Esercizi: Proprietà delle funzioni derivabili. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^2 - 6x + 8$, verifica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[2, 4]$. In caso affermativo, determina il valore del punto $c \in (2, 4)$ la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Considera la funzione $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina il valore del parametro $k \in \mathbb{R}$ affinché la funzione soddisfi la condizione $f(1) = f(5)$ e si possa applicare il teorema di Rolle nell'intervallo $[1, 5]$. Una volta trovato $k$, calcola il valore di $c$ in cui la derivata si annulla.

Considera la funzione $f(x) = x^2 - x$ nell'intervallo $[0, 2]$. Nella figura compaiono il suo grafico e la retta secante passante per i punti $A$ e $B$ del grafico di ascisse $0$ e $2$.

1. a) Verifica che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange in $[0, 2]$ e calcola il coefficiente angolare della retta secante $AB$.

1. b) Determina il valore del punto $c \in (0, 2)$ la cui esistenza è garantita dal teorema.

1. c) Spiega graficamente quale relazione ha la retta tangente al grafico nel punto di ascissa $c$ con la retta secante $AB$.

Un maratoneta si allena su una pista rettilinea. La sua posizione (in metri) rispetto al punto di partenza è data dalla funzione $s(t) = t^2 + 2t$, dove $t$ è il tempo in secondi. Utilizza il teorema di Lagrange per dimostrare che in un certo istante tra $t=1$ e $t=4$ secondi la sua velocità istantanea è stata esattamente uguale alla sua velocità media in quell'intervallo. Calcola tale istante.

Spiega in modo motivato perché non si può applicare il teorema di Rolle alla funzione $f(x) = 1 - |x-1|$ nell'intervallo $[0, 2]$, nonostante $f(0) = f(2) = 0$. Quale ipotesi non è soddisfatta in questo caso?

Date le funzioni $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$, verifica se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Cauchy nell'intervallo $[1, 3]$. In caso affermativo, determina il valore di $c \in (1, 3)$ tale che:

Si sa che una funzione $f(x)$ è continua nell'intervallo chiuso $[1, 5]$ e derivabile nell'aperto $(1, 5)$. Se i valori della funzione agli estremi sono $f(1) = 10$ e $f(5) = 30$, possiamo assicurare che esiste un punto $c$ nell'intervallo in cui il coefficiente angolare della retta tangente sia uguale a $5$? Giustifica la risposta utilizzando il teorema di Lagrange.

Data la funzione $f(x) = \sin(x)$, risolvi:

1. a) Verifica che sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[0, \pi]$.

1. b) Determina il valore di $c$ che soddisfa la tesi del teorema.

1. c) Rappresenta schematicamente $c$ sul grafico della funzione (puoi copiare la figura) o su una circonferenza goniometrica. Se usi il grafico, segna il punto di ascissa $c$ e disegna la retta tangente in quel punto.

Matteo deve risolvere in un compito in classe il seguente esercizio: «Verifica se la funzione $f(x) = 1 - |x|$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[-2, 2]$ e trova il punto $c$ previsto dal teorema». Sul foglio del compito, Matteo scrive:

«1. La funzione è continua in $[-2, 2]$ perché composizione di funzioni continue.

1. I valori agli estremi coincidono: $f(-2) = 1 - |-2| = -1$ e $f(2) = 1 - |2| = -1$.

2. Poiché le ipotesi sono soddisfatte, il teorema di Rolle assicura che esiste $c \in (-2, 2)$ con $f'(c) = 0$. Dato che la derivata vale $f'(x) = 1$ per $x < 0$ e $f'(x) = -1$ per $x > 0$, il punto cercato è $c = 0$».

Individua i due gravi errori concettuali commessi da Matteo (uno nella verifica delle ipotesi del teorema e uno nel determinare il valore della derivata in $c = 0$), spiega in dettaglio perché invalidano la sua conclusione e stabilisci se esiste o no un punto in tale intervallo in cui la derivata si annulla.

Trova, motivando, i coefficienti $a, b \in \mathbb{R}$ di una funzione quadratica della forma $f(x) = ax^2 + bx$ che soddisfi simultaneamente le seguenti condizioni:

1. Soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo chiuso $[0, 6]$.

2. Raggiunge un valore estremo relativo nel punto interno la cui esistenza è garantita dal teorema, essendo tale valore $f(c) = -18$.

Dopo aver ricavato i valori di $a$ e $b$, enuncia con precisione le ipotesi del teorema di Rolle e verifica formalmente che la funzione ottenuta le soddisfa in $[0, 6]$, calcolando esplicitamente il punto $c \in (0, 6)$ risultante.

