Esercizi: Applicazione al calcolo dei limiti. Regola di de l'Hôpital

Calcola il seguente limite utilizzando la regola di de l'Hôpital, verificando prima che si presenti la forma indeterminata necessaria:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

Nello studio della propagazione di un segnale elettromagnetico compare la seguente espressione per calcolare l'intensità in un punto critico. Trova il valore del limite quando il tempo $t$ tende a $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determina il valore del seguente limite di una funzione logaritmica. Ricorda di derivare correttamente numeratore e denominatore separatamente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Calcola il limite della seguente funzione razionale all'infinito. Anche se potresti risolverlo confrontando i gradi, utilizza la regola di de l'Hôpital per dimostrare il risultato:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Trova il valore del parametro $k$ affinché il seguente limite sia uguale a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Si sa che la concentrazione di un reagente chimico in una miscela segue la funzione $C(t)$. Calcola la concentrazione limite quando il tempo $t$ si avvicina a $0$ da destra:

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2}$$

Date le funzioni $f(x) = e^x - x - 1$ e $g(x) = x^2$, calcola, motivando, il limite del loro quoziente quando $x$ tende a $0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Nota: Potrebbe essere necessario applicare la regola di de l'Hôpital più di una volta.

Osserva il seguente grafico che rappresenta due funzioni $f(x)$ (in bianco) e $g(x)$ (in grigio scuro) che si annullano nel punto $x = a$. Sapendo che $f'(a) = 6$ e $g'(a) = 2$, calcola il valore del limite:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Matteo sta calcolando il seguente limite in una verifica di matematica:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

Sul foglio scrive i seguenti passaggi:

1) «Sostituendo $x = 0$, otteniamo $\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2 + 0} = \frac{0}{0}$. Poiché è una forma indeterminata, applico la regola di de l'Hôpital derivando numeratore e denominatore: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$».

2) «Poiché al denominatore c'è ancora la variabile $x$, applico di nuovo la regola di de l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$».

Individua l'errore concettuale commesso da Matteo nel passaggio 2, spiega in dettaglio perché non è lecito applicare la regola in quel punto e calcola il valore corretto del limite giustificando ogni passaggio.

Considera il limite:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{2x}$$

1. a) Prima di calcolarlo formalmente, stima il suo valore numerico: sapendo che $e^{0,03} \approx 1,03045$ e che $e^{-0,03} \approx 0,97045$, valuta il quoziente in $x = 0,01$ e in $x = -0,01$. A partire da queste approssimazioni, congettura quale numero decimale esatto rappresenta $L$.
2. b) Verifica la tua congettura risolvendo il limite mediante la regola di de l'Hôpital, controllando esplicitamente che siano soddisfatte le ipotesi necessarie per la sua applicazione.
3. c) Confronta il valore teorico ottenuto con le tue stime numeriche e spiega perché la media dei valori calcolati a sinistra e a destra si avvicina tanto al limite esatto.

Nello studio della propagazione di un segnale wifi in un ambiente con interferenze, la perdita di intensità è stata modellizzata mediante la seguente funzione della distanza $x$ (in metri):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcola il limite di questa funzione quando la distanza $x$ tende a $0$, cioè $\lim_{x \to 0} f(x)$, per determinare il comportamento del segnale nel punto di emissione.

Calcola il valore del seguente limite trasformando prima la forma indeterminata di tipo $\infty - \infty$ in un quoziente, in modo da poter applicare la regola di de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Un gruppo di ingegneri del suono sta analizzando la risposta di un filtro audio. Il guadagno del filtro in funzione della frequenza $x$ è dato dall'espressione:

$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$

Sapendo che il limite del guadagno quando la frequenza tende a zero è uguale a $-1$, cioè $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcola, motivando, i valori dei parametri $a$ e $b$.

Determina il valore del seguente limite, che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Per risolverlo, utilizza le proprietà dei logaritmi e la regola di de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcola il limite della seguente funzione quando $x$ tende a $\frac{\pi}{2}$. Tieni presente che dovrai eseguire una trasformazione preliminare per convertire la forma indeterminata $0 \cdot \infty$ in una forma adatta alla regola di de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \cdot \tan(x)$$

In un social network, il numero di «condivisioni» di un video virale nei primi secondi è stato modellizzato dalla funzione $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, dove $t$ è il tempo in secondi.

A quale valore tende il numero di condivisioni nell'istante iniziale? Calcola a tal fine:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Si vuole studiare la convergenza di un algoritmo di intelligenza artificiale. Il tasso di errore in funzione del numero di iterazioni $x$ è definito come:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Dimostra, utilizzando la regola di de l'Hôpital, che quando il numero di iterazioni tende a infinito ($x \to \infty$), il tasso di errore tende a $0$. Che cosa ci dice questo sull'efficienza dell'algoritmo a lungo termine?

