{TVM}[1, 3] = 0$ unita a $f'(3) = -2$ impone necessariamente che $f'(1^+) = 2$, facendo sì che la derivabilità nel punto di raccordo sia automaticamente soddisfatta senza doverla imporre in modo indipendente.