Data la funzione definita a tratti:

Studia se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $[1, e+2]$ e, in caso affermativo, determina il valore o i valori di $c \in (1, e+2)$ la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Un autovelox di tratto su un'autostrada italiana rileva che un veicolo entra nella galleria (punto $A$) alle 14:00:00 e ne esce (punto $B$) alle 14:01:30. La distanza tra i due punti di controllo è di 3,5 km.

Se il limite di velocità nella galleria è $120 \text{ km/h}$, utilizza il teorema di Lagrange per giustificare se il conducente dovrebbe ricevere una multa per eccesso di velocità, indipendentemente dal fatto che la sua velocità all'ingresso e all'uscita fosse regolare.

Considera la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina il valore del parametro $k$ affinché la funzione soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[-2, 1]$.
2. b) Per tale valore di $k$, calcola i punti $c$ che verificano la tesi del teorema.

Sia data la funzione $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.

1. a) Verifica che $f(x)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo $[0, 1]$.
2. b) Esiste un punto in tale intervallo in cui il coefficiente angolare della retta tangente sia uguale a $1$? Giustifica la risposta utilizzando il teorema.

Applica il teorema di Cauchy alle funzioni $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ nell'intervallo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, cioè con $a = 0$ e $b = \frac{\pi}{2}$. Trova il valore di $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ che soddisfa l'uguaglianza:

Spiega l'interpretazione geometrica di questo risultato in termini della curva parametrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, con $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Nella figura compaiono tale curva, i suoi estremi $A = (g(a), f(a))$ e $B = (g(b), f(b))$, la retta secante $AB$ e gli incrementi $g(b)-g(a)$ e $f(b)-f(a)$.

Utilizza i teoremi di Bolzano e di Rolle per dimostrare che l'equazione:

ha esattamente una soluzione reale nell'intervallo $[0, 1]$.

Si considera la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Trova un punto sul grafico della funzione in cui la retta tangente sia parallela alla corda che unisce i punti della curva di ascisse $x=0$ e $x=4$. Quale teorema garantisce che tale punto esista? Enuncia le sue ipotesi e verifica che siano soddisfatte.

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 3}$, si può applicare il teorema di Rolle nell'intervallo $[1, 5]$ sapendo che $f(1) = f(5) = 0$?

Motiva la risposta analizzando la continuità e la derivabilità della funzione in tale intervallo. In caso negativo, spiega se ciò contraddice il teorema.

Sull'autostrada A1 è installato un autovelox di tratto per controllare un percorso di $15\text{ km}$ in cui la velocità massima consentita è fissata a $100\text{ km/h}$. Un'automobile entra nel tratto alle $11:00:00$ registrando una velocità puntuale di ingresso di $90\text{ km/h}$, ed esce dal tratto alle $11:08:15$ registrando una velocità puntuale di uscita di $95\text{ km/h}$.

1. a) Supponendo che la funzione di posizione del veicolo $s(t)$ in funzione del tempo sia continua e derivabile, calcola la velocità media del percorso in $\text{km/h}$.
2. b) Enuncia il teorema di Lagrange e utilizzalo per giustificare se si può sanzionare legalmente il conducente per eccesso di velocità, motivando se sia necessario o meno disporre di una fotografia istantanea intermedia del veicolo che viaggia oltre $100\text{ km/h}$.

Considera la funzione $f(x) = \sqrt{x}$ definita nell'intervallo $[1, 9]$.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo, fai una stima motivata: sapendo che la funzione radice quadrata ha concavità rivolta verso il basso in tutto il suo dominio (cioè la sua derivata prima è strettamente decrescente e i coefficienti angolari delle tangenti diminuiscono), il punto $c \in (1, 9)$ in cui la retta tangente è parallela alla secante che unisce gli estremi si troverà a sinistra del punto medio aritmetico ($x = 5$), nel punto medio stesso o alla sua destra? Giustifica qualitativamente la tua previsione.
2. b) Enuncia il teorema di Lagrange, verifica che le sue ipotesi sono soddisfatte in $[1, 9]$ e calcola il valore esatto di $c$.
3. c) Verifica se il valore numerico ottenuto conferma la tua stima iniziale e interpreta geometricamente il risultato.

Sia data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcola i valori dei parametri $a, b, k \in \mathbb{R}$ affinché la funzione $f(x)$ soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo $[0, e]$. Una volta trovati i parametri, determina il valore del punto $c \in (0, e)$ la cui esistenza è garantita dal teorema.

Dimostra, utilizzando congiuntamente il teorema di Bolzano (degli zeri) e il teorema di Rolle, che l'equazione:

ha un'unica soluzione reale per qualsiasi valore della costante $k \in \mathbb{R}$. Spiega in modo motivato perché l'esistenza di più di una radice contraddirebbe l'enunciato del teorema di Rolle.