Data la funzione dipendente dal parametro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{e^x - kx - 1}{x^2}$$

Calcola il valore di $k$ affinché il limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ sia un numero reale finito e determina tale valore. Spiega perché è necessario che l'espressione del numeratore si annulli in $x=0$ per poter applicare la regola.

In un modello matematico della diffrazione della luce attraverso una fenditura microscopica compare il seguente limite:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2} $$

Applica successivamente la regola di de l'Hôpital per determinarne il valore esatto.

Si vuole calcolare il seguente limite all'infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3}}$$

1. a) Verifica che presenta una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e prova a risolverlo applicando direttamente la regola di de l'Hôpital, derivando numeratore e denominatore. Che cosa accade derivando successivamente? Spiega perché questo metodo non permette di risolvere il limite.
2. b) Proponi e sviluppa un metodo algebrico alternativo che permetta di calcolare il limite in modo immediato e rigoroso.
3. c) Sulla base dei risultati precedenti, stabilisci un criterio generale per decidere quando conviene privilegiare la semplificazione algebrica rispetto all'uso meccanico della regola di de l'Hôpital nei quozienti con radicali all'infinito.

Nel mercato elettrico italiano (GME), durante un episodio di forte immissione di energia eolica, il prezzo marginale di aggiudicazione $P(t)$ (in euro/MWh) in funzione del tempo $t$ trascorso dall'inizio dell'immissione eolica (in ore, per $t > 0$) è modellizzato dall'espressione:

$$P(t) = 45 + \frac{30 \cdot (\sin(2t) - 2t)}{t^3}$$

1. a) Analizza a quale forma indeterminata conduce il calcolo del prezzo istantaneo nel momento di accoppiamento iniziale, cioè calcolando $\lim_{t \to 0^+} P(t)$.
2. b) Applica, giustificando, la regola di de l'Hôpital tante volte quante necessario per calcolare tale limite, verificando le condizioni richieste in ciascuna delle derivate intermedie.
3. c) Interpreta il risultato ottenuto nel contesto del sistema elettrico: il prezzo crolla a zero, tende a infinito o si stabilizza su un valore soglia positivo all'inizio dell'episodio? Determina tale prezzo limite in euro/MWh.

Nella progettazione di una nuova montagna russa, la curvatura di un tratto iniziale è determinata dall'esistenza del limite di una funzione di transizione. Perché il progetto sia fattibile, si richiede che il seguente limite sia un numero reale finito:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcola, motivando, i valori dei parametri $a, b \in \mathbb{R}$ affinché tale limite esista e sia finito. Una volta ottenuti, calcola il valore di tale limite.

In un laboratorio di biotecnologie, la crescita di una popolazione di batteri in un ambiente controllato segue una legge il cui tasso di accumulo cumulato si esprime mediante un integrale. Si vuole studiare il comportamento della densità della popolazione nell'istante iniziale calcolando il seguente limite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utilizza la regola di de l'Hôpital e il teorema fondamentale del calcolo integrale per determinare il valore di questo limite.

Determina, se esistono, i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia continua in tutto il suo dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Per risolvere il limite destro sarà necessario applicare la regola di de l'Hôpital più volte. Giustifica ogni passaggio del procedimento.

Calcola il valore del seguente limite, che presenta una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Assicurati di trasformare opportunamente l'espressione prima di applicare la regola di de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Un ingegnere delle telecomunicazioni analizza la perdita di potenza di un segnale in una fibra ottica. La potenza relativa $P$ rispetto alla distanza $d$ è modellizzata da una funzione che richiede di risolvere la seguente forma indeterminata quando il segnale si avvicina a un nodo critico ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcola il valore del limite indicando il tipo di forma indeterminata iniziale e le trasformazioni algebriche eseguite per applicare la regola di de l'Hôpital.

Si considera la funzione $g(x) = x^2 \cdot e^{-1/x^2}$ per $x \neq 0$.

1. Studia se è possibile assegnare un valore a $g(0)$ affinché la funzione sia continua in $x = 0$.

2. Utilizzando la definizione di derivata mediante un limite e applicando la regola di de l'Hôpital, dimostra se la funzione è derivabile in $x = 0$.

Nota: Presta particolare attenzione al cambio di variabile necessario per risolvere il limite all'infinito, se occorre.

Calcola il valore del limite della seguente funzione quando $x$ tende a zero da destra ($x \to 0^+$). Individua il tipo di forma indeterminata e utilizza la relazione tra potenze ed esponenziali ($u^v = e^{v \cdot \ln(u)}$):

$$\lim_{x \to 0^+} (\tan(x))^x$$

Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, si sa che presenta una discontinuità eliminabile in $x = 1$.

1. Calcola il valore della costante $k$.

2. Per tale valore di $k$, calcola il valore che la funzione dovrebbe assumere in $f(1)$ affinché sia continua in quel punto, risolvendo il limite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. Esiste un asintoto obliquo per questa funzione? Giustifica la risposta utilizzando i limiti.

Si sa che la concentrazione di un reagente chimico in un processo catalitico limite segue una dinamica tale che:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax) - bx}{x^3} = -\frac{4}{3} $$

Applica più volte la regola di de l'Hôpital per determinare i valori numerici esatti dei parametri reali $a$ e $b$.

Il fattore di deprezzamento di un'attività finanziaria a lungo termine si modellizza valutando il seguente limite:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Trasforma questa forma indeterminata del tipo $1^\infty$ utilizzando i logaritmi e applica la regola di de l'Hôpital per calcolare il valore esatto del fattore di deprezzamento $L$.

Un gruppo di ingegneri progetta il profilo di frenata dolce di un treno ad alta velocità sulla rete ferroviaria italiana. Tale comportamento richiede di determinare una famiglia di funzioni che soddisfi la condizione di curvatura:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot x + b \cdot x^2 + c \cdot x^3 + d \cdot \sin(x) - \sin(2x)}{x^3} = 4$$

dove $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ sono parametri di progetto.

1. a) Dimostra, applicando più volte la regola di de l'Hôpital e giustificando l'annullamento dei numeratori a ogni passaggio, le equazioni lineari che i parametri devono soddisfare affinché il limite esista e valga esattamente $4$.
2. b) Stabilisci, motivando, se esiste un'unica funzione con queste proprietà o se la soluzione presenta gradi di libertà. Determina la soluzione generale del sistema dei parametri e scrivi l'espressione analitica concreta di due funzioni distinte che soddisfino la condizione richiesta.
3. c) Se si impone l'ulteriore vincolo fisico che il coefficiente lineare della risposta propria si annulli ($a = 0$), calcola i valori numerici univoci di $b$, $c$ e $d$.

Si considera la funzione $f(x) = (a + b \cdot \cos x)^{1/x^2}$, definita in un intorno bucato dell'origine ($x \ne 0$), con $a, b \in \mathbb{R}$.

1. a) Dimostra, motivando, che, affinché il limite $L = \lim_{x \to 0} f(x)$ sia un numero reale strettamente positivo e finito, diverso da $1$, è condizione necessaria che $a + b = 1$. Giustifica in dettaglio che cosa accadrebbe a tale limite se $a + b > 1$ oppure se $0 < a + b < 1$.
2. b) Supponendo che $a + b = 1$, trasforma la forma indeterminata di tipo $1^\infty$ mediante i logaritmi naturali e applica la regola di de l'Hôpital per ricavare un'espressione del valore del limite in funzione esclusiva del parametro $a$.
3. c) Determina i valori esatti di $a$ e $b$ affinché il limite valga esattamente $\frac{1}{\sqrt{e}}$. Quindi verifica se è possibile trovare valori di $a$ e $b$ affinché il limite sia $e^2$, controllando se in tal caso la funzione base $a + b \cdot \cos x$ resta strettamente positiva in un intorno di $x = 0$.

Sfida del tema. Come evolve la domanda elettrica nel nostro Paese e quale rischio di sovraccarico esiste per la rete? Diventa analista energetico per un giorno.

1. Dati e interpolazione: Entra nel portale di Terna, scarica i dati orari della domanda nazionale di una giornata ($24\text{ h}$) e importali in GeoGebra o in un foglio di calcolo per interpolare una funzione polinomiale derivabile $D(t)$.

2. Derivazione e variazione: Calcola il tasso di variazione medio nel tratto di maggior consumo mattutino. Applica le usuali regole di derivazione per ottenere analiticamente la funzione derivata $D'(t)$, individuando il tasso istantaneo e gli istanti di consumo estremo ($D'(t) = 0$).

3. De l'Hôpital e probabilità: Valuta la sensibilità limite del sistema a variazioni quadratiche del tempo risolvendo $\lim_{t \to t_0} \frac{D(t) - D(t_0)}{t^2 - t_0^2}$ (con $t_0 \neq 0$) mediante la regola di de l'Hôpital. Inoltre, usando la tabella delle frequenze delle $24\text{ h}$ e le proprietà della probabilità (evento contrario e unione di eventi compatibili), stima la probabilità che un'ora scelta a caso presenti alta domanda (superiore alla media giornaliera) o accelerazione dei consumi ($D''(t) > 0$).

4. Relazione: Redigi una relazione di una pagina che raccolga grafici, deduzioni analitiche e conclusioni sulla stabilità del sistema.

Si valuteranno:

• Il rigore nel calcolo analitico delle derivate e nell'applicazione della regola di de l'Hôpital.

• La precisione nell'interpolazione di dati reali con GeoGebra e nel calcolo dei tassi di variazione.

• L'uso corretto delle proprietà della probabilità e la coerenza delle conclusioni della relazione.