Il sistema di registrazione GPS di un treno merci mostra che esso è passato per il punto chilometrico 150 di una linea alle 10:00:00 e per il punto chilometrico 162 alle 10:06:40. Il limite di velocità di quella linea è $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilizzando il teorema di Lagrange, giustifica se il treno ha superato in qualche momento il limite di velocità della linea.
2. b) Se la funzione che descrive la posizione del treno in quel tratto è $s(t) = 150 + 2t - 0,03t^2$ (dove $s$ è in km e $t$ in minuti dal passaggio per il primo punto chilometrico), determina l'istante esatto in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media del percorso.

Date le funzioni $f(x) = e^x$ e $g(x) = x^2 + 1$, applica il teorema di Cauchy (teorema del valor medio generalizzato) nell'intervallo $[0, 2]$.

Determina il valore di $c \in (0, 2)$, corrispondente al punto $P$ della figura, che soddisfa la tesi del teorema:

Considera una funzione $f(x)$ derivabile in tutto $\mathbb{R}$. Si sa che l'equazione $f'(x) = 0$ ha esattamente due soluzioni reali, $x_1 = -2$ e $x_2 = 3$.

Dimostra che la funzione $f(x)$ non può avere più di tre radici reali distinte. È possibile che la funzione abbia una sola radice reale? Giustifica la risposta basandoti sulle interpretazioni geometriche dei teoremi sulla derivabilità.

Utilizza il teorema di Lagrange per dimostrare la seguente disuguaglianza per ogni coppia di numeri reali $a$ e $b$ tali che $0 < a < b$:

Suggerimento: applica il teorema alla funzione $f(x) = \ln(x)$ nell'intervallo $[a, b]$.

Si considera la funzione $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determina per quali valori del parametro $m$ la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle in un intervallo della forma $[0, a]$ con $a > 0$.
2. b) Per $m = 0$, determina il più grande intervallo possibile $[p, q]$ in cui si può applicare il teorema e calcola il punto $c$ la cui esistenza è assicurata.

Due corridori, Alba e Bruno, iniziano contemporaneamente una gara dei 100 metri ostacoli e arrivano al traguardo in parità tecnica (stesso tempo $T$). Le loro funzioni di posizione sono $s_A(t)$ e $s_B(t)$, entrambe continue in $[0, T]$ e derivabili in $(0, T)$.

Dimostra, utilizzando il teorema di Rolle sulla funzione differenza $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, che ci fu almeno un istante durante la gara in cui entrambi i corridori avevano esattamente la stessa velocità istantanea.

Si vuole dimostrare con rigore che l'equazione $2x^3 + 3x - 4 = 0$ ha esattamente una soluzione reale nell'intervallo aperto $(0, 2)$. Per affrontare il problema, due studenti propongono strade diverse:

• Strategia A (Bolzano e monotonia): Dimostrare l'esistenza di almeno una radice in $(0, 2)$ mediante il teorema di Bolzano e, successivamente, dimostrare che la funzione associata è strettamente crescente in tutto $\mathbb{R}$ analizzando il segno di $f'(x)$ per dedurne l'unicità.

• Strategia B (Bolzano e teorema di Rolle): Dimostrare l'esistenza di almeno una radice con Bolzano e, successivamente, supporre per assurdo che esistano due radici distinte $x_1 < x_2$ in $(0, 2)$, applicando il teorema di Rolle in $[x_1, x_2]$ per giungere a una contraddizione con l'equazione $f'(x) = 0$.

Si chiede di:

1. a) Confrontare criticamente le due strategie: argomenta perché entrambe sono valide e spiega quale delle due risulta metodologicamente più diretta quando la derivata prima non ha radici reali.
2. b) Scegliere una delle due strategie e scrivere la dimostrazione completa e rigorosa dell'esistenza e unicità della radice, verificando esplicitamente tutte le ipotesi richieste dei teoremi utilizzati.

Date le funzioni $f(x) = \cos(x)$ e $g(x) = \operatorname{sen}(x)$ definite nell'intervallo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$:

1. a) Verifica formalmente se sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Cauchy (teorema del valor medio generalizzato) in tale intervallo, giustificando con rigore la condizione sulla non annullazione della derivata del denominatore $g'(x)$ nell'intervallo aperto.
2. b) Determina il valore esatto del punto $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ la cui esistenza è assicurata dal teorema.
3. c) Applica separatamente il teorema di Lagrange a $f(x)$ e a $g(x)$ nello stesso intervallo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, determina analiticamente i corrispondenti punti intermedi $c_1$ e $c_2$, e dimostra che nessuno di essi coincide con il valore $c$ ottenuto mediante il teorema di Cauchy. Giustifica concettualmente perché il teorema di Cauchy non equivale ad applicare Lagrange in modo indipendente a ciascuna funzione.